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文档简介
高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省徽师联盟2024届高三上学期10月质量检测数学试题一、选择题1.已知集合,集合,则集合A∩B=()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得,集合表示时线段上的点,集合表示时线段上的点,则表示两条线段的交点坐标,联立,解得,满足条件,所以.故选:C.2.“,”为真命题的一个充分不必要条件是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,,只需在上的最大值小于等于,其中,故,解得,因为,但,所以是“,”为真命题的一个充分不必要条件,C正确;其他三个选项均不是充分不必要条件.故选:D3.不等式的解集为()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得,解得,故不等式的解集为.故选:D.4.若函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函数的定义域为,即,得,因此由函数有意义,得,解得,所以函数的定义域为.故选:D.5.已知,若恒成立,则实数的取值范围是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得,由题意可知,不等式对任意的恒成立,则,解得.故选:B.6.已知函数,则下列说法正确的是()A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.的最小正周期为D.若将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数的图象〖答案〗D〖解析〗因为,所以,,故AB错误;显然的最小正周期为,故C错误.将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数的图象,D正确.故选:D.7.已知曲线在点处切线与直线垂直,则实数的值为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,切线的斜率为,因为切线与直线垂直,所以,解得.故选:D.8.已知正数,,满足,则,,的大小关系为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由,得,则,得,则由得,故,令,则,所以函数上单调递增,则,所以,即,又,所以,综上,.故选:A.二、多选题9.在中,角所对的边分别为,那么在下列给出的各组条件中,能确定三角形有唯一解的是()A.,, B.,,C.,, D.,,〖答案〗BD〖解析〗选项A,点A到边BC的距离是1,∵,∴三角形有两解;选项B,点A到边BC的距离是2与b相等,∴三角形是直角三角形,有唯一解;选项C,点A到边BC的距离是,三角形无解;选项D,根据已知可解出,,∴三角形有唯一解.故选:BD.10.下列命题中,真命题的是()A.,都有 B.,使得.C.任意非零实数,都有 D.函数的最小值为2〖答案〗AB〖解析〗对于选项A,,所以对,都有,故选项A正确;对于选项B,当时,,故选项B正确;对于选项C,若异号,则0,故选项C错误;对于选项D,,当且仅当,此时,此式无解,所以函数的最小值不为2,故选项D错误.故选:AB11.已知,若方程在上恰有3个不同实根,则当取最小值时,下列结论正确的有()A. B.C.的图象关于直线对称 D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意可得:的最小正周期,解答,且,则,解得,所以,故A正确;此时,因为,则,又因为,则,所以,解答,故B错误;由,得为最大值,故的图象关于直线对称,故C正确;由,,可得,,且,则,可得,,所以,D正确;故选:ACD.12.已知是自然对数的底,若,则的值可以是()A.1 B. C.2 D.〖答案〗AC〖解析〗设,则在R上单调递增,∵,∴,即,∴,令,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,∴,从而,故AC符合.故选:AC.三、填空题13.若是偶函数且在上单调递增,又,则不等式的解集为______.〖答案〗〖解析〗因为是偶函数,所以所以,又因为在上单调递增,所以,解得:,故〖答案〗为:.14.若,为真命题,则实数的最小值为_______.〖答案〗〖解析〗若,为真命题,则,由,得,所以,所以实数的最小值为.故〖答案〗为:.15.若函数在上存在单调递减区间,则的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗,则,函数在区间上存在减区间,只需在区间上有解,即在区间上有解,又,则,所以在区间上有解,所以,,令,,则,令,则在区间恒成立,所以在上单调递减,所以,即,所以,所以实数的取值范围是.故〖答案〗为:.16.已知函数,若不等式恒成立,则a的最小值为______.〖答案〗〖解析〗依题意,,,在R上单调递增,且,为奇函数,,令,求导得,函数在上单调递增,当时,有,于是,当时,显然成立,因此,即,令,求导得,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,因此当时,,则,而,有,所以a最小值为.故〖答案〗为:.四、解答题17.已知集合或,.(1)若,求和;(2)若是的必要条件,求实数a的取值范围.解:(1)∵,∴,∴,或;(2)∵是的必要条件,∴∴当时,则有,解得.满足题意.当时,有,或,由不等式组可得,不等式组无解.综上所述,实数a的取值范围是或.18.已知向量,,函数(1)求的单调递增区间;(2)若不等式对都成立,求实数m的最大值.解:(1)由,得所以的单调增区间是(2)因为,所以,所以,所以所以,即m的最大值为0.19.的内角的对边分别为,已知.(1)求;(2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围.解:(1)在中,由及正弦定理得,即,而,即,因此,所以(2)在锐角中,,则,又,由正弦定理得,即而,即,则,,因此,于是面积,所以面积取值范围是.20.已知函数.(1)当时,求关于x的不等式的解集;(2)求关于x的不等式的解集;(3)若在区间上恒成立,求实数a的范围.解:(1)当时,则,由,得,原不等式的解集为;(2)由,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.(3)由即在上恒成立,得.令,则,当且仅当,即时取等号.则,.故实数a的范围是21.已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值.(2)判断的单调性(不必证明).(3)若存在,使成立,求的取值范围.解:(1)因为函数是定义在上的奇函数,所以,即,所以,又因为,所以,将代入,整理得,当时,有,即,又因为当时,有,所以,所以.经检验符合题意,所以,.(2)由(1)知:函数,函数在上是减函数.(3)因为存在,使成立,又因为函数是定义在上的奇函数,所以不等式可转化为,又因为函数在上是减函数,所以,所以,令,由题意可知:问题等价转化为,又因为,所以.22.已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若在上单调递增,求实数的取值范围;(3)当时,判断在零点的个数,并说明理由.解:(1)由可得,此时切线斜率为,而;所以切线方程为,即;即曲线在点处的切线方程为;(2)根据题意,若在上单调递增,即可得在上恒成立,即恒成立;令,则;显然在上满足,而恒成立,所以在上恒成立;即在单调递增,所以;所以即可;因此实数的取值范围为.(3)令,即可得;构造函数,,易知在上恒成立,即在上单调递增,如下图中实曲线所示:又函数恒过,且,易知,所以函数在处的切线方程为;又,所以(图中虚线)在范围内恒在(图中实直线)的上方;所以由图易知与在范围内仅有一个交点,即函数在内仅有一个零点.安徽省徽师联盟2024届高三上学期10月质量检测数学试题一、选择题1.已知集合,集合,则集合A∩B=()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得,集合表示时线段上的点,集合表示时线段上的点,则表示两条线段的交点坐标,联立,解得,满足条件,所以.故选:C.2.“,”为真命题的一个充分不必要条件是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,,只需在上的最大值小于等于,其中,故,解得,因为,但,所以是“,”为真命题的一个充分不必要条件,C正确;其他三个选项均不是充分不必要条件.故选:D3.不等式的解集为()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得,解得,故不等式的解集为.故选:D.4.若函数的定义域为,则函数的定义域为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由函数的定义域为,即,得,因此由函数有意义,得,解得,所以函数的定义域为.故选:D.5.已知,若恒成立,则实数的取值范围是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得,由题意可知,不等式对任意的恒成立,则,解得.故选:B.6.已知函数,则下列说法正确的是()A.的图象关于直线对称B.的图象关于点对称C.的最小正周期为D.若将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数的图象〖答案〗D〖解析〗因为,所以,,故AB错误;显然的最小正周期为,故C错误.将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数的图象,D正确.故选:D.7.已知曲线在点处切线与直线垂直,则实数的值为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,切线的斜率为,因为切线与直线垂直,所以,解得.故选:D.8.已知正数,,满足,则,,的大小关系为()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由,得,则,得,则由得,故,令,则,所以函数上单调递增,则,所以,即,又,所以,综上,.故选:A.二、多选题9.在中,角所对的边分别为,那么在下列给出的各组条件中,能确定三角形有唯一解的是()A.,, B.,,C.,, D.,,〖答案〗BD〖解析〗选项A,点A到边BC的距离是1,∵,∴三角形有两解;选项B,点A到边BC的距离是2与b相等,∴三角形是直角三角形,有唯一解;选项C,点A到边BC的距离是,三角形无解;选项D,根据已知可解出,,∴三角形有唯一解.故选:BD.10.下列命题中,真命题的是()A.,都有 B.,使得.C.任意非零实数,都有 D.函数的最小值为2〖答案〗AB〖解析〗对于选项A,,所以对,都有,故选项A正确;对于选项B,当时,,故选项B正确;对于选项C,若异号,则0,故选项C错误;对于选项D,,当且仅当,此时,此式无解,所以函数的最小值不为2,故选项D错误.故选:AB11.已知,若方程在上恰有3个不同实根,则当取最小值时,下列结论正确的有()A. B.C.的图象关于直线对称 D.〖答案〗ACD〖解析〗由题意可得:的最小正周期,解答,且,则,解得,所以,故A正确;此时,因为,则,又因为,则,所以,解答,故B错误;由,得为最大值,故的图象关于直线对称,故C正确;由,,可得,,且,则,可得,,所以,D正确;故选:ACD.12.已知是自然对数的底,若,则的值可以是()A.1 B. C.2 D.〖答案〗AC〖解析〗设,则在R上单调递增,∵,∴,即,∴,令,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,∴,从而,故AC符合.故选:AC.三、填空题13.若是偶函数且在上单调递增,又,则不等式的解集为______.〖答案〗〖解析〗因为是偶函数,所以所以,又因为在上单调递增,所以,解得:,故〖答案〗为:.14.若,为真命题,则实数的最小值为_______.〖答案〗〖解析〗若,为真命题,则,由,得,所以,所以实数的最小值为.故〖答案〗为:.15.若函数在上存在单调递减区间,则的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗,则,函数在区间上存在减区间,只需在区间上有解,即在区间上有解,又,则,所以在区间上有解,所以,,令,,则,令,则在区间恒成立,所以在上单调递减,所以,即,所以,所以实数的取值范围是.故〖答案〗为:.16.已知函数,若不等式恒成立,则a的最小值为______.〖答案〗〖解析〗依题意,,,在R上单调递增,且,为奇函数,,令,求导得,函数在上单调递增,当时,有,于是,当时,显然成立,因此,即,令,求导得,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,因此当时,,则,而,有,所以a最小值为.故〖答案〗为:.四、解答题17.已知集合或,.(1)若,求和;(2)若是的必要条件,求实数a的取值范围.解:(1)∵,∴,∴,或;(2)∵是的必要条件,∴∴当时,则有,解得.满足题意.当时,有,或,由不等式组可得,不等式组无解.综上所述,实数a的取值范围是或.18.已知向量,,函数(1)求的单调递增区间;(2)若不等式对都成立,求实数m的最大值.解:(1)由,得所以的单调增区间是(2)因为,所以,所以,所以所以,即m的最大值为0.19.的内角的对边分别为,已知.(1)求;(2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围.解:(1)在中,由及正弦定理得,即,而,即,因此,所以(2)在锐角中,,则,又,由正弦定理得,即而,即,则,,因此,于是面积,所以面积取值范围是.20.已知函数.(1)当时,求关于x的不等式的解集;(2)求关于x的不等式的解集;(3)若在区间上恒成立,求实数a的范围.解:(1)当时,则,由,得,原不等式的解集为;(2)由,当时,原不等式的解
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