2023-2024学年湖北省武汉市第十九中学高二上学期10月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省武汉市第十九中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（）A.事件“”的概率为 B.事件“t是奇数”与“”互为对立事件C.事件“”与“”互为互斥事件 D.事件“且”的概率为〖答案〗D〖解析〗连掷一枚均匀的骰子两次，

所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，记t＝m＋n，则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；

事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；

事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；

事件“t＞8且mn＜32”有共9个基本事件，

故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；

故选：D．2.如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为M在AC上，且，N在上，且，所以，，在平行六面体中，，，，所以，，所以，故选：A．3.已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（）A.2 B.4 C.-4 D.-2〖答案〗C〖解析〗因为空间三点，，在一条直线上，所以,故，所以.故选：C.4.已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，则，设直线的倾斜角为，故，所以当时，直线的倾斜角；当时，直线的倾斜角；综上所述：直线的倾斜角故选：B5.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.6.如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为（）A. B.16 C.8 D.〖答案〗D〖解析〗分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，则四边形为平行四边形.线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.，则为二面角的平面角，即，如图所示.为等边三角形，，，，平面，平面平面又平面在中，故选：D7.如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，因为底面为矩形，，，，所以，，又，所以，则.故选：B8.某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，所以他们连续通过初赛和复赛的概率为，即进入决赛的概率为.故选：B二、多选题9.下列说法正确的是（）A.不经过原点的直线都可以表示为B.若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)则直线l的方程为C.过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2D.直线3x－2y＝4的截距式方程为〖答案〗BCD〖解析〗A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直线方程为，故B对；C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为，故D对．故选：BCD10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线B.已知，，为空间一个基底，若，则也是空间的基底C.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面D.平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为2〖答案〗BCD〖解析〗A选项，虽然，但是无法判断是否在平面外，所以A选项错误.B选项，由于，所以共面，由于，，为空间的一个基底，即与不共面，也即与不共面，所以也是空间的基底，所以B选项正确.C选项，由，得，所以，所以共面，所以四点共面，所以C选项正确.D选项，，所以到平面的距离是，D选项正确.故选：BCD11.下列说法正确的是（）A.甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是和，则题被解出的概率是B.若，是互斥事件，则，C.某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是〖答案〗BCD〖解析〗∵他们各自解出的概率分别是和，，则此题不能解出的概率为，则此题解出的概率为，A选项错，若、是互斥事件，则，，B选项对，高级教师应抽取时人，C选项对，由题意可得女生相邻的概率，D选项对，故选BCD.12.下列命题正确的是（）A.若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是B.已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面C.已知，若与垂直，则D.已知的顶点分别为，则边上的高的长为〖答案〗BCD〖解析〗若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，当时，即使，也不能说明，故A错误；若，则，所以，所以四点共面，故B正确；由题意可得，若与垂直，则，解得，故C正确；由题意可得，则边上的高的长即为点到直线的距离，故D正确．故选：BCD.三、填空题13.已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____________.〖答案〗〖解析〗由题意可得l的一个单位方向向量为，,故点P到直线l的距离.故〖答案〗为：.14.四面体OABC中，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，若，则________.〖答案〗〖解析〗由题意得：因为又不共面，∴，则.故〖答案〗为：.15.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.〖答案〗①④〖解析〗口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；④，，，，从而，故④正确；⑤，，从而，故⑤错误．故〖答案〗为：①④．16.直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，此时，；当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，此时，.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知的顶点，，．（1）求AB边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．解：（1）线段的中点为，则中线所在直线方程为：，即.（2）设两坐标轴上的截距为，若，则直线经过原点，斜率，直线方程为，即；若，则设直线方程为，即，把点代入得，即，直线方程为；综上，所求直线方程为或．18.在直三棱柱中，，，．（1）求异面直线与所成角的正切值；（2）求直线与平面所成角的余弦值．解：（1）在直三棱柱中，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点、、、、、.设异面直线与所成角为，，，，即，，则，因此，异面直线与所成角的正切值为；（2）设直线与平面所成角为，设平面的一个法向量为，，，，由，得，取，得，所以，平面一个法向量为，，，则.因此，直线与平面所成角的余弦值为.19.已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.解：（1）空间中三点，，，设，，所以，，，，且，设，，，或．（2），且向量与互相垂直，，解得．的值是．（3）因为，，，，，，．20.如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是，的中点.（1）求点到平面的距离；（2）若G是棱上一点，当平面时，求的长.解：（1）如图，以顶点为原点，分别以线段所在直线为轴建立坐标系.根据题意，图中各点坐标可表示为设平面的法向量为，直线与平面的夹角为，点到平面的距离为，则，即取，则有.所以点到平面的距离.（2）根据（1）可设点的坐标为，点的坐标为,当平面时，，即解得，故的长为.21.2021年是建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：，，，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数，平均数；（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.解：（1）由频率分布直方图可得，1000名学员成绩的众数为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，故中位数位于之间，中位数是，平均数为.（2）∵与的党员人数的比值为，采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：，，，，，，，，，，共10个样本点，这2人中至少有1人成绩低于76分的有：，，，，，，，共7个样本点，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.22.如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．（1）证明：；（2）点在棱上，当二面角为时，求．解：（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，又不在同一条直线上，.（2）设，则，设平面的法向量，则，令，得，，设平面的法向量，则，令，得，，，化简可得，，解得或，或，.湖北省武汉市第十九中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1.连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m，n，记，则下列说法正确的是（）A.事件“”的概率为 B.事件“t是奇数”与“”互为对立事件C.事件“”与“”互为互斥事件 D.事件“且”的概率为〖答案〗D〖解析〗连掷一枚均匀的骰子两次，

所得向上的点数分别为m，n，则共有个基本事件，记t＝m＋n，则事件“t＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t＝12”的概率为，故A错误；

事件“t是奇数”与“m＝n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5，故B错误；

事件“t＝2”与“t≠3”不是互斥事件，故C错误；

事件“t＞8且mn＜32”有共9个基本事件，

故事件“t＞8且mn＜32”的概率为，故D正确；

故选：D．2.如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为M在AC上，且，N在上，且，所以，，在平行六面体中，，，，所以，，所以，故选：A．3.已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是（）A.2 B.4 C.-4 D.-2〖答案〗C〖解析〗因为空间三点，，在一条直线上，所以,故，所以.故选：C.4.已知直线的方程为，，则直线的倾斜角范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，则，设直线的倾斜角为，故，所以当时，直线的倾斜角；当时，直线的倾斜角；综上所述：直线的倾斜角故选：B5.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.6.如图，在二面角的棱上有两点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，若，则线段CD的长为（）A. B.16 C.8 D.〖答案〗D〖解析〗分别过点、点作、的平行线相交于点，连接，则四边形为平行四边形.线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB.，则为二面角的平面角，即，如图所示.为等边三角形，，，，平面，平面平面又平面在中，故选：D7.如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，因为底面为矩形，，，，所以，，又，所以，则.故选：B8.某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，所以他们连续通过初赛和复赛的概率为，即进入决赛的概率为.故选：B二、多选题9.下列说法正确的是（）A.不经过原点的直线都可以表示为B.若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)则直线l的方程为C.过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2D.直线3x－2y＝4的截距式方程为〖答案〗BCD〖解析〗A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直线方程为，故B对；C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为，故D对．故选：BCD10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线B.已知，，为空间一个基底，若，则也是空间的基底C.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面D.平面的一个法向量为，点为内一点，则点到平面的距离为2〖答案〗BCD〖解析〗A选项，虽然，但是无法判断是否在平面外，所以A选项错误.B选项，由于，所以共面，由于，，为空间的一个基底，即与不共面，也即与不共面，所以也是空间的基底，所以B选项正确.C选项，由，得，所以，所以共面，所以四点共面，所以C选项正确.D选项，，所以到平面的距离是，D选项正确.故选：BCD11.下列说法正确的是（）A.甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是和，则题被解出的概率是B.若，是互斥事件，则，C.某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是〖答案〗BCD〖解析〗∵他们各自解出的概率分别是和，，则此题不能解出的概率为，则此题解出的概率为，A选项错，若、是互斥事件，则，，B选项对，高级教师应抽取时人，C选项对，由题意可得女生相邻的概率，D选项对，故选BCD.12.下列命题正确的是（）A.若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是B.已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面C.已知，若与垂直，则D.已知的顶点分别为，则边上的高的长为〖答案〗BCD〖解析〗若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，当时，即使，也不能说明，故A错误；若，则，所以，所以四点共面，故B正确；由题意可得，若与垂直，则，解得，故C正确；由题意可得，则边上的高的长即为点到直线的距离，故D正确．故选：BCD.三、填空题13.已知直线l的一个方向向量为，若点为直线l外一点，为直线l上一点，则点P到直线l的距离为_____________.〖答案〗〖解析〗由题意可得l的一个单位方向向量为，,故点P到直线l的距离.故〖答案〗为：.14.四面体OABC中，M，N分别是OA，CB的中点，点G在线段MN上，且使，若，则________.〖答案〗〖解析〗由题意得：因为又不共面，∴，则.故〖答案〗为：.15.口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①与为对立事件；②与是互斥事件；③与是对立事件：④；⑤.〖答案〗①④〖解析〗口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同小球，从中取出2球，事件“取出的两球同色”，“取出的2球中至少有一个黄球”，“取出的2球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的2球中至多有一个白球”，①，由对立事件定义得与为对立事件，故①正确；②，与有可能同时发生，故与不是互斥事件，故②错误；③，与有可能同时发生，不是对立事件，故③错误；④，，，，从而，故④正确；⑤，，从而，故⑤错误．故〖答案〗为：①④．16.直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．〖答案〗〖解析〗如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，此时，；当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，此时，.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题17.已知的顶点，，．（1）求AB边上的中线所在直线的方程；（2）求经过点A，且在x轴上的截距和y轴上的截距相等的直线的方程．解：（1）线段的中点为，则中线所在直线方程为：，即.（2）设两坐标轴上的截距为，若，则直线经过原点，斜率，直线方程为，即；若，则设直线方程为，即，把点代入得，即，直线方程为；综上，所求直线方程为或．18.在直三棱柱中，，，．（1）求异面直线与所成角的正切值；（2）求直线与平面所成角的余弦值．解：（1）在直三棱柱中，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点、、、、、.设异面直线与所成角为，，，，即，，则，因此，异面直线与所成角的正切值为；（2）设直线与平面所成角为，设平面的一个法向量为，，，，由，得，取，得，所以，平面一个法向量为，，，则.因此，直线与平面所成角的余弦值为.19.已知空间中三点，，，设，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量与互相垂直，求的值；（3）求的面积.解：（1）空间中三点，，