1.1菱形的性质与判定（第二课时）课件北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形1菱形的性质与判定（第二课时）数学九年级上册BS版课前预习典例讲练目录CONTENTS数学九年级上册BS版课前预习01菱形的判定.（1）定义法：有一组

相等的平行四边形是菱形.（2）判定定理：①对角线

的平行四边形是菱形；②四条边

的四边形是菱形.（3）其他：对角线

的四边形是菱形.邻边

互相垂直

相等

互相垂直平分

数学九年级上册BS版典例讲练02

已知四边形

ABC

D为平行四边形，有下列条件：①

AC

⊥

B

D；

②∠

BA

D＝90°；③

AB

＝

BC

；④

AC

＝

B

D.其中能使▱

ABC

D

为菱形的有

（填序号）.【思路导航】根据菱形的判定定理对各个条件进行逐一判断

即可.①③

【解析】根据菱形的判定定理和定义：对角线互相垂直的平行

四边形是菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知①

③符合，②④不符合.故答案为①③.【点拨】菱形的判定方法有多种：①一组邻边相等的平行四边

形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相

等的四边形是菱形；④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.

菱形是特殊的平行四边形，判定四边形是菱形时，常在平行四

边形的基础上加上菱形独有的条件.

1.下列说法中，正确的是（

B

）A.两组邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一组内角的平行四边形是菱形C.对角线互相垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直的四边形是菱形B2.如图，在四边形

ABC

D中，已知点E，F分别是线段

A

D，

BC

的中点，点G，H分别是线段

B

D，

AC

的中点.当四边形

ABC

D的

边满足

时，则四边形EGFH是菱形.AB

＝

CD

如图，在▱

ABC

D中，

BC

＝2

AB

，

AB

⊥

AC

，分别在边

BC

，

A

D上的点E与点F关于

AC

对称，连接EF，

A

E，

C

F，DE.（1）试判断四边形

A

E

C

F的形状，并说明理由；（2）求证：

A

E⊥DE.【思路导航】（1）由对角线互相垂直平分可得到四边形

A

E

C

F

的形状；（2）先求得∠

A

E

C

的度数，进而可求得∠

C

ED的度

数，即可得到∠

A

ED的度数.（1）解：四边形

AECF

为菱形.理由如下：∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴

AD

∥

BC

，∴∠

CAF

＝∠

ACE

.

如图，设

AC

与

EF

相交于点

O

.

∵点

E

与点

F

关于

AC

对称，∴

OE

＝

OF

且

EF

⊥

AC

.

∴△

AOF

≌△

COE

（

AA

S）.∴

OA

＝

OC

.

又∵

OE

＝

OF

，

EF

⊥

AC

，∴四边形

AECF

为菱形.（2）证明：∵

BC

＝2

AB

，

AB

⊥

AC

，∴∠

ACB

＝30°.∴∠

B

＝60°.∵四边形

AECF

为菱形，∴

AE

＝

CE

.

∴∠

EAC

＝∠

ACB

＝30°.∴∠

BAE

＝60°＝∠

B

.

∴

AE

＝

BE

＝

AB

，∠

AEB

＝60°.∴∠

AEC

＝120°.

【点拨】菱形的判定方法可以从边和对角线两个方面去探寻，

若已知对角线互相垂直，则可以考虑证明四边形是平行四边

形，解决问题的关键是要熟悉菱形的各种判定方法.

1.如图，在△

ABC

中，已知∠

ACB

＝90°，∠

A

＝30°，

BC

＝

6，点D为斜边

AB

上一点，以

C

D，

CB

为边作▱

C

DE

B

.

当

A

D

＝

时，则▱

C

DE

B

为菱形.6

2.（2023·张家界）如图，已知点

A

，D，

C

，

B

在同一条直线

上，且

A

D＝

BC

，

A

E＝

B

F，

C

E＝DF.（1）求证：

A

E∥

B

F；

（2）若DF＝F

C

，求证：四边形DE

C

F是菱形.证明：（2）由（1）知，△

AEC

≌△

BFD

，∴∠

ECA

＝∠

FDB

.

∴

CE

∥

DF

.

又∵

CE

＝

DF

，∴四边形

DECF

是平行四边形.又∵

DF

＝

FC

，∴▱

DECF

是菱形.

已知△

ABC

是等边三角形，点D是射线

BC

上的一个动点（点D

不与点

B

，

C

重合），△

A

DE是以

A

D为边的等边三角形，过点

E作

BC

的平行线，分别交射线

AB

，

AC

于点F，G，连接

B

E.（1）如图1，当点D在线段

BC

上时，求证：△

A

E

B

≌△

A

D

C

.

图1（2）如图2，当点D在

BC

的延长线上时，探究四边形

BC

GE是

怎样特殊的四边形，并说明理由.图2（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形

BC

GE是菱形？并说明理由.【思路导航】（1）根据△

ABC

，△

A

DE都为等边三角形寻找

等量关系，利用“SAS”证明全等即可；（2）利用（1）中的

方法得到△

A

E

B

≌△

A

D

C

，再判断出∠DEG＝∠

B

DE，进而

求出∠

B

EG的度数，即可得出结论；（3）由菱形的性质得出

B

E＝

BC

，进而得出

BC

＝

C

D，即可得出结论.（1）证明：∵△

ABC

是等边三角形，∴

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝60°.∵△

ADE

是等边三角形，∴

AE

＝

AD

，∠

DAE

＝60°.∴∠

BAC

＝∠

DAE

.

∴∠

BAC

－∠

BAD

＝∠

DAE

－∠

BAD

，即∠

DAC

＝∠

EAB

.

∴△

AEB

≌△

ADC

（S

A

S）.图1（2）解：四边形

BCGE

是平行四边形.理由如下：∵△

ABC

是等边三角形，∴∠

ACB

＝60°.∴∠

BCG

＝180°－∠

ACB

＝120°.∵△

ADE

是等边三角形，∴∠

AED

＝∠

ADE

＝60°.∵

FG

∥

BC

，∴∠

EGC

＝∠

ACB

＝60°，∠

DEG

＝∠

BDE

.

同（1）的方法，得△

AEB

≌△

ADC

（S

A

S），图2∴∠

AEB

＝∠

ADC

.

∴∠

AEB

＋∠

DEG

＝∠

ADC

＋∠

BDE

＝∠

ADE

＝60°.∴∠

BEG

＝∠

AEB

＋∠

DEG

＋∠

AED

＝60°＋60°＝120°.∴∠

BEG

＋∠

EGC

＝180°.∴

BE

∥

CG

.

又∵

FG

∥

BC

，∴四边形

BCGE

是平行四边形.图2（3）解：当

CD

＝

BC

时，四边形

BCGE

是菱形.理由如下：由（2）知，四边形

BCGE

是平行四边形，△

AEB

≌△

ADC

（S

A

S），∴

BE

＝

CD

.

又∵

CD

＝

BC

，∴

BE

＝

BC

.

∴▱

BCGE

是菱形.【点拨】动态过程的探究问题，只需抓住变化过程中的不变

量，如图形的形状、点的运动轨迹等.在本题中只需抓住共顶点

的三角形旋转前后全等，即变化中永远相等的量.图2

如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

C

＝90°，

AC

＝20，∠

A

＝60°.点

P

从

点

B

出发沿

BA

方向以每秒2个单位长度的速度向点

A

匀速运动，

同时点Q从点

A

出发沿

AC

方向以每秒1个单位长度的速度向点

C

匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运

动.设点

P

，Q运动的时间是ts

.过点

P

作

PM

⊥

BC

于点

M

，连接

P

Q，Q

M

.