广东省深圳第二实验学校2023-2024学年高一下学期期中数学试题

广东省深圳第二实验学校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（解析版）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5分）已知，则（）A. B. C. D.2.（5分）如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成.磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末.如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（）A.4 B.2 C.8 D.63.（5分）已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（）A. B. C. D.4.（5分）已知向量，是两个非零向量，且，则与夹角为（）A. B. C. D.5.（5分）钝角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，且，则的周长为（）A.9 B. C.6 D.6.（5分）如图，是正三棱锥且侧棱长为，两侧棱，的夹角为30°，E，F分别是，上的动点，则三角形的周长的最小值为（）A. B. C. D.7.（5分）平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.8.（5分）“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示，，，.点在线段与线段上运动，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9.（6分）已知复数（为趛数单位），复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（）A.在复平面内复数所对应的点位于第一象限 B.C. D.（多选）10.（6分）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，给出下列四个论断：①；②；③；④.以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题，其中正确的命题是（）A.①②③⇒④ B.①③④⇒② C.①②④⇒③ D.②③④⇒①（多选）11.（6分）景德镇号称“千年瓷都”，因陶瓷而享誉全世界.景德镇陶瓷以白瓷著称，而白瓷素有“白如玉，明如镜，薄如纸，声如磐”的美誉，如图，某陶瓷展览会举办方计划在长方形空地上举办陶瓷展览会，已知，，E为边的中点.G，F分别为边，上的动点，，举办方计划将区域作为白瓷展览区，则白瓷展览区的面积可能是（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.（5分）在复平面内，是原点，向量对应的复数为，与关于y轴对称，则点B对应的复数是_________.13.（5分）如图，在正三棱柱中，，，则三棱锥的体积为_________.14.（5分）在锐角中，内角A，B，C的边分别对应a，b，c，若，则的取值范围是_________.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）若复数，当实数为何值时：（1）是实数；（2）对应的点在第二象限.16.（15分）已知向量，满足，，且，的夹角为.（1）求；（2）若，求实数的值.17.（15分）在①，②中任选一个作为已知条件，补充在下列问题中，并作答.问题：在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知_______.（1）求B；（2）若的外接圆半径为2，且，求.注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.18.（17分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点.（1）证明：平面；（2）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.19.（17分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.（1）设函数，试求的相伴特征向量；（2）记向量的相伴函数为，求当且时，的值；（3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

参考答案与试题解析1.【分析】根据复数的概念及运算法则即可求解.【解答】解：设，则，因为，所以，所以，解得，所以.故选：C.2.【分析】设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，结合圆柱的侧面积公式运算求解.【解答】解：设圆柱底面圆的半径为，则圆柱的高为，则石磨的侧面积为，解得.故选：A.3.【分析】根据题意，求出矩形的面积，由直观图面积与原图面积的关系分析可得答案.【解答】解：根据题意，如图：水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则矩形的面积，则四边形的面积.故选：D.4.【分析】根据条件即可得出，然后即可求出的值，从而可得出与的夹角.【解答】解：∵，∴，∴，∴，且，∴与的夹角为.故选：B.5.【分析】由题意及正弦定理可得，代入已知可得的值，由钝角三角形，大边对大角，可得C为锐角，可得的值，由余弦定理可得c边的大小，进而求出b边的大小，再由钝角三角形可确定b边的值，进而求出三角形的周长.【解答】解：因为，，由正弦定理可得，又因为，可得，因为，所以，可得为锐角，所以，由余弦定理可得，解得或，可得或3，因为该三角形为钝角三角形，所以，所以，，，即三角形的周长为4+3+2=9，故选：A.6.【分析】把正三棱锥沿剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、，连接，交于，交于，则线段就是的最小周长，易判断为等腰直角三角形，由勾股定理可求BB′.【解答】解：把正三棱锥沿剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形：、、，则，连接，交于，交于，则线段就是的最小周长，又，根据勾股定理，，所以，故选：A.7.【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式求出的值，进而计算可得答案.【解答】解：根据题意，，，，即，则，则在方向上的投影向量为.故选：C.8.【分析】建立平面直角坐标系，标出A，F，E，H四个点的坐标，写出向量，的坐标，即可表示出，进而可求得其范围.【解答】解：如图，以C为原点建立平面直角坐标系，易知，，，，，，当在线段上运动，设，其中，所以，，则，因为，所以，当在线段上运动，设，则，，且，则，故，，则，因为，所以，综上，的取值范围为.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.【分析】通过复数中，对复数进行化简，可判断A；通过共轭复数的定义得到，可判断B；通过复数的乘除运算法则判断CD.【解答】解：∵，∴，∴，，对于A，复数在复平面内对应的点在第一象限，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：AC.10.【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案.【解答】解：，.对于A，由，，得，又，∴，故A正确；对于B，由，，，可得或m与n相交或m与n异面，故B错误；对于C，由，，得，又，则，故C正确；对于D，由，，，可得或与相交，故D错误.故选：AC.11.【分析】设，则，由，，得到，再得到，，由求解.【解答】解：设，则，由，，得，易得，，则，由，得，得，则.因为，，所以白瓷展览区的面积可能是，.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.【分析】由对称性结合复数的几何意义得出点B对应的复数.【解答】解：设向量对应的复数为，，对应复平面的坐标为，因为向量对应的复数为，所以对应复平面的坐标为（5，3），因为与关于轴对称，所以，.即向量对应的复数为，因为点O为坐标原点，所以点B对应的复数是.故答案为：.13.【分析】根据等体积转换法求解即可.【解答】解：因为正三棱柱，所以，则.故答案为：.14.【分析】先对边角互换化简，得到，再在锐角中，找到，再化简即可求解.【解答】解：因为，由正弦定理得，，，化简得，在中，则，则，所以锐角中，，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.【分析】（1）根据已知条件，结合复数的分类，即可求解；（2）根据复数的几何意义，即可列不等式求解.【解答】解：（1）因为，是实数，则，解得或；（2）若对应的点在第二象限，则，解得，即m的取值范围为（-3，-1）.16.【分析】（1）由平面向量的数量积的运算律计算即可；（2）由得，再由平面向量的数量积运算计算即可.【解答】解：（1）因为，，且，的夹角为，所以；（2）因为，所以，即，所以，因为，，所以，解得.17.【分析】（1）若选①，由题意及正弦定理可得的值，再由角B的范围，可得角B的大小；若选②，由正弦定理及两角和的正弦公式，可得的值，再由角B的范围，可得角B的大小；（2）由正弦定理可得a，c的表达式，进而可得的值，再由余弦定理可得的值.【解答】解：（1）若选①，由正弦定理可得，在中，，所以，因为，可得，而，可得；若选②，因为，由正弦定理可得，可得，即，在中，，且，可得，而，可得；（2）因为的外接圆半径为2，由正弦定理可得，，可得，，，所以，，而，所以，可得，所以，由余弦定理可得：，即，可得.18.【分析】（1）连接交于O，由题意可得，再由线面平行的判断定理可证得结论；（2）因为，在棱上存在点G，且，由对应边成比例可得，由题意可证得平面平面，可得满足题中的条件.【解答】（1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形，所以O为的中点，而E为的中点，所以，又平面，平面；所以平面；（2）解：在棱上存在点G，且，使得平面，证明：上取点，且，因为F为上的点，且，所以在中，，所以，因为平面，平面，所以平面，又在中，，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面.因为平面，所以平