2023-2024学年吉林省吉林市第四中学高二上学期9月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省吉林市第四中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗直线的斜率不存在，直线的倾斜角为.故选：D.2.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,故选:D．3.已知直线过，且，则直线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设直线斜率为，直线斜率为，因为直线过，，所以斜率为，因，所以，所以，即直线的斜率为.故选：B.4.如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B5.已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（）A. B. C.或 D.〖答案〗D〖解析〗根据题意，，，，则，，结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.故选：D.6.下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.于是四个选项都是错的.故选：A7.如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，因为底面为矩形，，，，所以，，又，所以，则.故选：B8.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，因为，所以，，，，，所以点P到AB的距离．故选：C.9.如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（）.A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D.连接，，，则，在上的投影向量是.设上底面的半径为r，则，.故在上的投影向量是.故选：C二、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．10.在空间直角坐标系中，点的坐标为，则下列说法正确的是（）A.点关于原点对称的点是B.点关于轴对称的点是C.点关于平面，对称的点是D.点关于点对称的点是〖答案〗AC〖解析〗空间直角坐标系中，点.对于A，点关于于原点对称的点的坐标是，A正确；对于B，点关于轴对称的点的坐标是，B错误；对于C，点关于平面对称点的坐标是，C正确；对于D，点关于点对称点的坐标是，D错误；综上知，正确的选项是AC.故选：AC.11.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（）A. B.直线平面C.直线与平面所成角的正切值为 D.点到平面的距离是〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确；对于B，取中点，连接，，，可知且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，故B正确；对于C，取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，故C错误；对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确；故选：ABD12.已知点，点在平面上，且点到点的距离相等，则点的坐标可以为（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗依题意，点在平面上，设，由于，，，整理得，通过验证可知，、符合，所以BC选项正确.故选：BC13.下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（

）A.两条不重合直线的方向向量分别是，则B.直线的方向向量，平面的法向量是，则C.两个不同的平面的法向量分别是，则D.直线的方向向量，平面的法向量是，则〖答案〗AC〖解析〗对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，则，所以，即，故正确；对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即或，故B错误；对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，则，所以，故C正确；对于D，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即，故D错误．故选：AC．14.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.B.直线与平面所成角的正弦值为C.点到直线的距离是D.异面直线与所成角的余弦值为〖答案〗BCD〖解析〗A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，则，A错误；B选项，平面的法向量为，，设直线与平面所成角大小为，则，B正确；C选项，，点到直线的距离为，C正确；D选项，，设异面直线与所成角大小为，则，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．15.设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线l//平面，则实数z的值为__________．〖答案〗-4〖解析〗若直线l//平面，则直线l的方向向量与平面的一个法向量垂直，由此可得，解得.故〖答案〗为：16.设，向量，，，且，，则______.〖答案〗〖解析〗根据可得，故，此时，由可得，故，此时，于是，故.故〖答案〗为：17.已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．〖答案〗〖解析〗依题意，四点共面且任意三点不共线，所以，所以，，，所以，解得.故〖答案〗为：18.已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗因为与的夹角为钝角，，解得，由题意得与不共线，则，解得，的取值范围是.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共60分．每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19.已知直线经过两点，问：当取何值时：（1）直线与轴平行?（2）直线的方向向量的坐标为．（3）直线的倾斜角为?解：（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以．（2）直线的方向向量的坐标为，故，即，解得．（3）由题意可知，直线的斜率，即，解得．20.已知，.（1）若，求的值；（2）若，求实数k的值；（3）若，求实数k的值.解：（1）由已知可得，，所以；（2）因为，，又，存在实数m使得，，，，解得；（3）因为，所以，即，解得.21.如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．（1）求证：；（2）求证：平面平面．解：（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，所以，，所以，所以．（2）连接，，如图所示，因为面，面，所以，又因为四边形为正方形，所以，又因为，、面，所以面，又因为面，所以平面平面．22.如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．解：（1）因为平面是菱形，所以，又因为底面，且面，所以，，所以，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示：因为，，，则所以，又因，所以，设平面的法向量，则，取，可得，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.（2）由（1）中的空间直角坐标系，可得，可得，所以与平面所成角的正弦值为，则到平面的距离.23.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．（1）若为棱的中点，求证：平面；（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.解：（1）取中点，连接，分别为的中点，，底面四边形是矩形，为棱中点，，．，，故四边形是平行四边形，．又平面，平面，平面．（2）假设在棱上存在点满足题意，在等边中，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，则是四棱锥的高．设，则，，，所以.以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，．设，．设平面PMB的一个法向量为，则取．易知平面的一个法向量为，，，故存在点，位于靠近点的三等分点处满足题意.吉林省吉林市第四中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗直线的斜率不存在，直线的倾斜角为.故选：D.2.已知向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗,故选:D．3.已知直线过，且，则直线的斜率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设直线斜率为，直线斜率为，因为直线过，，所以斜率为，因，所以，所以，即直线的斜率为.故选：B.4.如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B5.已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（）A. B. C.或 D.〖答案〗D〖解析〗根据题意，，，，则，，结合图象可得直线的斜率k的取值范围是.故选：D.6.下列命题中：①若向量共线，则向量所在的直线平行；②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；③若三个向量两两共面，则向量共面；④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误；对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误；对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误；对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误.于是四个选项都是错的.故选：A7.如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，因为底面为矩形，，，，所以，，又，所以，则.故选：B8.如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，因为，所以，，，，，所以点P到AB的距离．故选：C.9.如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（）.A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D.连接，，，则，在上的投影向量是.设上底面的半径为r，则，.故在上的投影向量是.故选：C二、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．10.在空间直角坐标系中，点的坐标为，则下列说法正确的是（）A.点关于原点对称的点是B.点关于轴对称的点是C.点关于平面，对称的点是D.点关于点对称的点是〖答案〗AC〖解析〗空间直角坐标系中，点.对于A，点关于于原点对称的点的坐标是，A正确；对于B，点关于轴对称的点的坐标是，B错误；对于C，点关于平面对称点的坐标是，C正确；对于D，点关于点对称点的坐标是，D错误；综上知，正确的选项是AC.故选：AC.11.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（）A. B.直线平面C.直线与平面所成角的正切值为 D.点到平面的距离是〖答案〗ABD〖解析〗对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确；对于B，取中点，连接，，，可知且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面，故B正确；对于C，取的中点，连接，则，因为平面，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，故C错误；对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确；故选：ABD12.已知点，点在平面上，且点到点的距离相等，则点的坐标可以为（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗依题意，点在平面上，设，由于，，，整理得，通过验证可知，、符合，所以BC选项正确.故选：BC13.下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（

）A.两条不重合直线的方向向量分别是，则B.直线的方向向量，平面的法向量是，则C.两个不同的平面的法向量分别是，则D.直线的方向向量，平面的法向量是，则〖答案〗AC〖解析〗对于，两条不重合直线，的方向向量分别是，则，所以，即，故正确；对于B，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即或，故B错误；对于C，两个不同的平面，的法向量分别是，则，所以，故C正确；对于D，直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，即，故D错误．故选：AC．14.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.B.直线与平面所成角的正弦值为C.点到直线的距离是D.异面直线与所成角的余弦值为〖答案〗BCD〖解析〗A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，则，A错误；B选项，平面的法向量为，，设直线与平面所成角大小为，则，B正确；C选项，，点到直线的距离为，C正确；D选项，，设异面直线与所成角大小为，则，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．15.设直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，若直线l//平面，则实数z的值为__________．〖答案〗-4〖解析〗若直线l//平面，则直线l的方向向量与平面的一个法向量垂直，由此可得，解得.故〖答案〗为：16.设，向量，，，且，，则______.〖答案〗〖解析〗根据可得，故，此时，由可得，故，此时，于是，故.故〖答案〗为：17.已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则的值为______．〖答案〗〖解析〗依题意，四点共面且任意三点不共线，所以，所以，，，所以，解得.故〖答案〗为：18.已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_________.〖答案〗〖解析〗因为与的夹角为钝角，，解得，由题意得与不共线，则，解得，的取值范围是.故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共60分．每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19.已知直线经过两点，问：当取何值时：（1）直线与轴平行?（2）直线的方向向量的坐标为．（3）直线的倾斜角为?解：（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以．（2）直线的方向向量的坐标为，故，即，解得．（3）由题意可知，直线的斜率，即，解得．20.已知，.（1）若，求的值；（2）若，求实数k的值；（3）若，求实数k的值.解：（1）由已知可得，，所以；（2）因为，，又，存在实数m使得，，，，解得；（3）因为，所以，即，解得.21.