导数的概念及其几何意义

第五章《一元函数的导数及其应用》导数的概念及其几何意义[核心素养·学习目标]学习目标核心素养1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．通过本节课的学习，要求会求简单函数的导函数，理解导数几何意义，会求某点处的切线方程.课前预习课前预习1.函数在某点处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).2.导数的几何意义(1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P处的切线．(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3.导函数对为函数y＝f(x)的导函数(简称导数),即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).知识讲解知识讲解知识点一.割线的定义：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为eq\f(Δy,Δx)，它是过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y＝f(x)在点A处的一条割线．知识点二.切线的定义：切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．知识点三.导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．即k=lim∆x→mfx0+∆x-f(x0)∆x曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线．知识点四.割线斜率与切线斜率设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝fx0+∆当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))fx0+∆知识点五.导函数的定义从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))fx0+∆注意：区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值【大招总结】大招1在点“P”处的切线【方法总结】求曲线在某点处的切线方程的步骤大招2过点“P”处的切线【方法总结】过点“P”处的切线：(1)过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点．(2)过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤①设切点为Q(x0，y0)；②求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；=3\*GB3③利用Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)；=4\*GB3④根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．大招3求切点坐标【方法总结】求切点坐标的一般步骤(1)设出切点坐标．(2)利用导数或斜率公式求出斜率．(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标．(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．大招4利用图象理解导数的几何意义【方法总结】导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．曲线的升降、切线的斜率与导数符号的关系如下表：曲线f(x)在x＝x0附近切线的斜率k切线的倾斜角f′(x0)>0上升k>0锐角f′(x0)<0下降k<0钝角f′(x0)＝0k＝0零角(切线与x轴平行)大招5函数的单调性与导数的关系【方法总结】若f′（x0）=0，则函数在x=x0处切线斜率k=0；若f′（x0）>0，则函数在x=x0处切线斜率k≥0，且函数在x=x0附近单调递增，且f′（x0）越大，说明函数图象变化的越快；若f′（x0）<0，则函数在x=x0处切线斜率k≤0，且函数在x=x0附近单调递减，且|f′（x0）|越大，说明函数图象变化的越快.典型例题典型例题【例1】已知，则在处的导数（）A． B．1 C． D．3【答案】C【详解】，．故选：C【例2】对于函数y＝f(x)＝eq\f(1,x2)，其导数值等于函数值的点是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))【详解】f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx2)－\f(1,x\o\al(2,0)),Δx)＝－eq\f(2,x\o\al(3,0)).由题意知，f′(x0)＝f(x0)，即－eq\f(2,x\o\al(3,0))＝eq\f(1,x\o\al(2,0))，解得x0＝－2，从而y0＝eq\f(1,4).【例3】已知曲线方程为,求:（1）点处的切线方程（2）过点且与曲线相切的直线方程.【答案】(1).(2)或.【详解】(1).又点在曲线上,∴.故所求切线的斜率,故所求切线的方程为,即.(2)∵点不在曲线上,∴设切点坐标为,由(1)知,∴切线的斜率,切线方程为.又∵点在切线上,∴解得或.∴切点坐标为,.故所求切线方程为或,即或.【例4】已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：由函数的图象知，当时，单调递增，，函数图象切线斜率逐渐增大，单调递增，，，，，故选：A．【例5】已知曲线y1＝2－eq\f(1,x)与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为()A．－2 B．1C.eq\f(1,2) D．2【答案】B【详解】由题意知，y1′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy1,Δx)＝eq\f(1,x2)，y2′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy2,Δx)＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处的切线的斜率分别为eq\f(1,x\o\al(2,0))，3xeq\o\al(2,0)－2x0＋2.由题意可知，eq\f(3x\o\al(2,0)－2x0＋2,x\o\al(2,0))＝3，所以x0＝1.【例6】若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象不可能是（）A．B．C．D．【答案】BCD【详解】因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上，函数各点处的斜率k是递增的，由图知选BCD．故选：BCD.强化训练强化训练一、单选题1．过原点作曲线的切线，则切线的斜率为（

）A．e B． C．1 D．【答案】B【解析】先设出切点坐标为，则由导数的几何意义可得切线的斜率为，从而可得切线方程为，再将原点坐标代入可得切点的纵坐标，再将代入曲线方程中可求出的值，进而可得切线的斜率【详解】解：设切点坐标为，由，得，所以切线的斜率为，所以切线方程为，因为切线过原点，所以，得，因为切点在曲线上，所以，解得，所以切线的斜率为，故选：B2．已知函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由导数的几何意义判断选项.【详解】由导数的几何意义判断斜率大小，可知故选：C3．已知函数的图象在处的切线为，则与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函数解析式得且，，可求，进而求与坐标轴的交点坐标，即可求与坐标轴围成的三角形的面积.【详解】由题意，且，，得，，∴的方程为，则与坐标轴的交点的坐标分别是(0,2)，，∴故与坐标轴围成的三角形的面积．故选：B.4．函数的图象在点处的切线方程为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】首先求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；【详解】解：由，得，所以，，所以切线方程为.故选：A【点睛】本题考查利用导数求切线方程，属于基础题.5．已知直线y＝ax－a与曲线相切，则实数a＝（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】根据导数的几何意义可得，求解即可.【详解】由且x不为0，得设切点为，则，即，所以，可得.故选：C6．曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为A． B． C． D．1【答案】A【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为故选：A7．曲线在处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由导数的几何意义求得切线方程，再求切线与坐标轴的交点坐标后可得面积．【详解】由已知，，又，所以切线方程为，即，令得，令得，所以三角形面积为．故选：A．8．已知函数在处的切线方程为，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】求得，利用导数的几何意义，求得，得到，再求得切点代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，函数，则，可得，即切线的斜率，所以，解得，所以，当时，，即切点代入函数，可得，解得.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.二、多选题9．在曲线上切线的倾斜角为的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由导数的几何意义，即可得到所求切点【详解】切线的斜率，设切点为，则，又，所以，所以或，所以切点坐标为或．故选：AB．10．（多选题）下列函数在点处有切线的是（

）．A． B．C． D．【答案】ABD【分析】结合导数的几何意义依次判断选项即可.【详解】A：，，此时切线的斜率为，故在点处有切线B：，，此时切线的斜率为，故在点处有切线C：，在处不可导，则在处没有切线D：，，此时切线的斜率为，故在点处有切线.故选：ABD11．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值可能为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】设切点坐标为，由导数求切线斜率，然后由直线过得斜率，从而求，根据有两解可得．【详解】设切点为，由题意，所以，整理得，此方程有两个不等的实根，所以，或．故选：AD．12．设抛物线的焦点为，准线为为上一动点，，则下列结论正确的是（

）A．当时，的值为4B．当时，抛物线在点处的切线方程为C．的最小值为3D．的最大值为【答案】ACD【分析】对于A，将代入抛物线方程可求出，然后利用抛物线的定义可求出的值，对于B，求出点的坐标后，利用导数的几何意义可求得切线方程，对于C，过点作准线于点，由抛物线的定义可得当三点共线时，最小，对于D，连接并延长，交抛物线于点，此点即取最大值的点，从而可求得结果.【详解】对于A，当时，，故，故A正确；对于B，当时，，由可得，所以，所以抛物线在点处的切线方程为，整理得：，故B错误；对于C，如图，过点作准线于点，则由抛物线定义可知：，则，当三点共线时，和最小，最小值为，故C正确；对于D，由题意得：，连接并延长，交抛物线于点，此点即取最大值的点，此时，其他位置的点，由三角形两边之差小于第三边得：，故的最大值为，故D正确.故选：ACD三、填空题13．函数的图像在点处的切线方程为.【答案】【分析】利用切点和斜率求得切线方程.【详解】，故切点为.，所以切线方程为，即.故答案为：14．过原点作函数的切线，则切线方程为.【答案】【分析】设切点为，利用导数的几何意义可得切线为，由切点在切线上求，写出切线方程即可.【详解】∵，若切点为，则切线为，∴，可得，∴切线方程为.故答案为：15．若实数满足，则的最小值为.【答案】【分析】转化为函数问题，利用切线求最小值.【详解】令，则的最小值为两个函数与的图像上的两点之间的距离的最小值的平方，，设与直线平行且与曲线相切的切点为，则，解得，可得切点，切点到直线的距离.的最小值为.故答案为：.16．已知函数的图象在点处的切线与曲线相切，则．【答案】2．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义写出切线方程，再利用切线的斜率的不同表示方法列出关于a，t的方程，求解即可得到结论．【详解】函数f（x）＝ex+ax，函数的导数f′（x）＝ex+a，f′（0）＝1+a，f（0）＝1，∴切线方程为y=(1+a)x+1，又的导函数y′=，令切点坐标为（t，lnt），则有，解得t=1，a=故答案为．【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的斜率表示，属于基础题．四、解答题17．如图，已知直线l是曲线在处的切线，求．【答案】【分析】利用导数的几何意义求出在处的切线的斜率即可.【详解】根据导数的几何意义可知，切线斜率等于在该点处的导数值，所以的值等于在处的切线斜率，又切线过，；由图可知；18．已知函数，求的解析式.【答案】.【分析】先对函数求导，再利用条件解得参数，从而得到的解析式.【详解】，，又，则有由①②解得：所以的解析式是19．已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，证明不等式在上成立.【答案】（1）；（2