专题12 全等三角形模型之手拉手模型全攻略（解析版）四川成都七年级数学下册-

专题12全等三角形模型之手拉手模型全攻略【模型说明】【例题精讲】例1（等边三角形）如图，已知三点共线，分别以为边作等边和等边，连接分别与交于与的交点为．（1）求证：；（2）求度数；（3）连接，求证：【答案】（1）证明见解析

（2）

（3）证明见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质去证明，即可得证；（2）根据等边三角形的性质得，再根据（1）中可得，再根据三角形的外角的性质即可求出度数；（3）根据等边三角形的性质去证明，可得，从而求得即可得证．【详解】（1）∵和是等边三角形∴∴∴在△BCD和△ACE中∴∴；（2）∵是等边三角形∴∵∴∴；（3）∵和是等边三角形∴∴∴在△BCM和△ACN中，∴∴∴∴∴．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、三角形外角的性质、三角形内角和定理、平行线的性质以及判定定理是解题的关键．例2．（等腰直角三角形）如图1，在等腰直角三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．

(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是__________，的大小是__________；(2)探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接、、，判断的形状，试说明理由；(3)拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．【答案】(1)；(2)为等腰直角三角形，理由见解析(3)面积的最大值为2【分析】（1）由，可推出，又因点，，分别为，，的中点，所以且，同理，且，于是可推得；，，，故，得；（2）由旋转性质得出，又因，，可证得与全等，参考（1）中的解题思路即可证出，，从而推出为等腰直角三角形；（3）在旋转的过程中，由（2）中的结论知为等腰直角三角形，，当有最大值时，须有的值最大，由三角形三边关系可推断出当B、A、D三点共线时，BD的值最大．【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，∴，∵点、、分别为、、的中点，∴分别是的中位线，∴，∴，∵，∴，故答案为：；；（2）为等腰直角三角形，理由如下：由旋转可知：，又∵，，，，，又、分别是、的中点，是的中位线，∴且，同理，且，，，．，，，为等腰直角三角形；（3）由（1）（2）得，，且为等腰直角三角形，∵，即，∴，∴，∴面积的最大值为2．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，中位线的性质等知识点，熟练掌握手拉手模型证明全等是解本题的关键．例3．（等腰三角形）问题情境：在自习课上，小雪拿来了如下一道题目（原问题）和合作学习小组的同学们交流，如图①，△ACB和△∠CDE均为等腰三角形．CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE．点A、D、E在同一条直线上，连接BE．求证：∠CDE=∠BCE+∠CBE．问题发现：小华说：我做过一道类似的题目：如图②，△ACB和△CDE均为等边三角形，其他条件不变，求∠AEB的度数．（1）请聪明的你完成小雪的题目要求并直接写出小华的题目要求．拓展研究：（2）如图③，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CF为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CF、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；∠AEB=；（2）∠AEB=；；理由见解析．【分析】（1）小雪的题目：先利用SAS证明，再利用全等三角形的性质、三角形外角的性质及等量代换即可得证；小华的题目：先利用SAS证明，再利用全等三角形的性质得出，然后根据等边三角形的性质求出，最后根据邻补角的概念和角的和与差即可得出答案；（2）根据题意易证，再根据全等三角形的性质及邻补角的概念即可求得∠AEB的度数；然后根据三线合一即可得出，最后根据线段的和与差及等量代换即可得出答案．【详解】（1）小雪的题目：证明：在和中，又,；小华的题目：解：在和中，为等边三角形又点A、D、E在同一条直线上（2）∠AEB=；；理由如下：△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，,即在和中，,点A、D、E在同一直线上．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．例4．（拓展）如图，在中，，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线、交于点D、E．(1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：；(2)当转动至如图二所示的位置时，线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)CE﹣CD＝AC．理由见解析【分析】（1）结论：．连接．证明；（2）结论：，证明方法类似（1）．【详解】（1）证明：∵，，，∴，，∴，∵，∴，在和中，，∴．（2）解：．理由：连接．∵，，，∴，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．例5．（培优综合）已知，在中，，，点为直线上一动点（点不与点重合），以为边作正方形，连接．（1）如图①，当点在线段上时，求证．（2）如图②，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系．（3）如图③，当点在线段的反向延长线上，且点，分别在直线的两侧时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系．【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析.【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；（3）同理，证明△BAD≌△CAF即可得出结论.【详解】（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC；（2）解：CF-CD=BC．理由如下：如图2，∵∠BAD=90°+∠CAD，∠CAF=90°+∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∵BD=BC+CD，∴CF-CD=BC．（3）CD-CF=BC，理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∴AB=AC，∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°，∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD=CF，∴CD-BC=CF，∴CD-CF=BC.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．【课后训练】1．如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于点H，连接CH，则∠CHE=．【答案】65°【分析】先判断出，再判断出即可得到平分，即可得出结论．【详解】解：如图，，，在和中，；过点作于，于，，，在和中，，，在与中，，平分；，，，，，，故答案为：．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．2．在中，，点D是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接CE．(1)①如图1，求证：；②当点D在边上时，请直接写出，，的面积（，，）所满足的关系；(2)当点D在的延长线上时，试探究，，的面积（，，）所满足的关系，并说明理由．【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析(2)，理由见解析【分析】（1）①先证明，再利用证即可；②利用全等三角形的性质得到，再由即可得到结论；（2）由已知条件可得证出，，推出，再由，即可得到．【详解】（1）证明：①∵，∴，即．在和中，。∴．②，理由如下：∵，∴，∵，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，即．在和中，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定定理以及性质是解题的关键．3．在中，，点D是直线BC上一点（点D不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作，使，，连接CE．（1）如图（1），若点D在线段BC上，和之间有怎样的数量关系？（不必说明理由）（2）若，当点D在射线BC上移动时，如图（2），和之间有怎样的数量关系？说明理由．【答案】（1）；（2），理由见解析【分析】（1）根据题意证明，根据三角形的内角和即可求解；（2）设AD与CE交于F点，根据题意证明，根据平角的性质即可求解．【详解】（1）．理由如下：，．，，，，∴=∵∴;（2）．理由如下：设AD与CE交于F点．，．，，，．，．，，．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．4．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．【答案】(1)证明见解析；(2)PQ=6．【分析】（1）由△ABC与△DCE是等边三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可证得∠ACD=∠BCE，所以根据SAS即可证得△ACD≌△BCE；（2）首先过点C作CH⊥BQ于H，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC=30°，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．【详解】（1）∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）过点C作CH⊥BQ于H，∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，∴∠DAC=30°，∵△ACD≌△BCE，∴∠QBC=∠DAC=30°，∴CH=BC=×8=4，∵PC=CQ=5，CH=4，∴PH=QH=3，∴PQ=6．5．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连结AD、BE交于点P．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系：．（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，连结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．【答案】（1）AD=BE．（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．（3）证明见解析．【详解】试题分析：（1）直接写出答案即可．（2）证明△ECB≌△ACD，得到∠CEB=∠CAD，此为解题的关键性结论；借助内角和定理即可解决问题．（3）如图，作辅助线，证明△CPA≌△CHE，即可解决问题．试题解析：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，∴∠ACD=∠ECB；在△ACD与△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD=BE，（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形∴EC=AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°，∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；在△ECB和△ACD中，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴∠CEB=∠CAD；设BE与AC交于Q，又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，连接HC，则△PCH为等边三角形，∴HC=PC，∠CHP=60°，∴∠CHE=120°；又∵∠APE=∠CPE=60°，∴∠CPA=120°，∴∠CPA=∠CHE；在△CPA和△CHE中，，∴△CPA≌△CHE（AAS），∴AP=EH，∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的判定与性质．6．如图1，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CE与AB相交于点D，且BE⊥CE，AF⊥CE，垂足分别为点E，F．（1）若AF=5，BE=2，求EF的长；（2）如图2，取AB的中点G，连接FG，EG，求证：FG=EG．【答案】（1）3；（2）见解析【分析】（1）证得∠ACF＝∠CBE，由AAS证得△ACF≌△CBE得出CF＝BE＝2，AF＝CE＝5，即可得出结果；（2）连接CG，推出∠GCB＝∠CBG＝45°，得出CG＝BG，证得△CFG≌△BEG得出FG＝EG即可．【详解】（1）∵BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BEC＝∠ACB，∴∠ACF+∠BCE＝∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACF＝∠CBE，∵AF⊥CE，∴∠AFC＝90°，在△ACF和△CBE中，∵∴△ACF≌△CBE（AAS），∴CF＝BE＝2，AF＝CE＝5，∵EF＝CE﹣CF，∴EF＝5﹣2＝3；（2）连接CG，如图2所示：∵AC＝BC，AG＝BG，∴CG⊥AB，∠BCG＝∠ACB＝×90°＝45°，∴∠CBG＝90°﹣45°＝45°，∴∠GCB＝∠CBG＝45°，∴CG＝BG，在△ADF和△BDE中，∵∠AFD＝∠BED，∴∠FAD＝∠EBG，由（1）证可知：△ACF≌△CBE，∴CF＝BE，∠CAF＝∠BCE，∵∠CAF+∠FAD＝∠GCD+∠BCE＝45°，∴∠FAD＝∠GCD，∴∠EBG＝∠FCG，在△CFG与△BEG中，∵CG=BG，∠FCG=∠EBG，CF=BE，∴△CFG≌△BEG（SAS），∴FG＝EG．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与全等三角形性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．7．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图（1），在中，，，则．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图（1），作边上的中线，得到结论：①为等边三角形；②与之间的数量关系为_________．（2）如图（2），是的中线，点D是边上任意一点，连接，作等边，且点P在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？直接写出答案即可．【答案】（1）；（2），证明详见解析；（3）【分析】（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；（3）结论不变，证明方法类似．【详解】（1），，，为边上的中线，，是等边三角形，．（2）．证明：如图，连接，都是等边三角形，，，，，．，．，；（3）当点D为边延长线上任意一点时，同（2）中的方法可证．【点睛】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质等知识，正确添加常用辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键．8．探究等边三角形“手拉手”问题．（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CE∥AB，理由见解析；（2）见解析；（3）BE＝AE+EC．理由见解析．【分析】（1）结论：CE∥AB．证明△BAD≌△CAE（SAS）可得结论．（2）利用全等三角形的性质证明∠ADB＝∠AEC＝120°，证明∠ADB+∠ADE＝180°即可解决问题．（3）结论：BE＝AE+EC．在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．利用全等三角形的性质证明△AEH是等边三角形即可．【详解】（1）解：结论：CE∥AB．理由：如图1中，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE＝60°，∴AB∥CE．（2）证明：如图2中，由（1）可知，△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，∵△ADE是等边三角形，∴∠AED＝∠ADE＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°，∴B，D，E共线．（3）解：结论：BE＝AE+EC．理由：在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠BAC＝60°，∵∠BEC＝60°，∴∠BAO＝∠OEC＝60°，∵∠AOB＝∠EOC，∴∠ABH＝∠ACE，∵BA＝CA，BH＝CE，∴△ABH≌△ACE（SAS），∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，∴∠HAE＝∠BAC＝60°，∴△AEH是等边三角形，∴AE＝EH，∴BE＝BH+EH＝EC+AE，即BE＝AE+EC．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及等边三角形，熟练掌握判定方法及性质是解题的关键，注意平时常用的辅助线作法．9．如图1，两个不全等的等腰直角三角形和叠放在一起，并且有公共的直角顶点．将图1中的绕点顺时针旋转，在图2中作出旋转后的△OAB(保留作图痕迹，不写作法，不证明)；在图1中，你发现线段的数量关系是____，直线相交成角(填“锐”、“钝”或“直”)；①将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图，这时(2)中的两个结论是否仍成立?作出判断并说明理由；②若将绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗？作出判断，不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2），直；（3）①仍然成立，理由见解析；②仍然成立【分析】（1）△OAB绕点O顺时针旋转90°角后，在△COD的右边；（2）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；（3）①结论仍然成立，利用等腰直角三角形的性质可以得到全等条件证明△COA≌△DOB，然后利用全等三角形的性质可以证明结论仍然成立，②结论仍然成立，方法同①．【详解】解：（1）如图所示（2）∵等腰直角三角形和叠放在一起，如图1，∴OC=OD，OA=OB∴AC=BD，故答案为：；直（3）①将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，的两个结论成立；理由如下：旋转一个锐角后，，在和中，延长交于E，交于，，又②将绕点继续旋转更大的角时，结论仍然成立．理由同上．【点睛】本题考查了图形的旋转变化，学生要看清是顺时针还是逆时针旋转，然后画出图形，利用图形的性质通过证明三角形全等就可以解决问题．10．在中，，点是直线上一点（不与、重合），把线路绕着点逆时针旋转至（即），使得，连接、．(1)如图1，点在线段上，如果，则__________度．

(2)如图2，当点在线段上，如果，则__________度．

(3)如图3，设，，当点在线段上移动时，，的数量关系是什么？请说明理由．

(4)设，，当点在直线上移动时，请直接写出，的数量关系，不用证明．【答案】(1)90(2)120(3)(4)或【分析】（1）由“”可证，得，可求的度数；（2）由“”可证，得，可求的度数；（3）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论；（4）由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：90；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案为：120；（3），理由如下：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴；（4）如图4，当点D在的延长线上时，，

证明方法同（3）；如图5，当点D在的延长线上时，，

理由如下：∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴．综上，或．【点睛】此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明是解题的关键．11．在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．(1)如图1，当时，则______°；(2)当时，①如图2，连接，判断的形状，并证明；②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．【答案】(1)100；(2)①时等边三角形，证明见解析；②．证明见解析．【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；（2）①时等边三角形，证明，即可；②结论：．如图，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论．【详解】（1）解：∵点为线段，的垂直平分线的交点，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：100．（2）解：①结论：时等边三角形．理由：∵点是线段，的垂直平分线的交点，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴时等边三角形；②结论：．理由：如图，作点关于直线的对称点，连接，，．∵则，点在的延长线上时，的值最大，此时，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴时等边三角形，∴，，∴，∵，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．12．（1）如图①，和都是等边三角形，且点，，在一条直线上，连结和，直线，相交于点．则线段与的数量关系为_____________．与相交构成的锐角的度数为___________．（2）如图②，点，，不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立．（3）应用：如图③，点，，不在同一条直线上，其它条件依然不变，此时恰好有．设直线交于点，请把图形补全．若，则___________．【答案】（1）相等，；（2）成立，证明见解析；（3）见解析，4.【分析】（1）证明△BCD≌△ACE，并运用三角形外角和定理和等边三角形的性质求解即可；（2）是第（1）问的变式，只是位置变化，结论保持不变；（3）根据∠AEC=30°，判定AE是等边三角形CDE的高，运用前面的结论，把条件集中到一个含有30°角的直角三角形中求解即可.【详解】（1）相等；

.理由如下：∵和都是等边三角形，∴，，，∴，在和中，∴．∴，．又∵，∴.（2）成立；理由如下：证明：∵和都是等边三角形，∴，，，∴，在和中，∴．∴，．又∵，∴.（3）补全图形（如图）,∵△CDE是等边三角形，∴∠DEC=60°，∵∠AEC=30°，∴