专题02 整式的乘法四种压轴题型全攻略（解析版）四川成都七年级数学下册-

专题02整式的乘法四种压轴题型全攻略【知识点梳理】整式乘法：①单项式乘单项式:单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。②单项式乘多项式:根据乘法分配律，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式乘多项式:先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。整式除法：①单项式除单项式：（1）将它们的系数相除作为上的系数；（2）对于被除式和除式中都含有的字母，按同底幂的除法分别相除，作为商的因式；（3）被除式中独有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。②多项式除单项式：多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。类型一、不含某一项问题例．（2023下·四川成都·七年级成都实外校考期末）若的展开式中不含项、项（为常数），则．【答案】【分析】利用多项式乘多项式的法则对式子进行运算，再结合条件进行求解即可．【详解】解：∵展开式中不含项，项，∴，，解得：，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【变式训练1】．（2023下·四川成都·七年级期中）已知关于x的多项式与的积不含x的一次项，且常数项为，求的值．【答案】【分析】利用多项式与多项式相乘的法则计算，再根据展开式中不含x的一次项，且常数项为，可得方程组，解方程组求得a，b，再代入计算求解即可．【详解】解：∵，又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为−4，∴，解得：，∴．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，多项式的项、次数的定义以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．【变式训练2】．若关于x、y的两个多项式中不含二次项，则的值为．【答案】【分析】本题考查了求代数式的值，整式加减，掌握多项式中不含某项求字母值的方法是解题的关键．根据题意，合并同类项，令二次项系数为0，求得、的值，进而即可求解．【详解】解：，结果不含二次项，，，，，．【变式训练3】．（2022下·四川成都·七年级校考期中）以下关于的各个多项式中，均为常数．（1）根据计算结果填写下表：二次项系数一次项系数常数项226（2）已知既不含二次项，也不含一次项，求的值．（3）多项式与多项式的乘积为，则的值为________．【答案】（1）5，，；（2）1；（3）．【分析】（1）根据多项式乘以多项式即可求解；（2）先用完全平方公式展开第一项，再进行多项式乘以多项式，合并同类项后使二次项系数和一次项系数为0即可求解；（3）根据多项式乘以多项式的结果可以设多项式M，再根据恒等式的意义即可求解；【详解】（1）∴一次项系数是5，∴一次项系数是，∴一次项系数是．（2）即不含二次项，也不含一次项，，解得，．（3）设，则，．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是准确进行计算，同时理解恒等变形；类型二、与几何图形综合例．（2022上·四川成都·七年级校考期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a>b．(1)当a=9，b=2，AD=30时，请求：①长方形ABCD的面积；②的值；(2)当AD=30时，请用含a，b的式子表示的值．(3)若AB长度不变，AD变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形ABCD内，而的值总保持不变，则a，b满足的关系是___________．【答案】(1)①510，②(2)(3)【分析】（1）①根据长方形的面积公式，直接计算即可；②求出的面积，相减即可；（2）用含a、b的式子表示出的面积，即可求得结论；（3）用含a、b、AD的式子表示出，根据的值总保持不变，即与AD的值无关，整理后，让AD的系数为0即可．【详解】（1）解：①长方形ABCD的面积为30×（4×2+9）=510；②；（2）解：由题意得，∴；（3）解：由题意得，∴，∵若AB长度不变，AD变长，而的值总保持不变，∴，∴，故答案为：．【点评】本题主要考查了整式的混合计算的应用，有理数四则混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式训练1】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1，可以得到这个等式，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式______________；（最后结果）（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）利用（1）中得到的结论，解决问题：若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，求a2+b2+c2的值；（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+2b）（3a+5b）的长方形，求x+y+z的值.【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）证明见解析；（3）30；（4）56.【分析】（1）依据正方形的面积=（a+b+c）2；正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）运用多项式乘多项式进行计算即可；（3）依据a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc，进行计算即可；（4）依据所拼图形的面积为：xa2+yab+zb2，而（5a+2b）（3a+5b）=15a2+31ab+10b2，即可得到x，y，z的值．【详解】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（2）证明：左边=（a+b+c）（a+b+c）=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2，=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=右边.（3）a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=100-70=30（4）（5a+2b）（3a+5b）=15a2+31ab+10b2而x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片的面积为xa2+yab+zb2所以x=15，y=31，z=10，所以x+y+z=56.【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．【变式训练2】．如图所示，有足够多的边长为a的小正方形（A类），长为b宽为a的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．例如：如图②所示，可以解释．

【初步运用】（1）仿照例子，图③可以解释等式_______．（2）取图①中的若干个图形（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的相邻两边长分别为和，不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张？【拓展运用】（3）若取图①中的若干个图形（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积为，通过操作，你会发现拼成的长方形的长是______，宽是______，将改写成两个整式积的形式为______．并画图说明．【答案】（1）；（2）15张；（3），，，图形见解析【分析】（1）根据图②结合图形的面积即可得到结论；（2）根据多项式乘多项式的法则即可得到结论；（3）根据已知条件可画出图形，于是得到长方形的两边，即可．【详解】解：（1）图③可以解释为：；故答案为：；（2）∵，∴需要C类卡片15张；（3）如图：

通过操作，你会发现拼成的长方形的长是，宽是，．故答案为：，，【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答．【变式训练3】．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．

(1)小李同学拼成一个宽为，长为的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（答案直接填写到横线上）；(2)如果用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；(3)利用上述方法，画出面积为的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．【答案】(1)(2)A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张(3)【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是：（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图2的面积即可；（2）用代数式表示纸片，纸片，纸片的面积，再根据总面积得出数量即可；（3）根据拼成的长方形的面积是可得，需要纸片需要2张，纸片需要2张，纸片需要5张，画出相应的图形，并根据长方形的周长公式计算其周长即可．【详解】（1）解：图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，图2是6个部分的面积和，即，因此，故答案为：；（2），纸片的面积为，纸片的面积为，纸片的面积为，纸片需要2张，纸片需要3张，纸片需要7张；（3）由于，因此可以拼成长为，宽为的长方形，如图所示：

这个长方形的周长为：，答：此长方形的周长为．类型三、规律性问题例．（2023下·四川成都·七年级统考期末）学习完平方差公式之后，数学兴趣小组在活动中发现：；；；．请你利用发现的规律计算：．【答案】/【分析】根据题干给出的规律，构造，利用规律解题即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查多项式乘多项式规律探究．解题的关键是构造．【变式训练1】．（2020下·四川成都·七年级四川省成都市玉林中学校考阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数等等．（1）填出展开式中共有________项，第三项是________．（2）直接写出的展开式．（3）推断多项式（为正整数）的展开式的各项系数之和．（4）利用上面的规律计算：．【答案】（1）5；；（2）；（3）；（4）【分析】（1）展开的项数等于字母a的不同指数的个数即4，3，2，1，0，根据杨辉三角形的规律确定各项的系数即可；（2）先计算的展开式，后将a,b的值特殊化计算即可；（3）猜想指数为0，为1，为2，为3的系数之和，透过枚举法猜想其中的规律；（4）逆向使用公式求解即可．【详解】（1）由杨辉三角的系数规律可得，，展开式共有5项，第三项是．（2），当，时，原式，．（3）第一行各项系数和为，即的各项系数和为，第二行各项系数和为，即的各项系数和为，第三行各项系数和为，即的各项系数和为，第三行各项系数和为，即的各项系数和为，…由此可得的各项系数和为，．（4）由杨辉三角可知，原式．【点睛】本题考查了杨辉三角形，二项式的展开，熟练掌握杨辉三角形的特点，灵活运用公式，活用一般与特殊的思想是解题的关键．【变式训练2】．阅读并填空：我们已经学习了多项式乘以多项式，可以计算以下的式子，__________．__________．（结果按字母x降幂排列）__________．（结果按字母x降幂排列）……观察以上等式右边的各项系数的规律，这些系数的规律早在11世纪就已经被我国数学家贾宪发现．如图被后人称为“贾宪三角”．利用“贾宪三角”可知：__________．“贾宪三角”中还蕴含了许多数字产生的规律，如第三斜列的数字1、3、6、10、15…也有规律，若数字1是第1个数，数字3是第2个数，那么第n个数是__________（用含n的式子表示）．【答案】，，，，【分析】本题考查了多项式乘多项式，数字的规律探究，根据题意推导一般性规律是解题的关键．利用多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，求解多项式的乘方即可．【详解】解：由题意知，．．．利用“贾宪三角”可知：．∵第1个数为，第2个数为，第3个数为，第4个数为，第5个数为，……∴可推导一般性规律为：第n个数是．故答案为：，，，，．类型四、代数式求值例1．若，则的值为．【答案】1【分析】本题考查了多项式乘以多项式及多项式的化简求值，利用多项式乘多项式的运算法则计算，由已知等式得出，再整体代入计算可得．熟练掌握整式乘法的运算法则并具有整体思想是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：1．例2．若，则等于（

）A．2020 B．2019 C．2018 D．－2020【答案】C【分析】将变形为，，代入即可求解．【详解】解：∵，∴，，∴=2018．故选：C【点睛】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是解题关键．【变式训练1】．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用整体思想解决下列问题：(1)把看成一个整体，合并；(2)已知，求的值；(3)已知，，，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把提出了进行计算即可得；（2），把代入进行计算即可得；（3），把，，代入进行计算即可得．【详解】（1）解：．（2）解：，把代入得，原式．（3）解：把，，代入得，原式．【点睛】本题考查了多项式的变形和整体代入的思想，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．【变式训练2】．如果.那么【答案】-1【分析】根据得到，再把原式变形，然后把整体代入求值即可得解.【详解】解：，故答案为-1【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是把原条件变形后整体代入所求算式的变形式中计算.【课后训练】1．已知代数式的值是7，则代数式的值是．【答案】18【分析】先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可．【详解】解：∵代数式的值是7，∴，∴，∴，∴，故答案为：18．【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键．2．若的积不含项，则．【答案】【分析】先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a．【详解】解：==∵的积不含项，∴，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．3．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”

(1)写出的展开式；(2)写出的展开式；(3)求展开式中所有项的系数和；(4)求展开式中所有项的系数和．【答案】(1)(2)(3)256(4)0【分析】（1）根据规律能得出的值，即可推出的值；（2）根据规律得出展开式，即可得出答案．（3）先求出的系数和，然后找到规律即可解答；（4）先求出的系数和，然后找到规律即可解答．【详解】（1）解：根据“杨辉三角”以及出可得：．（2）解：根据可得：．（3）解：对于当时，展开式中所有项的系数和为，当时，展开式中所有项的系数和为，当时，展开式中所有项的系数和为，当时，展开式中所有项的系数和为，当时，展开式的项系数和为．所以的系数和为．（4）解：对于当时，展开式中所有项的系数和为0，当时，展开式中所有项的系数和为0，当时，展开式中所有项的系数和为0，当时，展开式中所有项的系数和为0，当时，展开式的项系数和为0．所以的系数和为0．【点睛】本题主要考查了数字规律、“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法等知识点，掌握展开式中所有项的系数和得到规律是关键．4．已知，求的值．【答案】【分析】由，可得，根据，代值求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴的值为．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值．解题的关键在于正确的化简求值．5．如图，长为，宽为的大长方形被分㸝成7块，除阴影部分的和外，其他5块空白部分是形状、大小完全相同的小长方形，且小长方形的宽为．(1)由图可知：每个小长方形的长为______；（用含或的代数式表示）(2)用含或的代数式表示阴影部分和的周长之和；（结果化为最简形式）(3)当时，用含的代数式表示阴影部分与的面积之和．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了列代数式以及整式的混合运算；（1）观察图形，由大长方形的长等于小长方形的宽的3倍与小长方形的长的和计算即可．（2）设阴影A的长为m，宽为n，阴影B的长为p，宽为q，根据，，，，根据题意计算即可．（3）设阴影A的长为m，宽为n，阴影B的长为p，宽为q，根据，，，，根据题意计算即可．【详解】（1）根据题意，得，故，故答案为：．（2）设阴影A的长为m，宽为n，阴影B的长为p，宽为q，根据，，，，∴阴影部分的周长为，阴影部分的周长为，∴阴影部分和的周长之和为．（3）设阴影A的长为m，宽为n，阴影B的长为p，宽为q，根据，，，，∴阴影部分的面积为，阴影部分的面积为，∴阴影部分和的面积之和为．当时，．6．阅读以下材料，回答下列问题：小明遇到这样一个问题：求计算所得多项式的一次项系数．小明想通过计算所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法．他决定从简单情况开始，先找所得多项式中的一次项系数．通过观察发现：

也就是说，只需用中的一次项系数1乘以中的常数项3，再用中的常数项2乘以中的一次项系数2，两个积相加，即可得到一次项系数．延续．上面的方法，求计算所得多项式的一次项系数．可以先用的一次项系数1，的常数项3，的常数项4，相乘得到12；再用的一次项系数2，的常数项2，的常