绝密资料高中数学数列的求和

第37讲：数列的求和

一、课程标准

1.熟练掌握等差、等比数列的前〃项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法.

2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前n项和相关的问题.

二、基础知识回顾

1.公式法

〃⑷+。〃)n(n—\)d

⑴等差数列3｝的前〃项和＜=2=碎+2.推导方法：倒序相加法.

na\9q=l,

⑵等比数列｛而的前〃项和s“=J也1二g推导方法：乘公比，错位相减法.

l-q＞疗】•

(3)一些常见的数列的前n项和：

〃(〃+1)

①1+2+3+...+〃=2；

②2+4+6+…+2〃=〃(〃+1)；

③1+3+5+…+(2〃-1)=/.

2.几种数列求和的常用方法

(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用

分组求和法，分别求和后相加减.

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前〃项和.

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这

个数列的前〃项和即可用错位相减法求解.

(4)倒序相加法：如果一个数列｛斯｝与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个

数列的前n项和即可用倒序相加法求解.

3、常见的裂项技巧

③(2"-1)(2〃+1)=±(2"-1-2〃+1)

①"("+1)=〃_"+卜®n(n+2)~2\P~n+2)-

]____[__________1、

⑤“"+l)(n+2)=2<H(n+1)一(〃+1)(〃+2),

三、自主热身、归纳总结

111_1_

1、数列1力3“5g，7而，…的前n项和为(C)

J_±±1

42n—1+2nB.n2+1—2nC.n2+1—2nZ).n2+1-2厂1

2、数列｛a,,｝的通项公式为不诉二f,若该数列的前左项之和等于9,则k=（）

A.80B.81C.79D.82

3、若数列｛斯｝的通项公式是斯=（-1）"（3〃-2）,则〃1+怎+…+mo=（）

A.15B.12C.-12D.-15

mr

4、数列｛斯｝的通项公式为斯=〃85»~,其前〃项和为S”,则52020=.

5、（一题两空）（2020•安徽太和模拟）设S〃是数列｛。〃｝的前n项和，旦m=1,4〃+i+SS+i=0,则S〃=,

数列｛SS+i｝的前〃项和为.

J__1__1_

6、（2020•郑州模拟）数列｛斯｝满足：ai=l,且对任意的小，〃WN*,都有而+〃=即+斯+加〃，则7+£+而+…

1

+。2018=（）

2017201840344036

A.2018B.2019C.2018D.2019

四、例题选讲

题型一公式法

例1、（2019通州、海门、启东期末）设｛a/是公比为正数的等比数列，ai=2,a3=a2+4,则它的前5项和S5

a61S6

变式1、（2019镇江期末）设Sn是等比数列｛aj的前n项的和，若后=—，，则苒=.

s

变式2、（2019苏锡常镇调研）已知等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,若4=2々，则看=.

〃（〃|+斯）

方法总结：若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：①等差数列的前〃项和公式：S产-2―

〃（〃一1）.1（］一."）ai—a〃q

=na\+2d.②等比数列的前〃项和公式（口）当q=1时，Sn=na\；（口）当好1时，S〃=1—夕=1—夕.

考点二利用“分组求和法”求和

-1]「11]「111'

n-1

例2、求和Sn=1+L1+2J+L*+2+4J+...+J+2+4+--«+2_

111x

变式1、数列1，，34,58,7讳，…，(2〃-1)+苏…的前〃项和S,的值等于

变式2、已知数列｛。“｝的前"项和S”=—2-，"6N*.

(1)求数列｛“■｝的通项公式;

(2)设仁=2%+(—1)%,求数列｛d｝的前2n项和.

变式3、设数列｛忝｝的前n项和为Sn,对任意nWN*满足2Sn=an(an+\)＞且a#0.

(1)求数列｛飙｝的通项公式；

斯+「”为奇数，

⑵设C"=j3x2a“-i+l，〃为偶数，求数列｛。"｝的前2”项和T2n.

方法总结：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比

数列或可求前n项和的数列求和.

考点三裂项相消法求和

100

11:

例3、(2018南通、扬州、泰州、淮安三调)设数列6｝满足a1=1,(1—an+i)(l+an)=l(neN*),则S,(o@

k=1

+D的值为.

变式1、(2019•湖南省湘东六校联考)已知数列｛如｝的前"项和£满足低=小工+1(稔2,neN),且m=l.

(1)求数列｛如｝的通项公式a“；

(2)记瓦=4“•斯+],求数列｛儿｝的前n项和T,,.

变式2、已知数列｛而各项均为正数，其前n项和为S,，且满足4s“=(a“+l)2.

⑴求｛“”｝的通项公式；

1

(2)设儿=££二'求数列也”｝的前n项和T“及T„的最小值・

]

变式3、已知函数寅x)=f的图象过点(4,2),令服=次"+1)+力7?)，"CN*.记数列｛%,｝的前〃项和为S”则S2020

=()

A.A/2019-1B.^/2020-1

C.^/2021-1D.^/2021+1

方法总结：常见题型有(1)数列的通项公式形如。"=厂左一时，可转化为期=照一言，此类数列适合

使用裂项相消法求和.

11____

(2)数列的通项公式形如服=而存赤时，可转化为K后icf),此类数列适合使用裂项相消法

求和.

考点四错位相减法求和

例4、(2019南京调研)已知｛〃“｝是等差数列，其前■项和为S〃,»“｝是等比数列，且m=bi=2,44+64=21,

S4+b4=30.

(1)求数列｛斯｝和｛瓦｝的通项公式；

(2)记金=斯济，〃£N*,求数列｛c〃｝的前〃项和.

变式1、(2019•郑州市第二次质量检测)已知数列｛〃“｝中，“1=1,。〃>0,前〃项和为S〃，若a〃=y[^+7ss

£N*,且佗2).

⑴求数列｛斯｝的通项公式；

(2)记Cn=an'2an9求数列｛c〃｝的前n项和T〃.

变式2、设等差数列｛如｝的公差为d,前〃项和为S〃，等比数列｛瓦｝的公比为夕，已知"=m,段=2,q=d,

5io=100.

Cln

⑴求数列｛册｝,｛b｝的通项公式；(2)当4>1时，记。“=石，求数列匕,｝的前”项和%.

方法总结：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推

导过程的推广.。特别注意错位相减法的步骤。

五、优化提升与真题演练

U[2018年高考全国I卷理数】记S“为数列｛4｝的前〃项和，若S“=2an+1,则S6=.

2、【2019年高考全国III卷理数】记