2023-2024学年河南省中原名校联考高一上学期第一次月考9月数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省中原名校联考2023-2024学年高一上学期第一次月考（9月）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，，那么集合（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由条件知道集合，，又，．故选：C．2.命题：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗命题：“，”的否定是，.故选：C．3.若a，b，c为实数，且，则下列命题中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，，故A错误；因为，所以，，∴，故B正确；因为，所以，故C错误；因为，所以，所以，故D错误.故选：B．4.“”是“关于的方程有实数根”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，方程的实数根为，当时，方程有实数根，则，解得，则有且，因此，关于的方程有实数根等价于，所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.故选：A．5.不等式的解集是（）A. B.或C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗由得：，解得：或，不等式的解集为或，故选.6.已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗】若命题是假命题，则命题是真命题.因为，所以，只需，即，故选：D.7.若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A.或 B.C.或 D.〖答案〗A〖解析〗由题意，，当且仅当，即时等号成立.故若存在这样的x，y使不等式有解.即或.故选：A．8.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长．A.等于 B.小于 C.大于 D.不确定〖答案〗C〖解析〗设天平左臂长，右臂长，且，设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以，所以，，则．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分．9.下列命题中正确的有（）A.“”是“”的充分不必要条件B.是的必要不充分条件C.是的必要不充分条件D.已知，则是的充要条件〖答案〗ACD〖解析〗对A，或，故“”是“或”的充分不必要条件，A对；对B，，故是的充要条件，B错；对C，，故是的必要不充分条件，C对；对D，，由，即，故是的充要条件，D对.故选：ACD.10.某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A.同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B.只参加跑步比赛人数为26C.只参加拔河比赛的人数为16D.只参加篮球比赛的人数为22〖答案〗BCD〖解析〗设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为.故选：BCD．11.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.的解集为〖答案〗ACD〖解析〗因为的解集为或，所以不等式对应的二次函数开口向下，所以，A正确；且是方程的两根，所以，即，B错误；，C正确；即为，不等式两边同除以得：，解得：，所以的解集为，D正确.故选：ACD.12.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）A.若，则B.若，则的最小值为C.若，则D.若实数a，b满足，则的最小值为2〖答案〗CD〖解析〗对于A，若，则，A错误；对于B，∵，∴，，∴（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；对于C，∵，∴，，又，（当且仅当，即时取等号），C正确；对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合，若，则实数的值为__________.〖答案〗或〖解析〗因为，则或或，当时，，，符合题意；当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，或（舍）当时，，符合题意；综上所述：或，故〖答案〗为：或.14.已知，则的取值集合是__________.〖答案〗〖解析〗由可得，因为，所以，故的取值集合是，故〖答案〗为：.15.已知为正实数，则的最小值为__________．〖答案〗6〖解析〗由题得，设，则.当且仅当时取等.所以的最小值为6.故〖答案〗为：6.16.已知，关于的不等式恰有四个整数解，则的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗不等式可化为：当时，解得，所以不等式的解集是，不符合题意；当且时，方程有两个不等的实根当时，，且，所以不等式的解集是，不符合题意；当时，，且，所以不等式的解集是，∵时，，即，又∵关于的不等式恰有四个整数解，∴，即，结合，解得．综上，的取值范围是．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.集合，（1）当时，求（2）问题：已知，求的取值范围从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①；②；③.解：（1）因为，所以时，所以（2）选①：由题意，时，解得；时，，解得，综上选②：由题意，时，解得；时，，解得，综上；选③：时，解得；时，，解得；综上.18.已知：关于的方程有实数根，：．（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，因此，解得，所以实数的取值范围是.（2）由（1）知，命题是真命题，即，因为命题是命题的必要不充分条件，则，因此，解得，所以实数的取值范围是.19.（1）比较与的大小；（2）已知，且，①求证：．②求的取值范围．解：（1），当时，，故，当时，，故，当时，，故；（2）①证明：且，，，，两边取倒数得，又，，从而得证．②且，，所以，，因为，所以，即，所以，即，综上，.20.某单位在对一个长80m，宽60m的矩形空地进行绿化，设计方案初步确定为：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示．若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，求花坛宽度的取值范围．解：花坛的宽度为，所以绿草坪的长为，宽为，草坪面积为，总面积，根据题意可得，整理得，解得或．由题意知，解得，所以不符合题意，舍去，所以．答：当时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一．21.如图，设矩形ABCD(AB＞BC)的周长为20cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P.设AB=(cm)，DP=(cm)，△ADP的面积为S.（1）请用表示，并指明x的取值范围；（2）求出S的最大值及相应的x的值.解：（1）矩形周长为，其中一边，另一边，由翻折可知，又易证，，且，在中，由勾股定理得：，，，即，，故，；（2），当且仅当，即时等号成立，，故的最大值为，此时.22.已知函数是二次函数，不等式的解集为，且在区间上的最小值是4（1）求的〖解析〗式；（2）求在上的最大值的〖解析〗式；（3）设，若对任意，均成立，求实数的取值范围.解：（1）因为解集为，所以可设，且，其图象对称轴为，开口向下，则在区间上的最小值，解得，所以；（2）由（1）得函数的图象对称轴为，开口向下，所以当时，；当时，；所以；（3）由题意，，因为对任意恒成立，即对恒成立，则，即对恒成立，令，则，该二次函数开口向下，对称轴为，所以当时，，故所以，解得或.河南省中原名校联考2023-2024学年高一上学期第一次月考（9月）数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，集合，，那么集合（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由条件知道集合，，又，．故选：C．2.命题：“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗命题：“，”的否定是，.故选：C．3.若a，b，c为实数，且，则下列命题中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，，故A错误；因为，所以，，∴，故B正确；因为，所以，故C错误；因为，所以，所以，故D错误.故选：B．4.“”是“关于的方程有实数根”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，方程的实数根为，当时，方程有实数根，则，解得，则有且，因此，关于的方程有实数根等价于，所以“”是“关于的方程有实数根”的充分而不必要条件.故选：A．5.不等式的解集是（）A. B.或C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗由得：，解得：或，不等式的解集为或，故选.6.已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗】若命题是假命题，则命题是真命题.因为，所以，只需，即，故选：D.7.若两个正实数x，y满足且存在这样的x，y使不等式有解，则实数m的取值范围是（）A.或 B.C.或 D.〖答案〗A〖解析〗由题意，，当且仅当，即时等号成立.故若存在这样的x，y使不等式有解.即或.故选：A．8.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（）附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中、分别为左、右盘中物体质量，、分别为左右横梁臂长．A.等于 B.小于 C.大于 D.不确定〖答案〗C〖解析〗设天平左臂长，右臂长，且，设天平右盘有克黄金，天平左盘有克黄金，所以，所以，，则．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分．9.下列命题中正确的有（）A.“”是“”的充分不必要条件B.是的必要不充分条件C.是的必要不充分条件D.已知，则是的充要条件〖答案〗ACD〖解析〗对A，或，故“”是“或”的充分不必要条件，A对；对B，，故是的充要条件，B错；对C，，故是的必要不充分条件，C对；对D，，由，即，故是的充要条件，D对.故选：ACD.10.某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A.同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B.只参加跑步比赛人数为26C.只参加拔河比赛的人数为16D.只参加篮球比赛的人数为22〖答案〗BCD〖解析〗设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为.故选：BCD．11.已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.的解集为〖答案〗ACD〖解析〗因为的解集为或，所以不等式对应的二次函数开口向下，所以，A正确；且是方程的两根，所以，即，B错误；，C正确；即为，不等式两边同除以得：，解得：，所以的解集为，D正确.故选：ACD.12.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（）A.若，则B.若，则的最小值为C.若，则D.若实数a，b满足，则的最小值为2〖答案〗CD〖解析〗对于A，若，则，A错误；对于B，∵，∴，，∴（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4，B错误；对于C，∵，∴，，又，（当且仅当，即时取等号），C正确；对于D，令，则，∴（当且仅当时取等号），即的最小值是2．D正确．故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合，若，则实数的值为__________.〖答案〗或〖解析〗因为，则或或，当时，，，符合题意；当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，或（舍）当时，，符合题意；综上所述：或，故〖答案〗为：或.14.已知，则的取值集合是__________.〖答案〗〖解析〗由可得，因为，所以，故的取值集合是，故〖答案〗为：.15.已知为正实数，则的最小值为__________．〖答案〗6〖解析〗由题得，设，则.当且仅当时取等.所以的最小值为6.故〖答案〗为：6.16.已知，关于的不等式恰有四个整数解，则的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗不等式可化为：当时，解得，所以不等式的解集是，不符合题意；当且时，方程有两个不等的实根当时，，且，所以不等式的解集是，不符合题意；当时，，且，所以不等式的解集是，∵时，，即，又∵关于的不等式恰有四个整数解，∴，即，结合，解得．综上，的取值范围是．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.集合，（1）当时，求（2）问题：已知，求的取值范围从下面给出的三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分）①；②；③.解：（1）因为，所以时，所以（2）选①：由题意，时，解得；时，，解得，综上选②：由题意，时，解得；时，，解得，综上；选③：时，解得；时，，解得；综上.18.已知：关于的方程有实数根，：．（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，即关于的方程无实数根，因此，解得，所以实数的取值范围是.（2）由（1）知，命题是真命题，即，因为命题是命题的必要不充分条件，则，因此，解得，所以实数的取值范围是.19.