幂函数完整版本

目

标

要

求热

点

提

示学习本节内容时，(1)应类比指数函数，对数函数来学习；(2)关键是作出五个常用幂函数的图象，由此概括出它们的共性；(3)重点是熟练掌握五个常用幂函数的图象与性质；(4)要辨析指数函数与幂函数.幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．●想一想：幂函数与指数函数有什么区别与联系？提示：函数表达式相同点不同点指数函数y＝ax(a>0且a≠1)右边都是幂的形式指数是自变量，底数是常数幂函数y＝xα(α∈R)底数是自变量，指数是常数温馨提示：幂函数在第一象限内指数变化规律：在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小．(4)五种常见幂函数的性质，列表如下：定义域值域奇偶性单调性公共点y＝xRR奇在R上是增函数(1,1)y＝x2R[0，＋∞)偶在(－∞，0)上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数y＝x3RR奇在R上是增函数y＝x[0，＋∞)[0，＋∞)非奇非偶在[0，＋∞)上是增函数y＝x－1(－∞，0)∪(0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)奇在(－∞，0)和(0，＋∞)上均是减函数解析：本题考查了幂函数y＝xα(α∈R)的概念，自变量x为幂的底数，指数α为常数，而函数y＝2x中的自变量x为指数，所以A错误．答案：A答案：D类型一

幂函数的概念思路分析：根据幂函数的概念进行判断．答案：B判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为形如y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也具备了这一形式——这是我们解决某些问题的隐含条件．1

类型二幂函数的图象【例2】已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图象如下图，则a，b，c的大小关系为(

)A．c<b<a

B．a<b<cC．b<c<a D．c<a<b思路分析：利用幂函数在第一象限内的图象特征进行判断．解析：由幂函数的图象特征可知，c<0，a>0，b>0；由幂函数的性质知，当自变量x>1，幂指数大的幂函数的函数值就大，故c<b<a.答案：A温馨提示：本题也可采用特殊值法，如取x＝2，结合图象可知2a>2b>2c，又函数y＝2x是增函数，于是a>b>c.2如下图，C1，C2分别是幂函数y＝xm，y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(

)A．n<m<0

B．m<n<0C．n>m>0 D．m>n>0解析：由幂函数的图象特征知m，n均小于0，又取a>1，由图象知am>an，此时函数y＝ax为增函数，所以m>n，所以n<m<0.答案：A

类型三幂函数的性质应用【例3】

(1)比较(a＋1)3，a3的大小；(2)比较(2＋a2)－1,2－1的大小．思路分析：分别构造函数y＝x3和y＝x－1，利用函数的单调性进行比较．解：(1)考查幂函数y＝x3，因为它在区间(－∞，＋∞)上是增函数，且a＋1>a，所以(a＋1)3>a3.(2)考查幂函数y＝x－1，因为它在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，且a2＋2≥2>0，所以(2＋a2)－1≤2－1.温馨提示：利用幂函数y＝xα在第一象限的图象特征，可作出幂函数的图象，图象的形象性、直观性使幂函数的性质(特别是单调性)一目了然，利用幂函数的性质使有些问题顺利地得到解决(如本例的大小比较问题)．因此，我们必须准确把握幂函数在第一象限的图象特征，熟练掌握作图方法，并灵活地利用图象解题．

1．若指数相同而底数不同，则考虑幂函数；2．若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；3．若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较的一个底数相同，指数与另一个指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较出大小．3比较下列各组数中两个数的大小：类型四幂函数的综合应用思路分析：先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值，再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式．温馨提示：解决与幂函数有关的综合问题时，一定要考虑幂函数的定义；幂函数y＝xα，由于α值不同，所以单调性和奇偶性就不同．

求解幂函数的解析式常见的思路是：利用函数的性