专题06 变量之间的关系两种压轴题型全攻略（解析版）四川成都七年级数学下册-

专题06变量之间的关系两种压轴题型全攻略【知识点梳理】常量与变量：在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．注意：①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；③不要认为字母就是变量，例如π是常量．自变量与因变量：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量；联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化．类型一、行程问题例1．（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图，在长方形ABCD中，点M从A点出发，沿A→B→C→D的路线运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后速度恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ADM的面积S与运动时间x的关系式如图所示．(1)根据图像，直接写出AD＝；AB＝；(2)求m，a，b的值；(3)当M在AB上运动至AM＝AB时，有一动点N从B点出发，沿着B→C的路线以每秒1个单位匀速运动．当M、N中有一点到达终点，另一点也停止运动，设N点运动时间为t秒，△AMN的面积为y，求y与t之间的关系式．【答案】(1)4，6；(2)m=1，a=4，b=9；(3)【分析】（1）当5≤x≤7时，三角形面积不变，说明点M在BC上运动，运动时间为7-5=2秒，速度为2个单位长度每秒，从而确定BC=2×2=4；根据面积为12，得到计算AB即可．（2）当a≤x≤5时，列式，当x＜a时,列式，当7＜x＜列式计算即可．（3）分0＜t≤1，1＜t≤2，2＜t≤3，3＜t≤4，四种情况计算即可．【详解】（1）当5≤x≤7时，三角形面积不变，∴点M在BC上运动，运动时间为7-5=2秒，速度为2个单位长度每秒，∴BC=2×2=4；∵面积为12，∴，∴，解得AB=6，故答案为：4，6．（2）当a≤x≤5时，三角形面积为12-8=4，运动时间为（5-a）秒，速度为2个单位长度每秒，从而确定运动路程为（5-a）×2；∴，解得a=4；当x＜a时,根据题意，得∴，解得m=1；当7＜x＜b时,根据题意，得M在BC上运动，三角形面积为4，运动时间为（b-7）秒，速度为2个单位长度每秒，从而确定运动路程为（b-7）×2；∴，解得b=9．（3）当0＜t≤1时，AM＝AB=4时，点M在AB上，点N在BC上，AM=4+2t，BN=t,此时y=；当1＜t≤2时，点M在BC上，点N在BC上，BM=2t-2，BN=t,MN=t-2t+2=2-t，且M在N后面，此时y=；当2＜t≤3时，点M在BC上，点N在BC上，BM=2t-2，BN=t,MN=2t-2-t=t-2，且M在N前面，此时y=；当3＜t≤4时，点M在DC上，点N在BC上，CM=2t-6，DM=12-2t，BN=t,CN=4-t，且M在N前面，此时y==；，综上的所述，面积y与t的函数关系如下：．【点睛】本题考查了矩形上的动点问题，函数图像信息获取与处理，正确读取函数信息，灵活转化，表示图形的面积是解题的关键．例2．（2023下·四川成都·七年级校考期中）甲，乙两地相距千米，货车和轿车先后从甲地出发驶向乙地，其中货车先出发小时，如图，线段表示货车离甲地的距离y货（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的图像关系，折线表示轿车离甲地的距离y轿千米）与货车行驶时间x（小时）之间的图像关系，根据图像解答下列问题：

(1)货车的速度＝千米/小时，当，轿车的速度＝千米/小时；(2)当轿车追上货车时，求x的值；(3)在整个行驶过程中，当两辆车相距千米时，求x的值．【答案】(1)(2)(3)或4或5或【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”列式计算即可；（2）先求出当时，（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数关系式，再令，解方程求出x的值即可；（3）分四种情形列出方程即可解决问题．【详解】（1）解：货车的速度为：（千米/小时），当，轿车的速度为（千米/小时），故答案为：；（2）解：由图可知，在时两车相遇；当时，设，根据题意，得，解得，所以，由题意知，，∴令，得，解得，即时轿车追上货车；（3）解：∵货车的速度为千米/小时，（小时），∴当货车行驶小时时，两车相距千米；当轿车在货车后千米时，，解得；当轿车在货车前千米时，，解得；当轿车到达终点，货车离终点千米时，，解得．两车在行驶过程中，当两辆车相距千米时，或4或5或．【点睛】本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程＝速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键．【变式训练1】．（2023下·四川成都·七年级校考期中）现有一笔直的公路连接A，B两地，甲车从A地驶往B地，速度为，同时乙车从B地驶往A地，速度为．途中甲车发生故障，于是停车修理了2.5小时，修好后立即开车驶往B地．设甲车行驶的时间为，两车之间的距离为．已知S与t的图象如图所示．

(1)A、B两地相距___________，___________，___________．(2)甲车出发几小时后发生故障？(3)何时甲乙两车相距？【答案】(1)300；3.75；7.5(2)1小时(3)或时【分析】（1）由图象可得A、B两地的距离，点a表示甲车出现故障，点b表示两车相遇，点c表示甲车修好故障，点d表示乙车到达目的地即可求解；（2）设甲车出发x时后发生故障，根据题意建立等式即可求解；（3）分相遇前和相遇后相距两种情况进行分类讨论．【详解】（1）解：由图象可得A、B两地的距离为，当时，，两车相遇，此时乙车行驶的路程是，甲车行驶的路程是，∴，又∵甲车停车修理了2.5小时，∴，∵c表示乙车到达目的地的时间，∴,∵d表示甲车到达目的地，∴,故答案为：300；3.75；7.5；（2）由（1）得，答：甲车出发1小时后发生故障；（3）当时，，当时，，∴两车相遇前，，两车相遇后，由图象可知，答：或时甲乙两车相距．【点睛】本题考查了一次函数的图象和应用，解题的关键是利用路程，时间，速度之间的关系并理解图象上拐点的意义．【变式训练2】．（2023下·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）快车与慢车分别从甲乙两地同时相向出发，匀速而行，快车到达乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快车比慢车晚1h到达甲地，快慢辆车距各自出发地的路程y(km)与所用的时间x(h)的关系如图所示．(1)甲乙两地之间的距离为_______，快车的速度为______，慢车的速度为______；(2)出发_______h，快慢两车距各自出发地的路程相等；(3)快慢两车出发_______h相距．【答案】(1)420，140，70；(2)；(3)或或【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以解答本题；（2）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出出发几h后，快慢两车距各自出发地的路程相等；（3）根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得出发几h快慢两车相距150km．【详解】（1）解：由图象可得，甲乙两地之间的路程为420km；快车的速度为420÷（4-1）=140（km/h）；慢车的速度为420÷[4+（4-1）-1]=70（km/h），故答案为：420，140，70；（2）解：由图象和（1）可得，A点坐标为（3，420），B点坐标为（4，420），由图可知：快车返程时，两车距各自出发地的路程相等，设出发xh，两车距各自出发地的路程相等，70x=2×420-140（x-1），解得x=，答：出发h后，快慢两车距各自出发地的路程相等；故答案为：；（3）解：由题意可得，第一种情形：没有相遇前，相距150km，则140x+70x+150=420，解得x=，第二种情形：相遇后而快车没到乙地前，相距150km，140x+70x-420=150，解得x=，第三种情形：快车从乙往甲返回，相距150km，70x-140（x-4）=150，解得x=，由上可得，出发h或h或h快慢两车相距150km．故答案为：或或．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式训练3】．小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点200米．他们距起点的距离s（米）与小明出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：

(1)小明出发之后，前70秒的速度是__________米/秒；妈妈的速度是__________米/秒；(2)a表示的数字是____________；(3)直接写出小明出发后的110秒内，两人何时相距60米．【答案】(1)6，2(2)小明和妈妈相遇时距起点的距离(3)小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米【分析】（1）小明在前70秒内跑过的距离除以所用时间即可；而妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离除以所用时间即可；（2）两图象的交点处表示两人相遇．因此，表示的数字是小明和妈妈相遇时距离起点的距离；（3）两人有可能三次相距60米，分别在第一次相遇前、第一次相遇后且、时，分别讨论计算即可．【详解】（1）解：由图象可知，小明在前70秒内跑过的距离是420米，小明前70秒的速度是（米秒）．妈妈的速度始终不变，在110秒内跑过的距离是（米，妈妈的速度是（米秒）．故答案为：6，2．（2）解：两图象的交点处表示两人相遇，表示的数字是小明和妈妈相遇时距起点的距离．故答案为：小明和妈妈相遇时距起点的距离．（3）解：由题意可知，妈妈距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为．当时，设小明距起点的距离与小明出发的时间之间的关系式为．①在第一次相遇前，当两人第一次相距60米时，得，解得；②在第一次相遇后且，当两人第二次相距60米时，得，解得．③当时，两人第三次相距60米时，得，解得．综上，小明出发后的110秒内，两人分别于35秒、65秒和80秒时相距60米．【点睛】本题考查用关系式表示变量间的关系、用图象表示变量间的关系、一元一次方程的应用，从图象上获取有用的信息是解答本题的关键．类型二、几何图形面积问题例．（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图（1），在长方形中，，，点P从A出发，沿A→B→C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止．若点P、点Q同时出发，点P速度为，点Q的速度为，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P速度变为，点Q速度变为．图（2）是点P出发x秒后的面积与x秒的关系图象；图（3）是点Q出发x秒后的面积与x秒的关系图象．

根据题中的信息，解答下列问题(1)根据图象得：秒，，秒，．(2)连接，当第一次平分长方形的面积时，求x的值；(3)当点P、点Q在运动路线上相距的路程为时，求x的值．【答案】(1)8；2；20；1(2)(3)的值1或21【分析】（1）根据题意和，求出，，的值；由题意列出关于的方程，从而解出；（2）由平分矩形面积，得到梯形面积为矩形面积的一半，列出方程，可求的值；（3）分两种情况讨论，列出方程可求解．【详解】（1）观察图②得，，，，由题意可得：，解得：，故答案为：8；2；20；1；（2）由题意可得：，解得：，当时，第一次平分长方形的面积；（3）当点在上时，由题意可得：，解得：，当点到达点时，两点在运动路线上相距的路程为，点到达点后，两点在运动路线上相距的路程才能相距，，综上所述：的值1或21时，点、点在运动路线上相距的路程为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形面积求法，动点问题的函数现象，利用了数形结合的思想，弄清题中图象表示的意义是解本题的关键．【变式训练1】．（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图，在长方形中，点M从A点出发，沿A→B→C→D的路线运动，开始以每秒m个单位匀速运动，a秒后变为每秒2个单位匀速运动，b秒后速度恢复原速匀速运动，在运动过程中，的面积S与运动时间x（s）的关系式如图所示．

(1)根据图象，直接写出________；________；(2)求m，a，b的值；(3)当M在上运动至时，有一动点N从B点出发，沿着B→C的路线以每秒1个单位匀速运动．当M、N中有一点到达终点，另一点也停止运动，设N点运动时间为t秒，试问M、N两点在运动路线上的距离是否能为1个单位？如果能够，请求出相应的时间t，若不可能，请说明理由．【答案】(1)4，6(2)(3)t为1秒或3秒时，M、N两点在运动路线上的距离是否能为1个单位【分析】（1）由图象可知的长度，在时，的面积为12，可求出的长度；（2）当时，的面积为，从而求出a和m的值，当时，的面积为,从而求出b的值；（3）分两种情况讨论，分别计算即可．【详解】（1）在时，的面积不变，此时点M在上运动，速度为每秒2个单位。∴；在时，的面积为12，∴，∴，故答案为：4，6；（2）当时，的面积为,∴，∴，∴，∴，当时，的面积为,∴，∴，∴；（3）∵，∴，当M在N上方时，，由题意得，，解得；当M在N下方时，，由题意得，，解得；综上，当t为1秒或3秒时，M、N两点在运动路线上的距离是否能为1个单位．【点睛】本题考查了图形与动点问题，能够准确读图并计算是解题的关键．【变式训练2】．（2023下·四川成都·七年级校考期中）如图1，四边形中，，，点从A点出发，以每秒两个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为秒，三角形的面积为S，S关于的函数图象如图所示，当运动秒时，三角形的面积为36．

【答案】或【分析】根据函数图象得出，，，当运动到点时得出，进而求得函数图象中，设与点，过点作于点，根据三角形的面积为36，分两种情况讨论，结合图形即可求解．【详解】解：根据函数图象可得，，∵当运动到点时，，∴∵总时间为秒，速度为每秒两个单位长度，∴∵当运动到点时三角形的面积取得最大值为∴∴∴解得：∴设与点，过点作于点，

当运动到上，三角形的面积为36，∴，解得：

过点作交于点，延长交于点，则，则，∴又，∴∴∴∴∴运动时间为秒；当在上时，∴∴∴运动时间为综上所述，当运动或秒时，三角形的面积为．【点睛】本题考查了动点的函数图象，全等三角形的性质与判定，数形结合，分类讨论是解题的关键．【课后训练】1．（2023下·四川成都·七年级校考期中）甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的时间为t（h），甲、乙行驶的路程分别为，路程与时间的函数关系如图所示，丙与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地．当丙与乙相遇时，甲、乙两人相距20km，问丙出发后小时后与甲相遇．【答案】或【分析】利用函数图象的信息求得三人的速度，再利用题意列出方程，解方程即可得出结论．【详解】解：由函数图象得：乙的速度为（km/h），乙出发1小时后，甲出发并经过小时追上乙，设甲的速度为xkm/h，，，∴甲的速度为60km/h．设丙与乙相遇时乙出发了t小时，∵当丙与乙相遇时，甲、乙两人相距20km，或，∴丙的速度为（km/h）或（km/h），设丙出发后y小时后与甲相遇，，或解得：y＝或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了函数的图象，利用函数的图象的信息求得三人的速度，再利用题意列出方程是解题的关键．2．（2023下·四川成都·七年级校考期中）甲、乙两地间的直线公路长为180千米，一辆摩托车和一辆轿车分别从甲、乙两地出发，沿该公路匀速行驶，已知轿车比摩托车早出发1小时，且轿车到达甲地停留t小时后原路原速返回甲地（调头时间忽略不计），最后两车同时到达乙地，在行驶过程中，两车距乙地的距离y（千米）与摩托车行驶的时间x（小时）的关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）轿车的速度是千米/小时，摩托车的速度是千米/小时，t的值为；（2）写出摩托车距乙地的距离y（千米）与x（小时）的关系式；（3）摩托车出发后几小时，两车在途中相距30千米？请直接写出答案．【答案】（1）60，30，1；（2）y=-30x+180（0≤x≤6）；（3）摩托车出发后1或或5小时，两车在途中相距30千米．【分析】（1）根据函数图像，可得轿车的速度和摩托车的速度以及轿车到达甲地停留的时间；（2）利用待定系数法，即可求解；（3）分3种情况：①两车相遇之前；②两车相遇之后且轿车到甲地之前；③两车相遇之后且轿车返回途中，分别求解，即可．【详解】解：（1）由图像可知：当x=0时，y=60，且轿车比摩托车早出发1小时，∴轿车的速度=60÷1=60（千米/小时），由图像得：摩托车的速度=180÷6=30（千米/小时），t=，故答案是：60，30，1；（2）设y=kx+b，把（0，180），（6，0）代入上式得：，解得：，∴y=-30x+180（0≤x≤6）；（3）分3种情况：①两车相遇之前：30x+30+60x+60=180，解得：x=1；②两车相遇之后且轿车到甲地之前：30x+60x+60-30=180，解得：x=；③两车相遇之后且轿车返回途中：30x-60(x-3)=30，解得：x=5，综上所述：摩托车出发后1或或5小时，两车在途中相距30千米．【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，关键是理解函数图像上点的坐标的实际意义以及待定系数法，是解题的关键．3．甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的图象如图所示．

(1)求乙车到达B地的时间；(2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程；(3)求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间．【答案】(1)2.5小时(2)100千米(3)甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时．【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出乙车从A地到达B地的速度，进而可求得乙车到达B地的时间；（2）根据图形中的数据，可以先甲车的速度，然后即可计算出乙车到达B地时甲车距A地的路程；（3）根据题意可知，乙车返回时的速度为（千米/时），甲车行驶的时间为3.75小时，设乙车行驶的时间为小时，存在三种情况：乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米；乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米：乙车返回后，甲、乙两车相距40千米；然后即可列出相应的方程，再求解即可．【详解】（1）由图象可得，乙车从A地到B地的速度为：（千米/时），则乙车到达B地的时间为：（小时），（2）由（1）可知，由图象可得，甲车的速度为：（千米/时），则乙车到达B地时甲车距A地的路程是（千米），（3）乙车返回时的速度为（千米/时），甲车行驶的时间为小时，设乙车行驶的时间为小时，乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米：，解得；乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米：，解得；乙车返回后，甲、乙两车相距40千米，，解得：，不符合题意舍去，综上，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时．【点睛】本题考查了图象、一元一次方程的应用，理解题意，能从图象中获取相关联信息，行程问题的数量关系的运用是解答的关键．4．如图1，四边形是一个长方形，一动点P在长方形边上运动，设点P运动的路程为，的面积为，S与x的关系图象如图2所示．(1)动点P从点A出发，沿路线运动到点D停止，已知点P在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为，在边上运动时的速度为．根据图2可知，___________；(2)在（1）的条件下，求出点P由点A运动到点D的总时间；(3)如图3，在长方形的对角线上取一点M，使得点M到边的距离，到边的距离，若动点P从点A出发，以的速度沿路线运动．同时，动点Q从点C出发，以的速度沿路线运动（P，Q中一点先到达终点时，另一点停止运动）．连接，，，设运动时间为，的面积为，当点P，Q不在同一边上运动时，求出W与t的关系式．【答案】(1)10；(2)；(3)【分析】（1）根据图象可知点从点出发，到终点的路程为，点的路程为，即可求得答案；（2）由题意可知，，利用时间路程速度即可求解；（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别进行讨论即可【详解】（1）解：由图象可知，点从点出发，到终点的路程为，点的路程为，∴，故答案为：10；（2）∵四边形是长方形，∴，∴，则点由点运动到点的总时间为；（3）由（2）可知，，则，，若走完全程，点运动的总时间为，点运动的总时间为，点在上运动的时间为，点在上运动的时间为，当时，此时点在上，点在上，

则，，，，∴的面积为当时，此时点在上，点在上，不符合题意，当时，此时点在上，点在上，

则，，，，∴的面积为，综上，．【点睛】本题主要考查了动点问题的图象，在解题时要能根据图象求出，，，并表示出相应线段的长度是解决问题的关键．5．动点H以每秒1厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，设点H的运动时间为秒．

(1)图2中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______；(2)______，______，______；(3)当的面积为时，求点F的运动时间的值．【答案】(1)H的运动时间，的面积；(2)4，14，10；(3)或【分析】（1）根据图象可以知道横轴表示时间，纵轴表示路程，据此可以得到答