四川省眉山市2024-2025学年高一数学下学期期中试题含解析

Page17一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依据诱导公式化简即可得所求结果.【详解】.故选：C.2.函数的最小正周期和最大值分别是（）A.和3 B.和2 C.和3 D.和2【答案】D【解析】【分析】由正弦型函数的周期公式求解最小正周期，求最值即可【详解】因为函数，所以最小正周期为：，当时，有最大值2.故选：D.3.已知是两个不共线的向量，，.若与是共线向量，则实数（）.A.2 B. C.4 D.【答案】D【解析】【分析】依据平面对量的共线的充要条件列出等式计算即可.【详解】由已知，∵与是共线向量，∴存在，使，又，，即，∴，∴，所以，故选：D.4.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】转化，再利用两角和的余弦公式即得解【详解】由题意，故选：A【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式综合，考查了学生综合分析，数学运算实力，属于基础题5.已知向量，且，则实数=A. B.0 C.3 D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：由题意得，，因为，所以，解得，故选C.考点：向量的坐标运算.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知等式平方，利用二倍角公式得出的值，由同角三角函数的关系化简求值即可．【详解】，两边平方得，即则故选:D7.如图，在△中,,是上的一点,若,则实数的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依据共线关系用基底表示，再依据平面对量基本定理得方程组解得实数的值.【详解】如下图，∵三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵，∴，∴②，对比①，②，由平面对量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面对量基本定理，考查基本分析求解实力.8.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案.【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.故选：A二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列两个向量，能作为基底向量的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】依据向量是否共线即可推断其能否作为基底向量，一一推断即可.【详解】A选项，零向量和随意向量平行，所以不能作为基底.B选项，因为，所以不平行，可以作为基底.C选项，，所以平行，不能作为基底.D选项，因为，则不平行，可以作为基底.故选：BD.10.计算下列各式，结果为的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】运用帮助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特别角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.【详解】对于选项A，由帮助角公式得.故选项A正确；对于选项B，，故选项B错误；对于选项C，，故选项C错误；对于选项D，，故选项D正确.故选：AD.11.下列关于平面对量的说法中正确的是（）A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一实数，使得B.在中，若，则点为边上的中点C.已知，均为非零向量，若，则D.若且，则【答案】ABC【解析】【分析】利用向量共线、向量加法、向量垂直、向量运算等学问对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，依据向量共线的学问可知，A选项正确，B选项，，依据向量加法的运算可知点为边上的中点，B选项正确.C选项，由两边平方并化简得，所以，C选项正确.D选项，是一个数量，无法得到两个向量相等，D选项错误.故选：ABC12.已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中图象最高点、最低点的横坐标分别为、，图象在轴上的交点为.则下列结论正确的是（）A.最小正周期为B.的最大值为2C.在区间上单调递增D.为偶函数【答案】BC【解析】【分析】A选项，依据图象得到，A错误；B选项，先依据最小正周期求出，代入特别点坐标，求出，，得到B正确；C选项，代入检验得到在区间上单调递增；D选项，求出，利用函数奇偶性定义推断.【详解】A选项，设的最小正周期为，由图象可知，解得，A错误；B选项，因为，所以，解得，故，将代入解析式得，因，所以解得，因为函数经过点，所以，故，的最大值为2，B正确；C选项，，当时，，因为在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确；D选项，，由于与不愿定相等，故不是偶函数，D错误.故选：BC三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为_____．【答案】【解析】【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．【详解】依据扇形的弧长公式可得，依据扇形的面积公式可得．故答案为：．14.已知点，点，若，则点的坐标是________．【答案】P（3,4）【解析】【详解】试题分析：设，代入得考点：向量的坐标运算15.已知，分别是与方向相同的单位向量，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为__________________.【答案】.【解析】【分析】依据向量的投影定义，列出方程，求解，再依据夹角公式，即可求解.【详解】由题意，得解得∴.∵，∴.故答案为：【点睛】本题考查向量投影公式、夹角公式，属于基础题.16.在中，若，则__________．【答案】【解析】【分析】依据正切和差公式和倍角公式计算即可.【详解】因为，所以，所以，.故答案为：.四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知向量，满意：，，.（1）求与的夹角；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合向量的数量积运算化简已知条件，由此求得，进而求得.（2）利用向量垂直列方程，化简求得的值.【小问1详解】由得，，由于，所以.【小问2详解】，由于，所以.18.如图为函数的部分图象．（1）求函数解析式和单调递增区间；（2）若将的图像向右平移个单位，然后再将横坐标压缩为原来的倍得到图像，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1），，（2）最大值，最小值【解析】【分析】（1）由图象，先求，再求出，然后代入最值点求即可得的解析式，最终整体代入法解出递增区间即可；（2）由题意图象变换得到，求出整体角的范围，转化为求正弦函数的最值即可.【小问1详解】由图象知，，又则，则，将代入得，，得，解得，由，得当时，，所以.令，，得，，所以的单调递增区间为.【小问2详解】将的图像向右平移个单位得，然后再将横坐标压缩为原来的倍得到的图像.已知，则，则.故当时，最小值为；当时，的最大值为.19.已知函数f(x)＝4sinxcos(x+)+m(x∈R，m为常数)，其最大值为2．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）若f(α)＝(＜α＜0)，求cos2α的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）利用二倍角和两角和与差及帮助角公式将函数化为y＝Asin(ωx+φ)的形式，求出最大值，令其等于2，可得实数m的值．（Ⅱ）由题设可得cos(2α+)＝，由2α＝[(2α+)]，利用二倍角余弦公式求解即可．【详解】（Ⅰ）由题设，f(x)＝4sinxcosxcos4sin2xsin+m＝sin2x2sin2x+m=sin2x+cos2x+m＝2sin(2x+)+m.由最大值为2,即2+m＝2，得m＝．（Ⅱ）由f(α)＝，即2sin(2α+)＝．∴sin(2α+)＝，又＜α＜0，∴＜2α+＜．∴cos(2α+)＝；那么cos2α＝cos[(2α+)]＝cos(2α+)cos+sin(2α+)sin＝．20.如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆的交点为，角终边与单位圆的交点为.（1）若，求的取值范围；（2）若点的坐标为，求点的坐标.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点的坐标，依据三角恒等变换用表示，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得，依据两角差正弦和余弦公式求可得点的坐标.【小问1详解】由题意，所以，由，可得，所以，所以的取值范围是.【小问2详解】由，得，，，，所以点的坐标为.21.如图，在边长为4的正三角形中，为的中点，为中点，，令，.（1）试用表示向量；（2）求的值.（3）延长线段交于，设，求实数的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）依据平面对量线性运算法则计算可得；（2）首先用、表示向量，再依据数量积的运算律计算可得；（3）首先用、表示向量，由于与共线，则，依据平面对量基本定理得到方程组，解得【小问1详解】.【小问2详解】因为，所以.【小问3详解】设，，由于与共线，则，即，即，解得，即.22.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国运用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂支配仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设，五个正方形的面积和为.（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；（2）求面积最小值，并求出此时的值.【答案】（1）；的取值范围为，；（2）；.【解析】分析】（1）由题意可知小正方形的边长为，大正方形的边长为，所以五个正方形的面积和为，又，所以，所以的取值范围为，，；(2)其中，，所以，此时，所以