高一创新班数学周练

第=page11页，共=sectionpages11页高一创新班数学周练(11)(数学)一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=yy=2x，B=A.A∩B=φ B.A∪B=R C.A⊆B D.B⊆A2.设复数z=a+bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)，则“a=0”是“z为纯虚数”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ccosB=2a−bcosCA.π6 B.π3 C.2π34.已知a=1.50.2，b=log0.8A.a>c>b B.c>b>a C.a>b>c D.c>a>b5.函数f(x)=ex−1ex+1A. B.

C. D.6.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是线段BB1上靠近B1的三等分点，点F是线段A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=2,1tanA+1tanA.1+2 B.1+3 C.8.已知定义在R上的函数y=fx是偶函数，当x≥0时，fx=2sinπx2,0≤x≤112x+A.−2,−34 B.−2,−74

C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知a>b>0>c，则下列不等式正确的是(

)A.1a<1c B.a3c<10.在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，则下列说法正确的是(

)A.若a>b，则sin2A>sin2B B.若a>b，则cos2A<cos2B

C.若a+c=2b，则B的最大值为π3 11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G、H、M、N分别是棱AB、BC、A1B1、A.直线GH和MN平行，GH和EF相交 B.直线GH和MN平行，MN和EF相交

C.直线GH和MN相交，MN和EF异面 D.直线GH和EF异面，MN和EF异面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数fx=x+1,x≤0lnx+1,x>0，则关于x13.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120∘的扇形，则该圆锥的表面积为________.14."十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点(该点为所在棱的中点).若“十字贯穿体”由两个底面边长为1，高为4的正四棱柱构成，给出下列四个结论：①该“十字贯穿体”的表面积是36−22

③一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直④二面角M−DE−B的正弦值为

其中正确结论是________.四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)设实部为正数的复数z，满足|z|=25，且复数(1)求复数z；(2)若复数z是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R的根，求实数m和n16.(本小题12分)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCP与△CDQ均为正三角形，将△ABD，△BCP与△CDQ向上折起，使得A,P,Q三点重合于点A1，得到三棱锥

(1)证明：平面BCD⊥平面A(2)设E为棱A1D上一点，二面角D−BC−E为45∘17.(本小题12分)已知函数fx(1)求实数a的值；(2)判断函数fx(3)设函数g(x)=log2x2⋅log2x4+m18.(本小题12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积为43,a=3(3)若sinB=6319.(本小题12分)定义函数fx=msinx+ncosx的“源向量”为OM=(1)若向量OM=1,3的“伴随函数”为fx(2)若函数gx=sinx+α的“源向量”为OM，且以O为圆心，OM为半径的圆内切于正△ABC(顶点C恰好在y轴的正半轴上(3)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若函数ℎx的“源向量”为OM=0,1，且己知a=8,ℎA=答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

分别化简集合A和B，逐一核对答案即可．

本题考查集合间的关系，以及指数函数的性质和一元二次不等式的解法，属于基础题．

【解答】

解：集合A={y|y=2x}={y|y>0}=(0,+∞)，

集合B={x|x2−3x+2≤0}={x|(x−1)(x−2)≤0}=[1,2]，2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查复数的基本概念及充要条件的判断，属于基础题.

利用“a=0”与“复数a+bi为纯虚数”互为前提与结论，经过推导判断即可．

【解答】

解：

因为当a=0并且b=0时，复数z=a+bi为实数，所以充分性不成立，

复数z=a+bi为纯虚数，所以a=0并且b≠0，所以a=0，即必要性成立，

所以“a=0”是“复数z为纯虚数”的必要不充分条件．

故选B.3.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了利用正弦定理解三角形和三角恒等变换，属于基础题.

先由正弦定理得sinCcosB=(2sinA−sinB)cosC，整理得cosC=12，可得C的大小.

【解答】

解：由正弦定理得：ccosB=(2a−b)cosC可等价变形为sinCcosB=(2sinA−4.【答案】A

【解析】【分析】

本题主要考查指数函数的性质，对数函数的性质，属于基础题.

根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小.

【解答】

解：因为

a=1.50.2>1,b=log0.81.2<0,c=0.80.25.【答案】A

【解析】【分析】本题考查函数图像的识别，属于基础题.

利用函数的奇偶性和特殊值进行排除即可求解.

【解答】

解：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，∵f(x)−f−x=e∴f(x)为偶函数，排除BD，又∵当x∈0,π2时，则sin∴f(x)>0，排除C，综上所述：A正确.故选A.6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查空间几何体的截面问题，属于中档题.

根据面面平行的性质作出截面图形即可.【解答】解：不妨设AB=6，分别延长AE，A1B1交于点G，此时B1G=3，连接FG交B1C1于H，连接EH，设平面AEF与平面DCC1D1的交线为l，则F∈l，因为平面ABB1A1//平面DCC1D1，平面AEF∩平面ABB1A1=AE7.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及两角和的正切公式的应用，属于中档题.

由两角和的正切公式的变形求出C=π4，由正弦定理得R=2，数形结合再由三角形面积公式可得结果.

【解答】

解：由1tanA+1tanB+1tanAtanB=1得tanA+tanB=tanAtanB−1，

所以tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB=−1，则tanC=1，

由于8.【答案】C

【解析】【分析】本题考查函数零点、方程的根的个数，偶函数的性质，属于较难题.

确定函数

fx

的大致图象，令

fx=t

，则关于

x

的方程

fx2+2afx+b=0a,b∈R

即可写成

t【解答】解：由题意可知，函数

fx

根据函数图像，函数

fx

在

−∞,−1

，

0,1

上单调递增，

在

−1,0

，

1,+∞

上单调递减；且

x=±1

时取最大值2，

在

x=0

时取最小值0，

y=32令

fx=t

，则关于

x

的方程

fx2+2afx此时关于

t

的方程应该有两个不相等的实数根，设

t1

，

t2①当

t1∈0,32

，

t2∈32,2②当

t1=2

，

t2∈32,2

时，此时

综上可知，实数

a

的取值范围是

−2,−7故选：C.9.【答案】BD

【解析】【分析】本题考查的是不等式的基本性质，考查对数函数的图象与性质，通过比较各项的大小，即可得出结论.属于一般题。

根据不等式的性质，结合对数函数的性质求解即可.【解答】解：由题意，a>b>0>c∴1a>0>1a3>b3a2>b2>0

，

a−c>0,b−c>0,ab∴lga−cb−c>0故选：BD.10.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查正余弦定理及其应用，三角恒等变换，二倍角公式以及基本不等式，属于中档题.举例，A=π3,B=π6，可判断A;由y=cosx在x∈0,π上单调递减，得到

cos【解答】

解：对于A：取特殊的直角三角形ABC，其中A=π3,B=π6，满足a>b对于B：在△ABC中，因为a>b，所以A>BA+B<π，因为y=cosx在x∈0,π上单调递减，所以cosB>cosA>cosπ−B，

即cosB>cosA>−对于C：在△ABC中，因为a+c=2b，所以由余弦定理得：cos B=a2+c2−b因为y=cosx在x∈0,π上单调递减，所以B∈0,π3，即对于D：在△ABC中，因为ac=b2，所以由余弦定理得：cosB=a2+因为y=cosx在x∈0,π上单调递减，所以B∈0,π3，即B故选：BCD.11.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中直线与直线间的位置关系等基础知识，是中档题．推导出四边形MGHN是平行四边形，故GH//MN，由异面直线判定定理得GH和EF是异面直线，由EM//NF，且EM=2NF，得MN和EF相交．

【解答】解：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

E，F，G，H，M，N分别是棱AB，BC，A1B1，BB1，C1D1，CC1的中点，

∴MG=//NH，∴四边形MGHN是平行四边形，

∴GH//MN，故C错误；

∵EF∩平面ABB1A1=E，GH⊆平面ABB1A12.【答案】−∞,e−1

【解析】【分析】本题主要考查分段函数与不等式，属于基础题.

由分段函数的解析式，分段解不等式，取并集可得.

【解答】

解：当x≤0时，x+1≤1得x≤0，∴x≤0;当x>0时，ln (x+1)≤1得−1<x≤e−1，∴0<x≤e−1综上：fx≤1的解集为−∞,e−1.13.【答案】4π

【解析】【分析】本题考查圆锥的表面积的求法，考查圆锥结构特征等基础知识，考查运算求解能力、考查函数与方程思想，是中档题．

设此圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长，可得l=3，由此能求出此圆锥的表面积．【解答】

解：设此圆锥的母线长为l，

根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，

2π×1=2π3×l，

解得l=3，

∴此圆锥的表面积为S=πrl+π14.【答案】②

【解析】【分析】

本题考查了几何体的的表面积和体积、二面角的应用、余弦定理，是中档题.

根据几何体的表面积、体积和二面角的求解对选项逐一判定即可.

【解答】

解：如图一个正四棱柱的某个侧面ABFH与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE、DE，

则在矩形ABFH中，可知CD=PM=2，G为CD中点，连接

由对称性可知，E为HF中点，G为AB中点，GE=BF=1，CG=GD=CD2=显然CE2+DE2BD=2−22该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成，则表面积S=4×1+16×2+2−如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST，取CS的中点I，

则多面体CDGEST可以分成8个全等三棱锥C−GEI，则S△GEI=12×1×1=12则VC−GEI该“十字贯穿体”的体积即为V=2×4−8V过点F作FW⊥DE于W，连接WN，

因为梯形BDEF与梯形MDEN全等，所以NW⊥DE，则∠NWF为二面角M−DE−B的平面角，因为S△DEF=1所以WF=263，所以cos∠NWF=0<∠NWF<π，则∠NWF=2π315.【答案】解：(1)设z=a+bi，(a,b∈R,a>0)，则(1+2i)z=(1+2i)(a+bi)=a−2b+(b+2a)i，因为(1+2i)z为纯虚数，所以a−2b=0，且b+2a≠0又z=25解得a=4，b=2，

故z=4+2(2)因为z=4+2i是关于x的方程x所以(4+2i)2+m(4+2i)+n=0所以16+2m=04m+n+12=0，解得

【解析】本题考查了复数的概念，复数范围内方程的根，属于中档题.(1)根据复数模的公式，结合复数乘法的运算法则和纯虚数的概念即可得出答案；(2)由题意可得16+2m=016.【答案】(1)证明：取

BD

的中点

M

，连接

A1M

，

CM

，则

A依题意可得

A1C=PC=2

，

A1M=2所以

A1M2+CM2又

BD∩CM=M

，

BD⊂

平面

BCD

，

CM⊂

平面

BCD

，所以

A1M⊥

平面

BCD又因为

A1M⊂

平面

A1BD

，所以平面

BCD⊥

平面(2)解：如图，作

EF//A1M

交

BD

于

F

，作

FG⊥BC

于

G

，连接

因为

A1M⊥

平面

BCD

，所以

EF⊥

平面

BCD

，所以

EF⊥BC又

FG⊥BC

，

FG∩EF=F

，

EF⊂

平面

EFG

，

FG⊂

平面

EFG

，所以

BC⊥

平面

EFG

，所以

BC⊥EG

，则

∠EGF

是二面角

D−BC−E

的平面角，则

∠EGF=45∘因此

△EFG

是等腰直角三角形，设

EF=GF=x

，则

EFA1M=FDMD由

GFCD=BFBD

，得

x2=VA1VE−BCD=故

VA

【解析】本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式、相似三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．

(1)由题意可得A1C=PC=2，A1M=2，CM=2，，利用勾股定理的逆定理可得：A1M⊥CM.，EF⊥BC，即可证明；

(2)作EF//A1M交BD于F，作FG⊥BC17.【答案】解：(1)由已知函数需满足2x+a≠0，

当a≥0时，函数的定义域为R函数fx=2x+1即2−x+12−x+a=−2x+12x当a<0时，x≠log2(−a)又函数fx=2x+12x此时f(x)=2x+1f(−x)=2综上所述：a=−1；(2)fx在−∞,0和0,+∞f(x)=2x+1设∀x1,则f(x因为x1,x2∈0,+∞，且所以fx1>fx2，

同理可证，所以fx在−∞,0所以fx在0,+∞，−∞,0(3)函数fx在−∞,0和0,+∞且当x∈−∞,0时，fx<0，当x∈x2∈(0,1]时，fx≥f1=3，

又gx设t=log2x,t∈1,3，当t=32时，取最小值为−14+m，

即gx在x∈2,8上的值域又对任意的x1∈2,8，总存在x即B⊆A，

所以−14+m≥3，解得m≥13

【解析】本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题、判断或证明函数的单调性、求函数的值域，属于较难题.

(1)由奇函数定义计算即可得；(2)利用函数单调性的定义判断即可；(3)计算出f(x)及g(x)的值域后，对任意的x1∈[2,8]，总存在x2∈(0,1],使得gx118.【答案】解：(1)∵ccos由正弦定理得：sin C即sin (B+C)=又∵sin (B+C)=sin A=sin∵sin A≠0，又∵0<A<π，∴A=π3；

(2)∵S=12bcsin A=由余弦定理得：a2即27=(b+c)解得：b+c=5∴△ABC的周长为a+b+c=3