2024年新高考数学一轮复习达标检测第23讲两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式教师版

第24讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式[A组]—应知应会1．cos75°＝（）A．6-22 B．6+【分析】将75°看成30°与45°的和，然后利用两角和的余弦公式求解．【解答】解：cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45°==6故选：C．2．已知sinα=10A．45 B．-45 C．【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解．【解答】解：∵sinα=10∴cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（1010）2=故选：A．3．已知sinα=1A．15 B．1515 C．-15【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而即可求解tanα的值．【解答】解：∵sinα=1∴cosα＜0，可得cosα=-∴tanα=sinα故选：D．4．已知tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，则tan（α+β）＝（）A．13 B．-12 C．【分析】干脆利用一元二次方程根和系数关系式的应用和和角公式的运用求出结果．【解答】解：tanα，tanβ是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两实根，则：tanα+tanβ＝﹣2，tanα•tanβ＝﹣5，故tan(故选：D．5．设a＝sin18°cos44°+cos18°sin44°，b＝2sin29°cos29°，c＝cos30°，则有（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【分析】利用两角和差的正弦公式，倍角公式以及三角函数的单调性进行比较大小即可．【解答】解：a＝sin18°cos44°+cos18°sin44°＝sin（18°+44°）＝sin62°，b＝2sin29°cos29°＝sin58°，c＝cos30°＝sin60°，∵y＝sinx在[45°，90°]上为增函数，∴sin62°＞sin60°＞sin58°，即a＞c＞b，故选：B．6．已知sin（α-π6）=2A．459 B．-45【分析】利用诱导公式化简已知可得cos（2π3-【解答】解：∵sin（α-π6）＝cos[π2-（α-π∴sin（2α-5π6）＝cos[π2-（2α-5π6）]＝cos（4π3-故选：D．7．已知α为其次象限角，sinα+A．-247 B．247 C．【分析】将已知等式平方可得2cosαsinα的值，从而可求得cosα﹣sinα，结合已知条件求得cosα，sinα的值，求得tanα的值，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值．【解答】解：∵sinα+cosα∴平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα=1可得：1+2sinαcosα=1可得2cosαsinα=-从而cosα﹣sinα=-(∴①②联立解得：cosα=-35，sinα=∴tan2α=2故选：B．8．已知tan（α+β）＝3，tan（α﹣β）＝5，则tan2a的值为（）A．-47 B．47 C．【分析】由关系式2α＝（α+β）+（α﹣β）及两角和的正切公式代入已知即可求值．【解答】解：∵tan（α+β）＝3，tan（α﹣β）＝5，∴tan（2α）＝tan[（α+β）+（α﹣β）]=tan故选：A．9．若α∈（π2，π），则2cos2α＝sin（πA．18 B．-7【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得，cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．【解答】解：法1：∵α∈（π2，π），且2cos2α＝sin（π∴2（cos2α﹣sin2α）=2∴cosα+sinα=-∵cosα+sinα=-24，则有1+sin2α=故选：B．法2：∵α∈（π2∴2α∈（π，2π），∴sin2α＜0，综合选项，故选：B．10．已知tanαtanβ＝m，cos（α﹣β）＝n，则cos（α+β）＝（）A．2n(1-m)m+1 B．n(1-【分析】依据同角的三角函数关系，结合两角和差的余弦公式建立方程，求出sinαsinβ，cosαcosβ的值即可．【解答】解：∵tanαtanβ＝m，∴sinαsinβcosαcosβ=m，即sinαsinβ＝∵cos（α﹣β）＝n，∴cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝n，得cosαcosβ+mcosαcosβ＝n，得cosαcosβ=n1+m，sinαsinβ则cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ=n故选：B．11．（多选）下列四个等式其中正确的是（）A．tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=B．tan22.5°C．cos2π8-sin2D．1sin10【分析】利用三角恒等变换逐项推断即可．【解答】解：对①：tan60°＝tan（25°+35°）=tan25°+tan35°1对②：tan22.5°1-对③：cos2π8-sin2π8对④：1sin10故选：AD．12．（多选）下列各式中，值为32A．2sin15°cos15° B．1+tan15°C．1﹣2sin215° D．3tan15【分析】利用二倍角公式结合三角函数的值逐一求解四个选项得答案．【解答】解：2sin15°cos15°＝sin30°=1+tan15°1﹣2sin215°＝cos30°=3tan15°∴值为32的是BCD故选：BCD．13．已知sin（π2-α）=1【分析】由已知利用诱导公式可求cosα=1【解答】解：∵sin（π2-α）＝cosα∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（13）2﹣1=故答案为：-714．已知α为锐角，sin（π3-α）=3【分析】先利用同角关系式求出余弦值，结合两角和差的余弦公式进行拆角转化即可．【解答】解：∵α为锐角，∴0＜α＜π2，则-π2＜∵sin（π3-α）=33，∴cos（则cosα＝cos（﹣α）＝cos[（π3-α）-π3]＝cos（π3-α）cos故答案为：115．已知sinα+cosα=15【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得结果．【解答】解：∵已知sinα+cosα=∴1+sin2α=125，且π＜2α∴sin2α=则cos2α=-故答案为：-716．已知α∈（π2，π），tan2α=34，则sin2α+cos2【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式的，以及三角函数在各个象限中的符号，先求出tanα的值，可得要求式子的值．【解答】解：已知α∈（π2，π），tan2α=34，∴2α∈（π，3π2），∴α∈（且2tanα1-tan2α则sin2α+cos2α=2sinαcosα故答案为：-117．已知sinαsin（π2-β）﹣sin（π2+【分析】由已知利用诱导公式，两角差的正弦函数公式可得sin（α﹣β）＝1，可求α-β2=kπ+π4，【解答】解：∵sinαsin（π2-β）﹣sin（∴sinαcosβ﹣cosαsinβ＝sin（α﹣β）＝1，∴α﹣β＝2kπ+π2，k∈Z，可得α-β2=kπ∴tanα-β2=tan（kπ故答案为：1．18．已知锐角θ满足cos（θ+π6）=-23【分析】依据同角三角函数关系，以及诱导公式，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．【解答】解：∵锐角θ满足cos（θ+π6）∴π6＜θ则sin（θ+π6）∵θ+5π12-（θ+∴θ+5π12=（θ+则sin（θ+5π12）＝sin[（θ+π6）+π4]＝sin（θ+π故答案为：1419．已知sinα=45，α∈（π2（1）求cos（α+β）的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【分析】（1）干脆利用三角函数的定义和和角公式的运用求出结果．（2）利用切化弦思想和差角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）已知sinα=45，α∈（所以cosα=由于cosβ=-所以sinβ=故：cos（α+β）=cosαcosβ（2）由于tanα=sinαcosα故tan20．已知α为锐角，求下列各式的值：（1）sinα=35（2）cos(【分析】（1）由α为锐角及α的正弦值可得α的余弦值，将sin(（2）由α为锐角及cos(α+π3)=13＞0，可得α+π3∈【解答】解：（1）因为α为锐角，sinα=35所以sin(α+π6（2）因为α为锐角，cos(α+π3)=13＞0，α+π所以sinα＝sin[（α+π3）-π3]＝sin（α+π321．已知0＜（1）求cosα的值；（2）求sin2α的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得cosα的值．（2）由题意利用诱导公式、二倍角公式，求得结果．【解答】解：（1）因为0＜α＜π2由cos(π4所以cosα=（2）sin222．已知sin（π﹣α）=437，cos（α﹣β）=（1）求sin（α+π（2）求角β的大小．【分析】（1）干脆利用三角函数的诱导公式的应用和同角三角函数的变换的应用求出结果．（2）利用三角函数的角的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）已知sin（π﹣α）＝sinα=4由于0＜α＜π所以cosα=故sin(（2）0＜β＜α＜π所以0＜由于cos（α﹣β）=13所以sin(故：cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosβcos（α﹣β）+sinβsin（α﹣β）=1由于0＜β＜π所以β=23．已知tanα＝2，其中α∈（0，π2（1）求2sin（2）求cos（α+π【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式化简化简求解．（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα的值，进而依据两角和的余弦函数公式即可求解cos（α+π【解答】解：（1）由于tanα＝2，其中α∈（0，π2所以：2sin（2）由于tanα＝2，其中α∈（0，π2可得：cosα=11+tancos（α+π4）=22cosα [B组]—强基必备1．已知α，β是函数f（x）＝sinx+cosx-1A．﹣1 B．-89 C．【分析】利用函数与方程之间的关系，结合三角函数的诱导公式，同角的三角函数的关系以及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可．【解答】解：解法一：依题意，f（α）＝f（β）＝0，故sinα+cosα=得9sin2α﹣3sinα﹣4＝0，9cos2α﹣3cosα﹣4＝0且sinα≠cosα，所以sinα，cosα是方程9x2﹣3x﹣4＝0（*）的两个异根．同理可证，sinβ，cosβ为方程（*）的两个异根．可以得到sinα≠sinβ，理由如下：假设sinα＝sinβ，则cosα＝cosβ，又α，β∈[0，2π），则α＝β，这与已知相悖，故sinα≠sinβ．从而sinα，sinβ为方程（*）的两个异根，故sinαsinβ=-49．同理可求解法二：令f（x）＝0，得sinx+cosx=13．令g（x）＝sinx则α，β即为g（x）与直线y=由图象可知，α+β2=5π又2sin(α解法三：依题意，不妨设0≤β＜α＜2π，则点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）为直线x+如图所示．取AB中点为H，则OH⊥AB，记∠AOH＝θ．则α﹣β＝2π﹣2θ，所以，cos（α﹣β）＝cos（2π﹣2θ）＝cos2θ＝2cos2θ﹣1．另一方面，OH=|0+0-13从而cos(故选：B．2．已知sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3π2），则1A．-12 B．﹣2 C．【分析】推导出α2∈（π2，3π4），tanα2∈（﹣1，0），1-【解答】解：∵α∈（π，3π2），∴α2∈（π2，3π4∴1==co∵sinα﹣2cosα＝1，α∈（π，3π2∴1-故选：B．3．已知