用Matlab求解差分方程问题市公开课金奖市赛课一等奖课件

用Matlab求解差分方程问题一、一阶线性常系数差分方程二、高阶线性常系数差分方程三、线性常系数差分方程组第1页第1页一、一阶线性常系数差分方程濒危物种自然演变和人工孵化问题Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中档和较差环境下年均增长率分别为-3.24%和-3.82%，假如在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量改变规律模型，并作数值计算。第2页第2页模型建立记第k年沙丘鹤数量为xk,年均增长率为r，则第k+1年鹤数量为xk+1=(1+r)xkk=0,1,2······已知x0=100,在较好，中档和较差自然环境下r=0.0194,-0.0324,和-0.0382我们利用Matlab编程，递推后观测沙丘鹤数量改变情况第3页第3页Matlab实现首先建立一个关于变量n，r函数functionx=sqh(n,r)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k);end第4页第4页在command窗口里调用sqh函数

k=(0:20)';>>y1=sqh(20,0.0194);>>y2=sqh(20,-0.0324);>>y3=sqh(20,-0.0382);>>round([k,y1',y2',y3'])ToMatlab（ff6）第5页第5页利用plot绘图观测数量改变趋势能够用不同线型和颜色绘图rgbcmykw分别表示红绿兰兰绿洋红黄黑白色：+o*.Xsd表示不同线型第6页第6页plot(k,y1,k,y2,k,y3)在同一坐标系下画图

plot(k,y2,':')>>plot(k,y2,'--')>>plot(k,y2,'r')>>plot(k,y2,'y')>>plot(k,y2,'y',k,y1,':')>>plot(k,y2,k,y1,':')>>plot(k,y2,'oy',k,y1,':')用gtext(‘r=0.0194’),gtext(‘r=-0.0324’),gtext(‘r=-0.0382’)在图上做标识。ToMatlab（ff6）第7页第7页人工孵化是挽救濒危物种办法之一，假如每年孵化5只鹤放入保护区，观测在中档自然条件下沙丘鹤数量如何改变Xk+1=aXk+5,a=1+r假如我们想考察每年孵化多少只比较适当，能够令Xk+1=aXk+b,a=1+r第8页第8页functionx=fhsqh(n,r,b)a=1+r;x=100;fork=1:nx(k+1)=a*x(k)+b;end第9页第9页k=(0:20);%一个行向量y1=(20,-0.0324,5);%也是一个行向量round([k’,y1’])%对k,y1四舍五入，但%是不改变变量值plot(k,y1)%ky1是行向量列向量都能够也能够观测发展趋势，以及在较差条件下发展趋势，也能够考察每年孵化数量改变影响。ToMatlab（ff7）第10页第10页高阶线性常系数差分方程

假如第k+1时段变量Xk+1不但取决于第k时段变量Xk，并且与以前时段变量相关，就要用高阶差分方程来描述第11页第11页一年生植物繁殖一年生植物春季发芽，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，没被人为掠取那些种子能够活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似认为，种子最多能够活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量改变规律，及它能始终繁殖下去条件。第12页第12页模型及其求解记一棵植物春季产种平均数为c,种子能活过一个冬天(1岁种子)百分比为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天（2岁种子）百分比仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。设c,a1,a2固定，b是变量，考察能始终繁殖条件记第k年植物数量为Xk，显然Xk与Xk-1,Xk-2相关，由

Xk-1决定部分是a1bcXk-1,由Xk-2决定部分是

a2b(1-a1)bcXk-2

Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2第13页第13页Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2实际上，就是Xk=pXk-1+qXk-2我们需要知道x0,a1,a2,c,考察b不同时，种子繁殖情况。在这里假设X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.18~0.20这么能够用matlab计算了第14页第14页Xk=a1bcXk-1+a2b(1-a1)bcXk-2functionx=zwfz(x0,n,b)c=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;x(1)=x0;x(2)=p*(x(1));fork=3:nx(k)=p*(x(k-1))+q*(x(k-2));end第15页第15页k=(0:20)';y1=zwfz(100,21,0.18);y2=zwfz(100,21,0.19);y3=zwfz(100,21,0.20);round([k,y1',y2',y3']);plot(k,y1,k,y2,':',k,y3,'o'),gtext('b=0.18');gtext('b=0.19');gtext('b=0.20')ToMatlab（ff8）第16页第16页结果分析：Xk=pXk-1+qXk-2(1)

x1+px0=0(2)

差分方程特性方程差分方程特性根：方程(1)解能够表为C1,c2由初始条件x0,x1拟定。第17页第17页本例中，用待定系数办法能够求出b=0.18时,c1=95.64,c2=4.36，这样事实上，植物能始终繁殖下去条件是b>0.191第18页第18页线性常系数差分方程组汽车租赁公司运营一家汽车租赁公司在3个相邻都市运营，为以便用户起见公司承诺，在一个都市租赁汽车能够在任意一个都市归还。依据经验预计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁汽车在A,B,C市归还百分比分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁汽车归还百分比0.2,0.7,0.1;C市租赁归还百分比分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分派到3个都市，建立运营过程中汽车数量在3个都市间转移模型，并讨论时间充足长以后改变趋势。第19页第19页0.60.3ABCABCABC假设在每个租赁期开始能把汽车都租出去，并都在租赁期末归还0.10.70.20.10.60.30.1第20页第20页模型及其求解记第k个租赁期末公司在ABC市汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1个租赁期开始各个都市租出去汽车数量），很容易写出第k+1个租赁期末公司在ABC市汽车数量为(k=0,1,2,3···)第21页第21页用矩阵表示用matlab编程，计算x(k),观测n年以后3个都市汽车数量改变情况第22页第22页functionx=czqc(n)A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];x(:,1)=[200,200,200]';fork=1:nx(:,k+1)=A*x(:,k);end假如直接看或者发展趋势，能够直接在命令窗口（commondwindow）作，而不是必须编一个函数第23页第23页A=[0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6];>>n=10;>>fork=1:nx(:,1)=[200,200,200]';x(:,k+1)=A*x(:,k);end>>round(x)第24页第24页作图观测数量改变趋势k=0:10;plot(k,x)，gridgtext('x1(k)'),gtext('x2(k)'),gtext('x3(k)')第25页第25页能够看届时间充足长以后3个都市汽车数量趋于180，300，120能够考察这个结果与初始条件是否相关若最开始600辆汽车都在A市，能够看到改变时间充足长以后，各都市汽车数量趋于稳定，与初始值无关第26页第26页直接输入x（:,1）值即可x(:,1)=[600,0,0];round(x');plot(k,x),grid第27页第27页6.6

按年龄分组人口模型不同年纪组繁殖率和死亡率不同.建立差分方程模型，讨论稳定情况下种群增长规律.假设与建模

种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,…,n

时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,…

以雌性个体数量为对象.

第i年龄组1雌性个体在1时段内繁殖率为bi

第i年龄组在1时段内死亡率为di,存活率为si=1-di第28页第28页假设与建模xi(k)~时段k第i年龄组种群数量~按年龄组分布向量预测任意时段种群按年龄组分布~Leslie矩阵(L矩阵)(设至少1个bi>0)第29页第29页按年龄分组种群增长野生或喂养动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而降低，不同年纪动物繁殖率，死亡率有较大差异，因此在研究某一个群数量改变时，需要考虑年纪分组种群增加。将种群按年纪等间隔分成若干个年纪组，时间也离散化为时段，给定各年纪组种群繁殖率和死亡率，建立按年纪分组种群增加模型，预测未来各年纪组种群数量，并讨论时间充分长以后改变趋势。第30页第30页模型及其求解设种群按年龄等间隔分成n个年龄组，记i=1,2,···，n,时段记作k=0,1,2···,且年龄组区间与时段长度相等(若5岁为一个年龄组，则5年为一个时段)。以雌性个体为研究对象记在时段k第i年龄组数量为xi(k);第i年龄组繁殖率为bi，表示每个个体在一个时段内繁殖数量；第i年龄组死亡率为di，表示一个时段内死亡数与总数比，si=1-di是存活率。第31页第31页记在时段k种群各年龄组数量为X(k)=[x1(k),x2(k),····,xn(k)]’第32页第32页这样，有x(k+1)=Lx(k),k=0,1,····给定在0时段，各年龄组初始数量x(0)就能够预测任意时段k,各年龄组数量设一个群分成5个年龄组，繁殖率b1=0,b2=0.2,,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2存活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1各年龄组既有数量都是100只，用matlab计算x(k)第33页第33页b=[0,0.2,1.8,0.8,0.2];s=diag([0.5,0.8,0.8,0.1]);L=[b;s,zeros(4,1)];x(:,1)=100*ones(5,1);>>n=30;>>fork=1:nx(:,k+1)=L*x(:,k);end>>ro