2025版新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.2两条直线平行和垂直的判定素养作业新人教A版选择性必修第一册

A组·基础自测一、选择题1．若直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为(D)A.eq\f(1,a) B．aC．－eq\f(1,a) D．－eq\f(1,a)或不存在[解析]由l1⊥l2，当a≠0时，l2的斜率k＝－eq\f(1,a)，当a＝0时，l2的斜率不存在，故应选D.2．已知A(－2eq\r(3)，9)，B(6eq\r(3)，－15)，直线l∥AB，则直线l的倾斜角α为(B)A．60° B．120°C．45° D．135°[解析]因为kAB＝eq\f(－15－9,6\r(3)－－2\r(3))＝－eq\r(3)，所以α＝120°.3．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(C)A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形[解析]易知kAB＝eq\f(－1－1,2＋1)＝－eq\f(2,3)，kAC＝eq\f(4－1,1＋1)＝eq\f(3,2)，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．故选C.4．已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是(B)A．平行 B．垂直C．可能重合 D．无法确定[解析]由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立，故方程有两个相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在，且不相等．设方程的两根分别为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2.5．将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2,0)与点(－2,4)重合，点(2022，2023)与点(m，n)重合，则m＋n＝(C)A．2024 B．2024C．4045 D．4046[解析]设A(2,0)，B(－2,4)，则点A，B所在直线的斜率为kAB＝eq\f(4－0,－2－2)＝－1.由题意，知过点(2022,2023)，(m，n)的直线与直线AB平行，所以eq\f(n－2023,m－2022)＝－1，整理得m＋n＝2022＋2023＝4045.故选C.二、填空题6．直线l1过点A(0,3)，B(－4，－1)，直线l2的倾斜角为45°，则直线l1与l2的位置关系是平行或重合.[解析]因为直线l1过A(0,3)，B(－4，－1)，所以l1的斜率k1＝eq\f(3－－1,0－－4)＝1，直线l2的斜率k2＝tan45°＝1，因为k1＝k2，故l1∥l2或重合．7．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝2；若l1∥l2，则b＝－eq\f(9,8).[解析]当l1⊥l2时，k1k2＝－1，所以－eq\f(b,2)＝－1，所以b＝2；当l1∥l2时，k1＝k2，所以Δ＝(－3)2＋4×2b＝0，所以b＝－eq\f(9,8).8．已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为_(－19，－62)__.[解析]设A(x，y)，因为AC⊥BH，AB⊥CH，且kBH＝－eq\f(1,5)，kCH＝－eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x＋6)＝5，,\f(y－1,x－2)＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－19，,y＝－62.))所以A(－19，－62)．三、解答题9．已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1)求点D的坐标；(2)试判定▱ABCD是否为菱形？[解析](1)设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0－2,5－1)＝\f(b－4,a－3)，,\f(b－2,a－1)＝\f(4－0,3－5)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝6，))所以D(－1,6)．(2)因为kAC＝eq\f(4－2,3－1)＝1，kBD＝eq\f(6－0,－1－5)＝－1，所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形．B组·素养提升一、选择题1．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(A)①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)，且l1不经过A点；②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点；③l1经过点M(－1,0)，N(－5，－2)，l2经过点R(3,2)，S(5,3)．A．①② B．②③C．①③ D．①②③[解析]由斜率公式，①中，直线l2的斜率也为2，故l1∥l2；②中，直线l1的斜率也为0，故l1∥l2；③两条直线的斜率均为eq\f(1,2)且M、N、R、S四点共线，故l1与l2重合．故选A.2．已知两点A(2,0)，B(3,4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，则y的值是(B)A．19 B．eq\f(19,4)C．5 D．4[解析]由O，A，B，C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补，又由题意得∠COA＝90°，所以∠CBA＝90°，所以AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即eq\f(4－0,3－2)·eq\f(4－y,3－0)＝－1，解得y＝eq\f(19,4).故选B.3．已知点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(C)A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0D．|b－a3|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0[解析]明显角O不能为直角(否则得a＝0，不能组成三角形)．若角A为直角，则依据点A，B的纵坐标相等，得b－a3＝0.若角B为直角，则利用kOB·kAB＝－1，得b－a3－eq\f(1,a)＝0.综上可得(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0.二、填空题4．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角＝45°.[解析]∵kPQ＝eq\f(a＋1－b,b－1－a)＝－1，kPQ·kl＝－1，∴l的斜率为1，倾斜角为45°.5．已知l1，l2不重合，过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线l1与直线l2平行，直线l2的斜率为－2，直线l3的斜率为－eq\f(1,n)，若l2⊥l3，则实数m＝－8，n＝－2.[解析]由题意可得，直线l1的斜率为eq\f(4－m,m＋2)，直线l2的斜率为－2，且l1∥l2，所以eq\f(4－m,m＋2)＝－2，解得m＝－8.由于直线l3的斜率为－eq\f(1,n)，且l2⊥l3，所以(－2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,n)))＝－1，解得n＝－2.三、解答题6．如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针依次依次为O(0,0)，P(1，t)，Q(1－2t，2＋t)，R(－2t,2)，其中t>0.试推断四边形OPQR的形态．[解析]由斜率公式得kOP＝eq\f(t－0,1－0)＝t，kRQ＝eq\f(2－2＋t,－2t－1－2t)＝eq\f(－t,－1)＝t，kOR＝eq\f(2－0,－2t－0)＝－eq\f(1,t)，kPQ＝eq\f(2＋t－t,1－2t－1)＝eq\f(2,－2t)＝－eq\f(1,t).所以kOP＝kRQ，kOR＝kPQ，从而OP∥RQ，OR∥PQ.所以四边形OPQR为平行四边形．又kOP·kOR＝－1，所以OP⊥OR，故四边形OPQR为矩形．C组·实力拓展直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m的值为4＋eq\r(3).[解析]如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l1的斜率k1＝tan60°＝e