湖北省十一校2024-2025学年高三数学上学期第一次联考试题含解析

Page102025届高三湖北十一校第一次联考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. B. C. D.2.已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（）A. B. C. D.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.某地投资亿元进行基础建设，年后产生的社会经济效益为亿元，若该地投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，且再过年，该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍，则（）A.4 B.8 C.12 D.165.如图，是边长2的正方形，为半圆弧上的动点（含端点）则的取值范围为（）A. B. C. D.6.已知函数，则关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.7.从集合中任取3个不同的数，它们的和能被3整除的概率为（）A. B. C. D.8.的零点的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.国际跳水竞赛一共有八个评委现场打分，若八位评委给某个选手的打分分别为，记这组数据的平均分，中位数，方差，极差分别为、、、，去掉这组数据的一个最高分和一个最低分后，其平均数，中位数，方差，极差分别为、、、，则下列推断中确定正确的是（）A. B. C. D.10.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则下列结论正确的是（）A.B.是的一条对称轴C.将函数图象上的全部点向左平移个单位长度，所得到的函数解析式为D.在内恰有3个零点11.如图，已知二面角的棱上有，两点，，，，，且，则下列说法正确的是（）A.B.当二面角的大小为60°时，与平面所成的角为30°C.若，则四面体的体积为D.若，则二面角的余弦值为12.如图，双曲线的左右顶点为，，为右支上一点（不包含顶点），，，，直线与的渐近线交于、，为线段的中点，则（）A.双曲线的离心率为 B.到两条渐近线的距离之积为C. D.若直线与的斜率分别为，，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.绽开式中项的系数是______.14.已知，，，则的最小值为______.15.已知是抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则点的横坐标为______.16.对，，当时，则的范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知，，分别是三角形三个内角，，的对边，已知，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的周长.18.（12分）已知为等差数列，公差，中的部分项恰为等比数列，且公比为，若，，（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的通项公式及其前项之和.19.（12分）如图，平面平面，点为半圆弧上异于，的点，在矩形中，，设平面与平面的交线为.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）当与半圆弧相切时，求平面与平面的夹角的余弦值.20.（12分）如图，某人设计了一个类似于高尔顿板的嬉戏：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的中间入口处，小球将自由下落，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，最终落入袋或袋中.一次嬉戏中小球落入袋记1分，落入袋记2分，嬉戏可以重复进行.嬉戏过程中累计得分的概率为.（Ⅰ）求，，.（Ⅱ）写出与之间的递推关系，并求出的通项公式.21.（12分）设动圆与圆外切，与圆内切.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点且不与轴垂直的直线交轨迹于，两点，点关于轴的对称点为，为的外心，摸索究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22.（12分）已知函数，是大于0的常数.记曲线在点处的切线为，在轴上的截距为，（Ⅰ）当，时求切线的方程；（Ⅱ）证明：.2025届高三湖北十一校第一次联考参考答案一、选择题题号123456789101112答案ACABCCDDBCDABADACD1.A【解析】，∴2.C【解析】∴虚部为3.A【解析】，或，前面可以推导后面，后面不能推导前面4.B【解析】时，∴，再过年，5.C【解析】，由投影的定义知∴6.C【解析】，∴为奇函数，，，∴∴为减函数，或7.D【解析】将按3同余分类得到：，，，∴.8.D【解析】由得，构造函数，求导得在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，且，刚好，的图像如图，得到有3个解.9.BCD10.AB【解析】由三角函数的定义的，取，∴，∴A正确.B：时，正确，C：平移后应为所以C错.D：由得，仅，1符合，恰有两个零点，所以D错.11.AD【解析】A：，故A正确；B：如图，过作，且，连接，，则为正方形，为二面角的平面角，当时，易得为正三角形，过作，则平面，故即为与平面所成的角.在中，，故B错误；C：时，到面的距离为1，所以四面体的体积为，所以C错D：由可得如图，取的中点，的中点，连接，，则二面角的平面角为，，，所以.12.ACD【解析】等轴双曲线的离心率为所以A正确，B：设，所以B错.C：，所以，C正确.D：方法1：设与双曲线及其渐近线依次交于，，，由得中点的横坐标为由得中点的横坐标为，所以和的中点重合，即为双曲线弦的中点，由点差法得，所以D正确.方法2：设，，由∴，所以D正确.三.填空题：13.14.2515.616.13.【解析】14.25【解析】，15.6【解析】由抛物线的定义知，所以，，，，所以.16.【解析】两边取对数所以在上单调递减，所以在上恒成立，解出四.解答题：17.解：（1）由得：……2分∴∵，故为锐角，∴……4分∴……6分（2）由（1）知：，由正弦定理得：……10分∴故的周长为14.……12分18.解：（1）由，，成等比数列，故，即即，又故，……2分故等比数列的公比……4分（2）在等差数列中，……6分在等比数列中，故，即……9分……12分19.解：（1）证明：∵四边形为矩形，∴，∵平面，平面，∴平面……2分又平面，平面平面，∴，……4分∵平面，∴平面.……6分（2）取，的中点分别为，，连接，，则，∵平面平面，且交线为，∴平面，又平面，，当与半圆弧相切时，，即，以，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，……7分不妨设，易得，，，，则，，，设为平面的一个法向量，则，即，∴，令，则……9分设为平面的一个法向量，则，即令，则……11分∴，所以两平面的夹角的余弦值为.……12分20.解：（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋，故概率小球落入袋中的概率……2分故，，……5分（2）法1：嬉戏过程中累计得不到分，只可能在得到分后的一次嬉戏中小球落入袋（分）故即……8分法2：嬉戏过程中累计得分可以分为两种状况：得到分后的一次嬉戏小球落入袋中（分），或得到分后的一次嬉戏中小球落入袋中（）分，故故为常数数列且，故即……8分由……10分故为等比数列且首项为，公比为故，故……12分21.解：（1）设动圆半径为，由圆与圆外切得：，由圆与圆内切得：故，……2分故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，故∴点的轨迹的方程为：……4分（2）设，，由……6分故，，的中点故的中垂线的方程为：……8分因