福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测数学试题

【新结构】福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足，则（）A. B.1 C. D.2.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，，为其终边上一点，则（）A. B.4 C. D.13.函数的图象大致为（）A. B. C. D.4.在菱形中，若，且在上的投影向量为，则（）A. B. C. D.5.已知，，，则（）A. B. C. D.6.棱长为1的正方体中，点为上的动点，为底面的中心，则的最小值为（）A. B. C. D.7.若直线与曲线相切，则的取值范围为（）A. B. C. D.8.函数在上单调递增，且对任意的实数，在上不单调，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.双曲线：的左、右焦点分别为，，且的两条渐近线的夹角为，若（为的离心率），则（）A. B.C. D.的一条渐近线的斜率为10.定义在上的函数的值域为，且，则（）A. B.C. D.11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量.记表示事件“”，表示事件“”，表示事件“”，则（）A.和互为对立事件 B.事件和不互斥C.事件和相互独立 D.事件和相互独立三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.的展开式中的常数项为______.13.某圆锥的体积为，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为______.14.设为数列的前项积，若，其中常数，则______（结果用表示）；若数列为等差数列，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（本小题13分）中，角，，的对边分别是，，，且，.（1）求；（2）若面积为，求边上中线的长.16.（本小题15分）如图，在三棱柱中，平面平面，，.（1）设为中点，证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.（本小题15分）从一副扑克牌中挑出4张和4张，将其中2张和2张装在一个不透明的袋中，剩余的2张和2张放在外面.现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出，则把它放回袋中；若抽出，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的全部置换为.（1）在操作2次后，袋中的张数记为随机变量，求的分布列及数学期望；（2）记事件“在操作次后，恰好将袋中的全部置换为”为，记.（i）在第1次取到的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；（ii）试探究与的递推关系，并说明理由.18.（本小题17分）在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点，且当的斜率为1时，.（1）求的方程；（2）设与的准线交于点，直线与交于点（异于原点），线段的中点为，若，求面积的取值范围.19.（本小题17分）若实数集，对，，均有，则称具有Bernoulli型关系.（1）若集合，，判断是否具有Bernoulli型关系，并说明理由；（2）设集合，，若具有Bernoulli型关系，求非负实数的取值范围；（3）当时，证明：.

答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数乘法，属于基础题.设，由条件列方程组得，，从而求出.【解答】解：设，为虚数单位，复数满足，，解得，，.故选：C2.【答案】D【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题.利用任意角的三角函数的定义列出方程，求解即可.【解答】解：角的终边经过点，，故选：D.3.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的图象的选择，涉及到函数的定义域和奇偶性，属于基础题.利用函数定义域和奇偶性，用排除法可得结果.【解答】解：函数的定义域为，排除C，D，，函数为偶函数，图像关于轴对称，排除B，故选：A4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了投影向量，是基础题.先由该菱形中，再由向作垂线，可得的值.【解答】解：由已知知该菱形中，由向作垂线，垂足即为中点，，故选B.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用指、对数函数的性质比较大小，属于基础题.直接根据指对数函数的性质比较大小即可.【解答】解：，，，，故选B.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查线面垂直的判定及空间线段长，属于中档题.在正方体中，易知，，可得平面，易知当平面，且时，的长度最小，计算即可.【解答】解：在正方体中，易知，，且，、平面，平面，易知当平面，且时，的长度最小，在中，不难求得，故选C.7.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求最值，是中档题.设切点坐标，由直线是曲线的一条切线，把与用含有的代数式表示，求得，令，再由导数求其最小值得答案.【解答】解：设切点为，由，得，，，.令，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，所以有最大值，取值范围是.8.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用三角函数的单调性求参的问题，属中档题.化简解析式，得到的形式，进一步结合题干条件求出的范围.【解答】解，在上单调递增，，，对任意的实数，在区间上不单调，的周期，，，，故选D.9.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查了双曲线的几何性质的应用，是基础题，结合双曲线：和双曲线的简单几何性质分析各选项可得答案【解答】解：易知该双曲线实半轴为，虚半轴为，半焦距为，离心率，焦距为，即，选项A正确，选项C错误；易知的两条渐近线的斜率为，这两条渐近线的倾斜角分别为和，的两条渐近线的夹角为，选项B，D正确；综上所述，应选ABD.10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查抽象函数的性质，考查函数的值域，属于中档题.取特殊值代入计算，结合各选项判断即可.【解答】解：令，则，函数的值域为，选项A正确；令，，则，令，，则，选项B错误；令，则，，即，选项C正确；，，，故选项D正确；综上所述，应选ACD.11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的概念判断.属于中档题.根据选项要求的事件依次判断即可.【解答】选项A，事件和均会出现“反，正，反”的情况，故选项A错误；选项B，事件和均会出现“反，正，反”的情况，故选项B正确；选项C，易知，，事件为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则，，故选项C正确；选项D，由选项可知，在事件中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则，，故选项D错误；综上所述，应选BC.12.【答案】160【解析】【分析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题.在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项.【解答】解：在的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为故答案为：160.13.【答案】2【解析】【分析】本题考查了圆锥的结构特征、体积公式应用问题，是基础题.设圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线为，根据侧面展开图得到，再利用圆锥的体积公式求得圆锥的母线长.【解答】解：设圆锥的底面圆半径为，圆锥的母线为，则由得，则圆锥高，又圆锥的体积为，解得，.故答案为2.14.【答案】；1或2【解析】【分析】本题主要考查递推关系，等差数列定义，属于中档题.由，求得；解法一，由为常数，讨论，，可得的值；解法二，由等差数列定义得，恒成立，讨论可得的值.【解答】解：易知，，解得，故应填；（方法一）.若数列为等差数列，则为常数，①若，则恒成立，即恒成立，；②若，则，解得综上所述，若数列为等差数列，则，或，故应填1或2.（方法二）为等差数列，，易知，且，当时，，，由，可得，对于任意恒成立，或解得或综上所述，若数列为等差数列，则，或，故应填1或2.15.【答案】解：（1），由正弦定理，得，，，，又，，，，且，.（2）依题意，，，，解得，设边的中点为，，，在中，由余弦定理知，边上中线的长为.【解析】本题主要考查了正余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题.（1）由正弦定理可得，再结合三角形的内角和，可解；（2）由三角形的面积可得的值，在中，由余弦定理可求结果.16.【答案】解：（1）为中点，且，在中，有，且，平面平面，且平面平面，平面，平面，，，，，，，，由勾股定理，有，，，、平面，平面.（2）如图所示，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系可得，，，，，设平面的法向量为，则由得令，则，，，由（1）可知，平面，平面的一个法向量为，记平面与平面的夹角为，，平面与平面夹角的余弦值为.【解析】本题考查了线面垂直的判定和平面与平面所成角的向量求法，是中档题.（1）由勾股定理可得，由得，由线面垂直的判定即可；（2）建立空间直角坐标系，得出平面的法向量和平面的一个法向量，利用空间向量求解即可.17.【答案】解：（1）由题意的取值可能为0，1，2，当时，即第一次取出，第二次也取出.，当时，即第一次取出，第二次取出，或第一次取出，第二次取出，，当时，即第一次取出，第二次也取出.，的概率分布列为012的数学期望.（2）（i）记事件“第1次取到”为，事件“总共4次操作恰好完成置换”为，则，依题意，若第1次取出，则剩余的3次操作，须将袋中全部置换为，①若第2次亦取出，则第3次和第4次均须取出.其概率为，①若第2次取出，则第3次须取出，第4次须取出，其概率为，，即在第1次取到的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为（ii）（方法一）由题可知若事件发生，即操作次后，恰好将袋中的全部置换为，①当第1次取出，则剩余的次操作，须将袋中全部置换为，概率为；②当第1次取出，则从第2次起，直到第次均须取出，且第次取出，概率为，，（方法二）由题可知若事件发生，即操作次后，恰好将袋中的全部置换为，则一定有第次（最后一次）取出，①当第次（倒数第二次）取出，则须在之前的次操作中的某一次取出，概率为；②当第次（倒数第二次）取出，则从第1次起，直到第次均须取出，概率为，.【解析】本题考查离散型随机变量的期望，考查概率的计算，属于难题.（1）由题意的取值可能为0，1，2，求出相应的概率，可得的分布列与期望；（2）（i）利用条件概率计算得出结论；（ii）利用递推方法得出结论.18.【答案】解：（1）不妨设的方程为，，，联立与的方程，得，，，则，由题可知当时，，，的方程为.（2）由（1）知，将的纵坐标代入，得，易知的准线方程为，又与的准线交于点，，则直线的方程为，联立与的方程，得，，，的纵坐标相等，直线轴，，，点（异于原点），，，，即.【解析】本题考查抛物线的标准方程及直线和抛物线的位置关系，考查了抛物线中三角形的面积问题，属于较难题.（1）不妨设的方程为，，，联立与的方程，得，则，由题可知当时，求得，从而可得的方程；（2）由（1）知，结合条件计算可得，则，结合可得面积的取值范围.19.【答案】解：（1）依题意，是否具有Bernoulli型关系，等价于判定以下两个不等式对于是否均成立：①，②，，，具有Bernoulli型关系.（2）（方法一）令，，，则，①当时，显然有，成立；②当时，若，则，即，在区间上单调递减，若，则，即，若，则，即，在区间上单调递增，的最小值为，，，成立；③当时，若，则，即，在区间上单调递增，若，则，即，若，则，即，在区间上单调递减，的最大值为，，，即，当，且时，不能恒成立，综上所述，可知若具有Bemoul