高考数学一轮复习专题训练：直线与圆（含详细答案解析）

第11单元直线与圆（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点（1，0）且与直线垂直的直线方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于直线的斜率为，故所求直线的斜率等于，所求直线的方程为，即，故选C．2．直线，，的斜率分别为，，，如图所示，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设三条直线的倾斜角为，根据三条直线的图形，可得，因为，，当时，，当时，单调递增，且，故，即，故选A．3．已知圆，则圆心到直线的距离等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题，则圆心，则圆心到直线的距离等，故选D．4．已知直线与圆相交于，两点，则（）A．2 B．4 C． D．与的取值有关【答案】B【解析】由圆，得圆心，半径，又直线恒过圆心，则弦长，故选B．5．圆关于直线对称的圆的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得，圆方程，即为，∴圆心坐标为，半径为1．设圆心关于直线的对称点的坐标为，则，解得，∴所求圆的圆心坐标为，∴所求圆的方程为．故选D．6．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设点A关于直线的对称点，的中点为，，故，解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选A．7．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】圆的标准方程为，又因为点为圆的弦AB的中点，圆心与点P确定直线的斜率为，故弦AB所在直线的斜率为2，所以直线AB的直线方程，即．8．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】将曲线的方程，化简为，即表示以为圆心，以2为半径的一个半圆，如图所示：由圆心到直线的距离等于半径2，可得，解得或，结合图象可得，故选D．9．经过点作圆的切线，则的方程为（）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】，圆心坐标坐标为，半径为，当过点的切线存在斜率，切线方程为，圆心到它的距离为，所以有，当过点的切线不存在斜率时，即，显然圆心到它的距离为，所以不是圆的切线，因此切线方程为，故本题选C．10．已知且为常数，圆，过圆内一点的直线与圆相交于两点，当弦最短时，直线的方程为，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】圆C：化简为，圆心坐标为，半径为，如图：由题意可得，当弦最短时，过圆心与点（1，2）的直线与直线垂直．则，即．故选B．11．过点且不垂直于轴的直线与圆交于两点，点在圆上，若是正三角形，则直线的斜率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意，圆，即，圆心为（1，0），半径，设正的高为h，由题意知，为正的中心，∴M到直线l的距离，又，即，∴由垂径定理可得，可得，∴由题意知设直线l的斜率存在且不为0，设为k，则直线l的方程为，即，则有，解可得或0（舍），故选D．12．已知直线与圆交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（）A． B．2 C． D．2【答案】B【解析】根据题意，圆的圆心为，半径，设圆心到直线的距离为d，若直线与圆交于不同的两点A，B，则，则有，设与的夹角即，若，即，变形可得，则，当时，，若，则，解可得，则k的取值范围为，故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知两条直线：，：，则与的距离为______．【答案】【解析】因为：可化为，所以与的距离为．故答案为．14．已知两直线与的交点在第一象限，则实数c的取值范围是______．【答案】【解析】由与的交点，所以，，．15．《九章算术》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道数学问题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆，径几何？”意思是：在两条直角边分别为八步和十五步的直角三角形中容纳一个圆，请计算该圆直径的最大值为________步．【答案】6【解析】如图所示：，设三角形内切圆的半径为步，，由圆的切线性质可知：过圆切点的半径垂直过该切点的切线，所以有，所以该圆直径的最大值为6步．16．已知圆上存在两点A，B，P为直线x＝5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是_______．【答案】[2，6]【解析】要使AP⊥BP，即∠APB的最大值要大于或等于90°，显然当PA切圆C于点A，PB切圆C于点B时，∠APB最大，此时∠CPA最大为45°，则，即，设点，则，解得．故答案为[2，6]．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．（1）求边上的高所在的直线方程；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）5．【解析】（1）直线的斜率，则边上高所在直线斜率，则边上的高所在的直线方程为，即．（2）的方程为，．点到直线的距离，，则的面积．18．（12分）已知过点，斜率为的直线与轴和轴分别交于，两点．（1）求，两点的坐标；（2）若一条光线从点出发射向直线，经反射后恰好过点，求这条光线从到经过的路程．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由已知有：，即，当时，；当时，，，．（2）设关于的对称点为，设，依题意有，解得，，，这条光线从点到点经过的路程为．19．（12分）已知圆的方程为，求：（1）斜率为且与圆相切的直线方程；（2）过定点且与圆相切的直线方程．【答案】（1）或；（2）或．【解析】（l）设切线方程为，则圆心到该直线的距离，解得或，所求切线方程为或．（2）当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，则圆心到该直线的距离，解得，切线方程为，即，当切线的斜率不存在时，直线也是圆的切线，综上所述：所求切线方程为或．20．（12分）已知两个定点，，动点到点的距离是它到点距离的2倍．（1）求点的轨迹；（2）若过点作轨迹的切线，求此切线的方程．【答案】（1）见解析；（2）或．【解析】（1）设动点，则，坐标代入得，化简得，所以动点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆．（2）设是圆的切线，则有，当不存在时，恰好与圆切于点，综合得：切线方程为或．21．（12分）在平面内，已知点，圆：，点是圆上的一个动点，记线段的中点为．（1）求点的轨迹方程；（2）若直线：与的轨迹交于，两点，是否存在直线，使得（为坐标原点），若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在直线l，使得，此时．【解析】（1）设，点P的坐标为，点，且Q是线段PA的中点，，，在圆C：上运动，，即，点Q的轨迹方程为．（2）设，，将代入方程圆的方程，即，．由，得，，，，，即，解得舍，或．存在直线l，使得，此时．22．（12分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于两点，设直线的方程为．（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；（2）已知直线与圆相交于两点．①，求直线的方程；②直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为，，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）①直线的方程为；②存在常数，使得恒成立．【解析】（1）由题意，，圆心到直线的距离，直线与圆相切，，解得，直线方程为．（2）①设，由，得，由，解得，，，，直线的方程为．②由题意知：，，则，与圆联立，得，，，，同理可得，，，整理可得，，，设，，，，即，，，存在常数，使得恒成立．第11单元直线与圆（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知直线，，若，则的值为（）A．4 B．2 C． D．【答案】B【解析】因为，所以，解得，故选B．2．若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线的倾斜角为（）A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°【答案】D【解析】如图所示，直线有两种情况，故的倾斜角为或．3．已知圆截两坐标轴所得弦长相等，且圆过点和，则圆的半径为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵圆C在两坐标轴上截得弦长相等，∴C在直线y＝x或y＝﹣x上，①当C在y＝x上时，设C（m，m），半径为R，则，解得m＝1，＝5，∴R=；②当C在y＝﹣x上时，设C（m，﹣m），半径为R，则，无解；∴圆的半径为，故选D．4．已知圆截直线所得弦的长度为，则实数的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】将圆化为标准式为，得圆心为，半径，圆心到直线的距离，又弦长，由垂径定理得，即，所以，故选B．5．已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，则，，故选D．6．设点为直线上的动点，点，，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】依据题意作出图像如下：设点关于直线的对称点为，则它们的中点坐标为，且，由对称性可得，解得，，所以，因为，所以当三点共线时，最大，此时最大值为，故选A．7．若直线过点，则该直线在轴、轴上的截距之和的最小值为（）A．1 B．4 C．2 D．8【答案】B【解析】因为直线过点，所以，，因为直线在轴的截距为，在轴上的截距为，所以直线在轴、轴上的截距之和的最小值为，，所以当时取最小值，最小值为，故选B．8．已知点，，点是圆上的动点，则面积的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】如图所示，由几何图形易知点M的坐标为时有最小值，其面积为．故选A．9．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以，解得，所以相交的概率，故选C．10．已知直线与圆相交于、两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】直线经过定点，设，则点，因为点B在圆上，故有，化简整理得，所以点M的轨迹是圆心为，半径为1的圆，圆心到直线的距离为，所以点M到直线的最大距离为4．故选B．11．已知函数，若函数至少有一个零点，则取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，可得，即函数，其图像为过点的一条直线，，其图像为圆心在原点，半径为1的，上半圆，由图像可知，过点的直线与上半圆至少有一个交点需要满足直线与圆相交或相切．相切时，由，解得，因为与上半圆相切，所以，所以的取值范围为．12．已知圆：，点，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，则面积的最大值为（）A．12 B．6 C． D．【答案】A【解析】由题可知，所以点在以线段为直径的圆上，的边，故当到直线的距离最大时，的面积最大，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，直线的方程为，点到直线的距离为，所以到直线的距离的最大值为，故的面积的最大值为．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．过直线和直线的交点，且与直线垂直的直线方程为______．【答案】【解析】由交点，又直线的斜率为，所求直线与直线垂直，所求直线的斜率为，所求直线的方程为，化简得，故答案为．14．光线由点P(2，3)射到直线上，反射后过点Q(1，1)，则反射光线方程为__________．【答案】【解析】因为P点关于直线对称点为，所以反射光线方程为，．15．直线与圆交于两点，若为等边三角形，则______．【答案】或【解析】圆，即，圆的圆心为，半径为，∵直线与圆交于两点且为等边三角形，∴，故圆心到直线的距离为，即，解得或，故答案为或．16．已知点，若圆上存在点使得，则的最大值为______．【答案】【解析】设，，，，，，当时取等号，，本题正确结果．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知点关于轴的对称点为，关于原点的对称点为．（1）求中过，边上中点的直线方程；（2）求的面积．【答案】（1）；（2）10．【解析】（1）∵点关于轴的对称点为，∴．又∵点关于原点的对称点为，∴，∴的中点坐标是，的中点坐标是．过，的直线方程是，整理得．（2）易知，，，∴的面积．18．（12分）已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由已知得，直线的方程为，即，由，解得，的坐标为．（2）设，则，则，解得，直线在轴、轴上的截距相等，当直线经过原点时，设直线的方程为，把点代入，得，解得，此时直线的方程为，当直线不经过原点时，设直线的方程为，把点代入，得，解得，此时直线的方程为，直线的方程为或．19．（12分）已知点与圆．（1）设为圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；（2）过点作圆的切线，求的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）设，因为线段的中点为，故，因为为圆上的动点，所以，即，即的轨迹方程．（2）当切线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当切线的斜率存在时，则设切线方程为，即，故，解得，此时切线方程为．所以切线方程为或．20．（12分）已知抛物线的顶点在坐标原点，其焦点在轴正半轴上，为直线上一点，圆与轴相切（为圆心），且，关于点对称．（1）求圆和抛物线的标准方程；（2）过的直线交圆于，两点，交抛物线于，两点，求证：．【答案】（1）的标准方程为的标准方程为；（2）见证明．【解析】（1）设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为．已知在直线上，故可设，因为，关于对称，所以，解得，所以的标准方程为．因为与轴相切，故半径，所以的标准方程为．（2）由（1）知，直线的斜率存在，设为，且方程为，则到直线的距离为，所以，，由，消去并整理得．设，，则，，．所以因为，，，所以，所以，即．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与圆O：相切．（1）直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为，求直线l的方程；（2）已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M、N的纵坐标之积是否为定