新教材同步备课2024春高中数学第9章统计9.2用样本估计总体9.2.3总体集中趋势的估计教师用书新人教A版必修第二册

9.2.3总体集中趋势的估计学习任务1．结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数)．(数学抽象、数据分析)2．理解集中趋势参数的统计含义．(直观想象)甲、乙两位同学相约晚上在某餐馆吃饭．他们分别在A，B两个网站查看同一家餐馆的好评率．甲在网站A查到的好评率是98%，而乙在网站B查到的好评率是85%.综合考虑这两个网站的信息，应当如何得到这家餐馆的总好评率？学问点众数、中位数、平均数1．众数、中位数和平均数的定义(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．(2)中位数：一组数据按大小依次排列后，处于中间位置的数．假如个数是偶数，则取中间两个数据的平均数．(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数．1．中位数确定是样本数据中的一个数吗？[提示]不愿定．一组数据按大小依次排列后，假如有奇数个数据，处于中间位置的数是中位数；假如有偶数个数据，则中间两个数据的平均数是中位数．2．一组数据的众数确定唯一吗？[提示]不愿定，数据的众数可能有一个，也可能有多个．2．频率分布直方图中的众数、中位数、平均数(1)单峰频率分布直方图中的平均数与中位数①假如直方图的形态是对称的，那么平均数与中位数大体上差不多．②假如直方图在右边“拖尾”，那么平均数大于中位数；假如直方图在左边“拖尾”，那么平均数小于中位数，也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．(2)在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标；中位数左边和右边的直方图的面积应当相等；样本平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势． ()(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据． ()(3)若变更一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生变更． ()[答案](1)√(2)×(3)×类型1一组数据的平均数、中位数和众数【例1】已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，18，15，11，16，18，18，17，15，13，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞a＞b D．c＞b＞aD[由题意得a＝110(16＋18＋15＋11＋16＋18＋18＋17＋15＋13)＝15710＝15.7，中位数为16，众数为18，则b＝16，c＝18，∴c＞b＞平均数、众数、中位数的计算方法平均数一般是依据公式来计算的；计算中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的依次排列，再依据相关数据的总数是奇数还是偶数而定；众数是看出现次数最多的数．[跟进训练]1．(1)已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，那么另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为()A．1B．2C．3D．4(2)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26；乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11．则下面结论中正确的是________(填序号)．①甲的极差是29；②乙的众数是21；③甲的平均数为21.4；④甲的中位数是24．(1)A(2)①②③[(1)因为一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，所以另一组数据2x1－3，2x2－3，2x3－3，2x4－3，2x5－3的平均数为2×2－3＝1．故选A.(2)把两组数据按从小到大的依次排列，得甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以①正确；乙中出现最多的数据是21，所以②正确；甲的平均数为x甲＝110×(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝2类型2频率分布直方图中的平均数、中位数和众数【例2】某校从参与高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成果(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后，画出如图所示的频率分布直方图．视察图中的信息，回答下列问题：(1)估计这次考试的物理成果的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；(2)估计这次考试的物理成果的及格率(60分及以上为及格)和平均分．[解](1)众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以众数为m＝75.0．前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，所以中位数n＝70＋0.5(2)依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以估计这次考试的物理成果的及格率是75%.利用组中值估算抽样学生的平均分为45×f1＋55×f2＋65×f3＋75×f4＋85×f5＋95×f6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71．所以估计这次考试的物理成果的平均分是71分．用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数．(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．[跟进训练]2．某中学实行电脑学问竞赛，现将高一参赛学生的成果进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图．求：(1)成果的众数、中位数的估计值；(2)平均成果的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．[解](1)由图可知众数的估计值为65分．设中位数为x，又∵第一个小矩形的面积为0.3，则0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，得x＝65．∴中位数的估计值为65分．(2)依题意，平均成果为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67(分)，∴平均成果的估计值为67分．类型3平均数、中位数和众数的实际应用【例3】(源自湘教版教材)某公司全体职工的月工资如下：月工资/元18000120008000600040002500200015001200人数1(总经理)2(副总经理)34102022126(1)试求出该公司月工资数据中的众数、中位数和平均数；(2)你认为用平均数、中位数或众数中的哪一个更能反映该公司的工资水平？(3)对于职工月工资数据的平均数、中位数和众数，你认为该公司总经理、一般员工及应聘者将分别关注哪一个？说说你的理由．[解](1)在上述80个数据中，2000出现了22次，出现的次数最多，因此这组数据的众数是2000．把这80个数据按从小到大的依次排列后，位于中间的数是2000，2500，因此这组数据的中位数是2000+2500这组数据的平均数为x＝18000(2)由于大多数员工的月工资达不到平均数3115，明显用平均数作为该公司员工月工资的代表值并不合适；众数2000及中位数2250在确定程度上代表了大多数人的工资水平，较能反映月工资水平的实际状况．(3)公司总经理最关切的是月工资的总额，所以他关注的是平均数；一般员工关注的是自己的收入在本公司职工群体中的位置，中位数能帮助职工了解自己的工资收入处于什么样的水平；应聘者最想知道公司发给大多数员工的工资数额，这也是一般应聘者将会拿到的工资，因此应聘者关注的是该公司月工资的众数．平均数、中位数、众数应用问题的两个关注点(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在很多较大的极端值．[跟进训练]3．如表是五年级两个班各11名同学1分钟仰卧起坐的成果(单位：次)：一班1933262928333435333330二班2527292829302935293029(1)这两组数据的平均数，中位数和众数各是多少？(2)你认为哪个数表示两个班的成果更合适？[解](1)一班平均数：(19＋33＋26＋29＋28＋33＋34＋35＋33＋33＋30)÷11＝333÷11≈30.27(次)，一班数据从小到大排列为：19，26，28，29，30，33，33，33，33，34，35，所以一班中位数为33次，33出现的次数最多，众数是33次；二班平均数：(25＋27＋29＋28＋29＋30＋29＋35＋29＋30＋29)÷11＝320÷11≈29.09(次)，二班数据从小到大排列为：25，27，28，29，29，29，29，29，30，30，35，所以二班的中位数是29次，29出现的次数最多，所以二班的众数是29次．(2)运用平均数表示两个班的成果更合适．1．(多选)在一次体育测试中，某班6名同学的成果(单位：分)分别为66，83，87，83，77，96．关于这组数据，下列说法正确的是()A．众数是83 B．中位数是83C．极差是30 D．平均数是83ABC[由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A正确；把数据按从小到大排列为66，77，83，83，87，96，中间两个数为83，83，所以中位数是83，故B正确；极差是96－66＝30，故C正确；由于平均数为(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D错误．]2．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的是()A．中位数可以精确地反映出总体的状况B．平均数可以精确地反映出总体的状况C．众数可以精确地反映出总体的状况D．平均数、中位数、众数都有局限性，都不能精确地反映出总体的状况D[中位数不受少数极端值的影响，对极端值的不敏感也会成为缺点，故A错误；平均数可以较好地反映样本数据全体的信息，但是样本数据质量较差时，运用平均数描述数据的中心位置就可能会与实际状况产生较大差异，故B错误；众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽视使得无法客观反映总体特征，故C错误；综上可知，D正确．]3．已知一组数据按从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么数据的众数是________，平均数是________．65[因为－1，0，4，x，6，15的中位数是5，所以12(4＋x)＝5，x＝6．所以这组数据的众数是6，平均数是16(－1＋0＋4＋6＋6＋15)＝4．某校从参与高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成果(均为整数)的频率分布直方图如图所示．(1)这次测试数学成果的众数为________；(2)这次测试数学成果的中位数为________；(3)这次测试数学成果的平均分为________．(1)75(2)2203(3)72[(1)由题干图知众数为70+(2)由题干图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3，0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x＝2203(3)由题干图知这次数学成果的平均数为：40+502×0.005×10＋50+602×0.015×10＋60+702×0.02×10＋70+802×回顾本节学问，自主完成以下问题：1．在频率分布直方图中，如何确定众数、中位数和平均数？[提示]在频率分布直方图中，众数是最高小矩形底边的中点所对应的数据；中位数左边和右边的直方图的面积应当相等；平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．2．众数、中位数和平均数的各有哪些优缺点？[提示]名称优点缺点平均数与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感任何一个数据的变更都会引起平均数的变更．数据越“离群”，对平均数的影响越大中位数不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响对极端值不敏感众数体现了样本数据的最大集中点众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感课时分层作业(四十二)总体集中趋势的估计一、选择题1．七位评委为某跳水运动员打出的分数如下：84，79，86，87，84，93，84，则这组分数的中位数和众数分别是()A．84，85 B．84，84C．85，84 D．85，85B[把七位评委打出的分数按从小到大的依次排列为：79，84，84，84，86，87，93，可知众数是84，中位数是84．]2.16位参与百米半决赛同学的成果各不相同，按成果取前8位进入决赛．假如小刘知道了自己的成果后，要推断他能否进入决赛．则其他15位同学成果的下列数据中，能使他得出结论的是()A．平均数 B．极差C．中位数 D．方差C[推断是不是能进入决赛，只要推断是不是前8名，所以只要知道其他15位同学的成果中是不是有8个高于他，也就是把其他15位同学的成果排列后看第8个的成果即可，小刘的成果高于这个成果就能进入决赛，低于这个成果就不能进入决赛，这个第8名的成果就是这15位同学成果的中位数．]3．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在如图两种分布形态中，a，b，c，d分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是()A．a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数B．a为平均数，b为中位数，c为平均数，d为中位数C．a为中位数，b为平均数，c为中位数，d为平均数D．a为平均数，b为中位数，c为中位数，d为平均数A[在频率分布直方图中，中位数两侧小矩形的面积相等，平均数是每组频率的中间值乘频数再相加之和，结合两个频率分布直方图得：a为中位数，b为平均数，c为平均数，d为中位数．故选A.]4．(多选)下列说法中正确的是()A．数据2，4，6，8的中位数是4，6B．数据1，2，3，4，4的众数是4C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是8BCD[数据2，4，6，8的中位数为4+5．(多选)在某次中学学科竞赛中，4000名考生的参赛成果统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是()A．成果在[70，80)内的考生人数最多B．不及格的考生人数为1000C．考生竞赛成果的平均分约为70.5分D．考生竞赛成果的中位数为75分ABC[由频率分布直方图可得，成果在[70，80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确．由频率分布直方图可得，成果在[40，60)内的频率为0.25，因此，不及格的人数为4000×0.25＝1000，故B正确．由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确．因为成果在[40，70)内的频率为0.45，[70，80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×0.05二、填空题6．一组数据1，10，5，2，x，2，且2<x<5，若该数据的众数是中位数的234[因为2<x<5，所以由小到大排列为1，2，2，x，5，10，则众数是2，中位数是12(2＋x)，所以2＝23×12(2＋x)，解得x7．数据：1，2，2，3，4，5，6，6，7，8，其中位数为m，第60百分位数为a，则m＋a＝________．10[中位数m＝4+52＝4.5，因为10×60%＝6，所以第60百分位数a＝5+62＝5.5，所以8．对一批底部周长在[80，130](单位：cm)内的树木进行探讨，从中随机抽出200株树木并测出其底部周长，得到频率分布直方图如图所示，由此估计，这批树木的底部周长的众数是________cm，中位数是________cm.1053103[由题图知，这批树木的底部周长的众数约是100+110三、解答题9．某校课外活动小组对该市做空气含尘量调查，下面是一天中每隔两小时测得的数据(单位：g/m3)：0.03，0.04，0.03，0.02，0.04，0.01，0.03，0.03，0.04，0.05，0.01，0.03．(1)求出这组数据的众数和中位数；(2)若国标(国家环境疼惜部的标准)是平均值不得超过0.025g/m3，则这一天该城市的空气是否符合国标？[解](1)由题意知众数是0.03g/m3(出现5次)，将这12个数从小到大排列，中间的两个数都是0.03，故中位数是0.03g/m3．(2)这组数据的平均数x＝112×(0.01×2＋0.02＋0.03×5＋0.04×3＋0.05)＝0.0也就是说，这一天该城市的空气含尘量的平均值是0.03g/m3，超过了0.025g/m3，故不符合国标．10．(多选)某探讨所检测甲、乙两组试验小白鼠的某医学指标值，得到样本数据的频率分布直方图(如图所示)，则下列结论正确的是()A．甲组数据中位数大于乙组数据中位数B．甲组数据平均数小于乙组数据平均数C．甲组数据平均数大于甲组数据中位数D．乙组数据平均数小于乙组数据中位数BCD[依据甲组的样本数据的频率分布直方图可知为单峰的，直方图在右边“拖尾”，所以甲组的平均数大于中位数，且都小于7，同理可得乙组的平均数小于中位数，且都大于7，故甲组数据中位数小于乙组数据中位数，故A错误；甲组数据平均数小于乙组数据平均数，故B正确；甲组数据平均数大于甲组数据中位数，故C正确；乙组数据平均数小于乙组数据中位数，故D正确．故选BCD.]11．(多选)已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数a、中位数b、众数c满意a＋c＝2b，则丢失的数据可能为()A．－10B．4C．12D．18ABD[设丢失的数据为x，则七个数据的平均数a＝31+x7，众数c＝3，由题意，若x≤3，则中位数b＝3，此时平均数a＝2b－c，即31+x7＝3，解得x＝－10；若3<x<5，则中位数b＝x，此时31+x7＋3＝2x，解得x＝4；若x≥5，则中位数b12．某学生5次考试的成果(单位：分)分别为85，67，m，80，93，其中m>0，若该学生在这5次考试中成果的中位数为80，则得分的平均数不行能为()A．70B．75C．80D．85D[设平均数为x，因为中位数为80，所以5次成果排序为67，m，80，85，93或m，67，80，85，93．则x＝67+m+80∵m≤80，∴5x－325≤80，解得x≤81．故选D.]13．某校开展“爱我家乡”摄影竞赛，9位评委给参赛作品A打出的分数如下：88，89，89，93，92，9■，92，91，94．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91．复核员在复核时，发觉有一个数的个位数字无法看清．若记分员计算无误，则该数应当是________．91[设该数的个位数字为x，则这个数为90＋x，由题意，知最低分为88．若90＋x为最高分，则平均分为89+89+91+92+92+14．现有某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)的数据，依据这些数据，以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分组的频率分布直方图如图所示．(1)求直方图中x的值；(2)