安徽省宿州市砀山县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题【含答案解析】

八年级数学（北师大版）（试题卷）注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟；2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的；3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1.若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查不等式的性质，涉及平方性质等知识，根据不等式的性质逐项验证即可得到答案，熟记不等式性质是解决问题的关键．【详解】解：A、由不等式的性质可知，当时，则，不等关系正确，符合题意；B、由不等式的性质可知，当时，则，原不等关系不成立，不符合题意；C、由不等式性质可知，当时，则，原不等关系不一定成立，不符合题意；D、由不等式的性质可知，当，且时，则，原不等关系不一定成立，不符合题意；故选：A．2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可判断．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的性质，解题的关键是掌握判断方法，轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．3.等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（）A.65° B.80° C.50°或65° D.50°或80°【答案】A【解析】【分析】由等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，即可求出底角．【详解】解：∵等腰三角形的顶角是50°，∴它的底角是：．故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形两个底角相等．4.如图，在中，，将沿射线的方向平移2个单位后，得到，连接，则线段的长为（）A.2 B.5 C.3 D.7【答案】B【解析】【分析】本题考查了平移的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，判定为等边三角形是解题的关键．根据平移的性质得，则可计算，则，可判断为等边三角形，继而可求得的长即可．【详解】解：∵将沿射线的方向平移2个单位后，得到，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴是等边三角形，∴．故选B．5.如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了一次函数与不等式的关系，解答该题的关键是根据函数图象找出满足不等式组的解集问题．根据图象，当时，直线在轴的下方，且在直线的上方，据此即可求得不等式的解集为点与点之间的横坐标的范围．【详解】解：，，观察图象，不等式的解集为，故选：B．6.如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点D恰好落在边上，交于点F，若，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据旋转性质得，结合，得到，，，结合旋转性质，三角形内角和定理计算即可，本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转性质，三角形内角和定理是解题的关键．【详解】根据旋转性质得，∵，，∴，，∴，∴，∴，故选C．7.某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x题，可得式子为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，理清等量关系、正确的列出不等式是解题的关键．设答对x道题，根据总得分不少于80分列出一元一次不等式即可．【详解】解：设答对x道题，则答错或不答的题共道，由题意可得：．故选D．8.在下列条件下不是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直角三角形的判定，根据勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理逐项判断即可求解，掌握勾股定理的逆定理及三角形的内角和定理是解题的关键．【详解】解：、由可得，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意；、∵，∴设，，，∴，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，该选项不合题意；、∵，∴，∵，∴，∴，∴是直角三角形，该选项不合题意；、∵，∴设，，，∵，∴，∴，∴，∴不是直角三角形，该选项符合题意；故选：．9.方程组的解满足不等式，则m的范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程组以及求方程参数，先观察方程组与不等式的特征，由方程组进行，表达出的代数值，代入，得的代数值，再代入，即可作答．【详解】解：∵∴得。∴把代入，得，即∴把，代入得解得故选：C10.不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（）A.5个 B.6个 C.7个 D.8个【答案】B【解析】【分析】本题考查由不等式组整数解的情况求参数，涉及解含参数不等式组、不等式组的整数解等知识，根据题意，求出不等式组的解集为，再由不等式组整数解的情况求出或，由不等式的性质分情况讨论求解即可得到答案，熟练掌握由不等式组整数解的情况求参数的方法是解决问题的关键．【详解】解：，由①得；由②得；不等式组的解集为，不等式组的所有整数解的和为7，或，当时，解得，则整数的值有共3个；当时，解得，则整数的值有共3个；综上所述，满足题意的整数的值有个，故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.已知和关于原点对称，则______．【答案】-1【解析】【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求出的值，相加即可；【详解】解：和关于原点对称，则，；故答案为：-1【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标变化规律，解题关键是求出的值．12.某种商品进价为700元，标价为1100元，由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打_____折．【答案】7##七【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式实际应用，设该商品打x折出售，根据利润实际售价进价列出不等式求解即可．【详解】解：设该商品打x折出售，由题意得，，解得，∴至多可以打7折，故答案为：7．13.如图，在中，，，若的面积为6，则到的距离为______．【答案】2【解析】【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线性质，过点作，，如图所示，由角平分线性质得到，从而根据的面积列方程求解即可得到答案，熟记角平分线性质是解决问题的关键．【详解】解：过点作，，如图所示：，，，，的面积为6，，即，解得，故答案：2．14.如图，在中，，，，点P是在内一点，连接，，，将绕点A逆时针旋转得到．若点C，P，，恰好在同一直线上，则__________．【答案】【解析】【分析】过点作交直线于点，利用旋转的性质得，再证明，根据含直角三角形的性质及勾股定理求出的长，然后在中，根据勾股定理即可得出答案．【详解】解：过点作交直线于点，在中，，，，，将绕点A逆时针旋转得到，∴，是等边三角形，∴，，，在中，，，，若点C，P，，恰好在同一直线上，在中，．．故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加正确的辅助线是解题的关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.解不等式，并把解集在数轴上表示出来：．【答案】，在数轴上表示见解析【解析】【分析】本题考查了解不等式以及在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先去分母，再移项，最后系数化1，解出不等式的解集，再在数轴上表示，即可作答．【详解】解：，，，，.在数轴上表示如图所示.16.如图，于，于，若，求证：平分．【答案】证明见解析【解析】【分析】本题考查角平分线的判定，涉及直角三角形全等的判定与性质、角平分线的判定等知识，先由垂直定义得到，再由直角三角形全等的判定得到，根据全等三角形性质得到，再由角平分线的判定即可得到答案，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．【详解】证明：∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴平分．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，BD平分，，垂足为点D，．求证：是等腰三角形．【答案】见解析【解析】【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据等腰三角形的判定定理证得结论．【详解】证明：∵平分，∴，∵，∴，∴∵，∴，∴∴是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、等角的余角相等，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解答的关键．18.如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，建立平面直角坐标系，是格点三角形（顶点都在格点上的三角形）．（1）画出关于x轴对称的；（2）画出向左4个单位，再向下平移4个单位长度得到的．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】本题主要考查对称的性质和平移的性质，根据关于x轴对称的性质先找到点对称，顺次连接即可求得对称图形；根据平移的性质先画出向左4个单位的点，再找到向下平移4个单位的点，连接即可．【小问1详解】解：见下图；【小问2详解】如图，五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点（1）求证：；(2)若，，求的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）78°【解析】【分析】（1）因为，所以有，又因为，所以有，得到；（2）利用等腰三角形ABE内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到，从而算出∠FGC【详解】解：（1）证明：，，，，；（2），，，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，解题的关键是掌握全等三角形证明．20.已知关于x，y的二元一次方程组．（1）当时，求x，y的值；（2）当时，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式．（1）将代入二元一次方程组，用消元法解二元一次方程组即可；（2）解方程组得出，根据得出关于a的不等式，解不等式即可求解．【小问1详解】解：，，由①②得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程组的解为：【小问2详解】由得，，，，解得．六、（本题满分12分）21.如图，在中，，请根据要求完成以下任务：（1）利用直尺与圆规，作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；（2）利用直尺与圆规，作的角平分线，交于点；（3）若，求的度数．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析（3）【解析】【分析】（1）分别以为圆心，适当长度为半径画弧，过弧交点作直线交交于点，连接即可得到答案；（2）以为圆心，适当长度为半径画弧，交边上两点，再以这两点为圆心、相同长度为半径画弧交于一点，连接点与弧交点作射线交于点即可得到答案；（3）由（1）（2）尺规作图可知垂直平分线段，由中垂线性质，结合题中条件得到，再由等腰三角形性质及三角形外角性质求出，最后由平分即可得到答案．【小问1详解】解：如图所示：即为所求；【小问2详解】解：如图所示：射线即为所求；【小问3详解】解：如图所示：∵垂直平分线段，，，，，，，，∵平分，．【点睛】本题考查尺规作图综合，涉及尺规作图-作中垂线、尺规作图-作角平分线、中垂线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质、角平分线定义等知识，熟练掌握尺规作图-作中垂线、尺规作图-作角平分线是解决问题的关键．七、（本题满分12分）22.某超市计划销售甲乙两种饮料，这两种饮料的进价与售价如下表所示：甲种饮料乙种饮料进价/（元）售价/（元）（1）若超市计划购进件饮料，求成本与甲种饮料的件数x之间的函数表达式；（2）若在（1）的情况下，超市为了控制成本，计划件饮料的成本不得高于500元，求超市能够获得的最大利润．【答案】（1）（2）元【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用；（1）根据表格数据，列出函数关系式即可求解；（2）根据题意列出表达式得出，进而设甲乙两种饮料的总利润为元，根据一次函数的性质，即可求解．【小问1详解】解：依题意，，即；【小问2详解】解：由（1）可得，解得：，设甲乙两种饮料的总利润为元，根据题意得，，∵∴随的增大而增大∴当时，取的最大值，最大值为，答：超市能够获得最大利润为元．八、（本题满分14分）23.在中，．（1）特例证明：如图1，点D，E分别在线段上，，求证：；（2）探索发现：将图1中的绕点C逆时针旋转（）到图2位置，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展运用：如图3，点D在内部，当时，若，，，求线段的长（直接写出答案）．【答案】（1）证明见解析（2）成立，理由见解析（3）3【解析】【分析】（1）根据