高中数学函数的图象教案 （文科）

函数的图象教案

一、知识梳理：

函数的图象是函数的直观表达，形象地显示了函数的性质，借助

函数的图象，我们可以方便地研究函数的性质，加深对函数性质的理

解和认识，而且分析函数图象是运用“数形结合”思想解决一些综合

问题的有力工具，它一方面能启发我们发现解题思路，另一方面能够

简化解题过程。

(一)、作图象

作函数的图象通常有以下两种办法：

(1)、描点法：其步骤

①、确定函数的定义域。②、化简函数的表达式。③、列表。④、

描点。⑤、连线。

(2)、图象的变换：主要有以下四种形式：

①、平移变化：(a)左右平移：(>0)的图象可由的图象向左或向右平

移a个单位得到；(b)上下平移：(>0)的图象可由的图象向上或向

下平移a个单位得到。(c)的图象按向量

②、对称变换：主要有：

的图象与的图象关于轴对称；

的图象与的图象关于轴对称；

的图象与的图象关于对称。

③、伸缩变换：主要有：

(a)、的图象可将的图象上每点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍

而得到；

（b）、的图象可将的图象上每点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍

而得到；

④、翻折变换：主要有：

（a）、图象可将的图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折，x

轴及其上方的图象保持不变；

（b）、图象是先画出在y轴及右侧的图象再将y轴右侧的图象以y轴

为对称轴翻折到左侧而得到左边的图象（右侧部分保持不动）；

（二"识图象

对于给定的函数的图象，要能从图象的左右上下分布范围、变化趋势,

来研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性

质；

（三）、用图象

函数的图象形象对显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”

的直观性，它是探求解题图径、获得问题结果的重要工具。

（四”图象对称性的证明

证明函数的图象的地称性，即证明图象上任意一点关于对称中心（或

对称轴）对称点仍在图象上；有关对称问题有以下三个重要结论：

⑴若=对于定义域内任意x都成立，则函数的图象关于直线乂=成轴

对称图形；

⑵若的图象关于直线x初及x=n对称，则周期函数，2|m-n|是它的

一个周期；

⑶若的图象关于点(m,0)(n,0)对称，则周期函数，2|m-n|是它

的一个周期。

第一个结论应用很重要。

二、题型探究

探究一：应用函数的性质作函数的图象

例1：作出下列函数的图象

(1)>f(x)=|x+2|(x-1)

(2)、f(x)=|

(3)>f(x)=

(4)、f(x)=

⑸、f(x)=sin|x|

(6)f(x)=|lnx|

(7)、f(x)=ln|x+11

⑻、f(x)=||-3

(9)f(x)=

(10)、f(x)=f(x)=

(11)、f(x)=|x+l|+|xT|f(x)=|x+1|-|x-1

(12)、f(x)=[x]([x]表示不超过x的最大整数)

探究二：利用数形结合的思想解题

例2：【2014天津高考理第14题】已知函数若方程

a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数。的取值范围为

【答案】（0,1）U（9,4⑹.

【解析】方法一：在同一坐标系中画/国=产+3区和g（x）=a,-I|的图象（如图），问题转化为/（x）

与g（x）图象恰有四个交点.当y=a（x-l）与＞=/+3%（或y=一a（又一1）与y=-/-3%）相切时,

/（九）与屋x）图象恰有三个交点’把y=o（x-l）代入y=/+3x,得，+3尤=。（尤一I）,即

，+（3—〃）尤+0=0,由△=（）,得（3—媪=0,解得。=1或。=9.又当a=0时，/㈤与g㈤

仅两个交点，一.0＜。＜1或。＞9.

方法二：显然axL所以。=史卓.令f=x-L则

X—1

44.,

a=/+y+5.因为f+—W（—oo»-4；U[4»+DO）,所以

4

fd1-5E（—ooj]Up＞4~oo）•结合图象可得0〈I或

a＞9.

【考点】方程的根与函数的林零点.

3：函数的图象和函数的图象的交点的个数是（C）

(A)、1(B)、2(C)、3(D)、4

例4：函数f(x)=lo()(a>O,a)的图象如图所

示，则a,b满足的关系是(D)

(A)、(B)、(C)、(D)、

例5：设函数y=f(x)的图象关于直线x=0及

直线x=l对称，且x时，f(x)=,则=(B)

A、B、C、D、

例6：已知函数f(x)=，将y=f(x)的图象向左平移一个单位，再将图

象所有的点横标坐标不变,纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)

的图象.

⑴、求y=g(x)的定义域;

(2)、令F(x)=f(x-1)-g(x),求F(x)值域。

解：y=g(x)=，所以定义域为{x|x};F(x)=-=,以u=,uO,],所以

值域为(-,-3]

三、方法提升：

函数的图象是研究函数性质的重要工具，要做到会用描点法做

图，会通过函数的图象变换得到函数的图象，会观察图象得到函数的

性质，比如单调性，对称性，通过个别点的函数值推导系数的范围，

通过导数图象估计原函数图象等等，能够利用函数图象解决一些数形

结合的问题。

四、思想感悟：

五、课时作业

函数的图象

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确

答案的代号填在题后的括号内.)

1.12014山东高考理第8题】已知函数/(%)=k-2|+1,心)=立若方

程/(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数%的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,+oo)

【答案】B

【解析】由已知,函数/(x)=|x-2|+l,g(x)=Ax的图象有两个公共点,

画图可知当直线介于4：y=；x，4：y=x之间时，符合题意，故选反

考点：函数与方程，函数的图象.

2.为了得到函数尸3义鼻■'的图象，可以把函数夕=鼻'的图象

(D)

A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度

C.向左平移1个单位长度D.向右平移1个单位长度

解析:尸3义伊=仁卜・1}=印1,故它的图象是把函数尸

的图象向右平移1个单位长度得到的.答案：D

3.给出四个函数，分别满足①f(x+y)=f(x)+f(y),②g(x+

y)=g(x)•g(y),(3)h(x•y)=h(x)+h(y),④m(x•y)=

m(x)-m(y).又给出四个函数的图象，那么正确的匹配方案可以是⑻

C.①丙，②甲，③乙，④丁D.①丁，②甲，③乙，④

丙

解析：图象甲是一个指数函数的图象，它应满足②；图象乙是一

个对数函数的图象，它应满足③；图象丁是y=x的图象，满足①.

答案：D

4.函数y=f(x)的曲线如图⑴所示，那么函数y=f(2—x)的曲

线是图⑵中的(C)

(2)

解析：把y=f(x)的图象向左平移2个单位得到y=f(x+2)的

图象，再作关于y轴对称的变换得到y=/'(—x+2)=F(2—x)的图象,

故选C.答案：C

5.函数/'(x)=,一x的图象关于(C)

X

A.y轴对称B.直线y=-xC.坐标原点对称D.直

线尸x

11〃1

解析：Vf(X)=--X,.*.f(―X)=---+x=----X=—f(x).

XXkx7

.••Mx)是一个奇函数Ax)的图象关于坐标原点对称.答案：

C

6.已知lga+lg6=0,函数f(x)=a"与函数g(x)=-log〃x的图

象可能是()

解析：lga+lg6=0,...lga6=0,ab=1,b=~,「.g(x)=

a

—log屏=logaX,.,.函数/'(x)与g(x)互为反函数，图象关于直线y=

x对称，故正确答案是B.

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确

答案填在题后的横线上.)

7.已知下列曲线：

以下编号为①②③④的四个方程：

②笈-I引=0；③X—3=0；④|x|—y=o.

请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号

解析：按图象逐个分析，注意x、y的取值范围.

答案：④②①③

8.［2014•西安五校联考］已知最小正周期为2的函数y=f(x),

当—1,1］时，f{x)=x,则函数y=F(x)(x£R)的图象与y=

Ilog5X」的图象的交点个数为.

解析：由下图象可知有5个交点.

9.设函数f(x)定义域为R,则下列命题中①尸/tr)是偶函数，

则y=Mx+2)的图象关于y轴对称；②若尸F(x+2)是偶函数，则

y=f(x)的图象关于直线x=2对称;③若f1x—*=f{2—x),y—f{x)

的图象关于直线x=2对称；④y=f(x—2)和y=f(2—x)的图象关于

直线x=2对称.其中正确的命题序号是-_(填上所有正确命题

的序号).

解析：对于①，y=f(x+2)关于x=-2对称；对于③，当/(2

+x)=f(2—x)时，f(x)的图象关于x=2对称，而当f(2—x)=f(x

一2)时，则应关于x=0对称.

答案：②④

10.(2013•青岛模拟题)已知函数f(x)=2—x、g(x)=x.若

f(x)*g(x)=min{f(x),g(x)},那么f(x)*g(x)的最大值是

.(注：min表示最小值)

解析：画出示意图(如图).

2—x2(xW—2),

f(x)*g(x)=<x(―2<x<l),

l2-x2(xel),

其最大值为1.答案：1

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分,

写出证明过程或推演步骤.)

11.已知函数f(x)定义在［—2,2］上的图象如图所示，请分别画

出下列函数的图象；

(l)y=F(x+l)；(2)y=f{x)+1；(3)y=F(—x)；(4)y=­F(x)；

(5)y=If{x}I；(6)y=F(|x|)；(7)y=2f(x)；(8)y=f(20.

解：利用图象变换技巧进行平移、伸缩、对称、翻折即可.

(1)将函数y=f(x),王£［一2,2］的图象向左平移1个单位得到y

=F(x+l),王£［-3,1］的图象，如图①.

(2)将函数y=M,2,2］的图象向上平移1个单位即得

到尸f(x)+l,王£［-2,2］的图象，如图②.

(3)函数y=/'(—x)与y—f{x),［—2,2］的图象关于y轴对称,

如图③.

(4)函数y=-f(x)与y=f(x)［—2,2］的图象关于x轴对称,

如图④.

(5)将函数y=f(x),“£［—2,2］的图象在x轴下方的部分翻折

到x轴上方，x轴上方的部分不变，得到y=|/'(x)|的图象，如图⑤.

(6)考虑到函数y=F(|x|)为［-2,2］上的偶函数，所以函数y=

f(x),王£［-2,2］在9轴右侧的部分不变，左侧部分换为右侧关于y

轴对称的图象即可得到y=f(|x|)的图象，如图⑥.

(7)将函数y=f(x),[—2,2]的图象上所有点的横坐标不变,

纵坐标伸长为原来的2倍，得到y=2/tv)的图象，如图⑦.

(8)将函数y=f(x),[-2,2]的图象上所有点的纵坐标不变,

横坐标缩小为原来的;，得到y=f(2x)的图象，如图⑧.

乙

误区指津：注意区别尸"(x)|与y=f(|x|)这两个函数图象的

作法.后者一定是偶函数，但前者却不一定.因此在作后者图象时，

我们先作出y=Ax)的图象，并去掉y轴左侧的图象，再将y轴右侧

的图象“拷贝”一份，并关于y轴对称“粘贴”到y轴的左侧，即得

y=f{\x\}的图象.

评析：许多有关函数图象变换的题目都是建立在以上8种基本作

图的基础之上，应充分运用这些变换技巧作图.请注意，我们在作已

知解析式的函数的图象时，应先在定义域范围内对已知解析式进行化

简，转化成熟悉的函数作图.

12.如图函数9=系+£的图象沿x轴向右平移a个单位，得曲

线G设曲线。的方程9=广(才)对任意2£R都有/、(1+Z)=-F(1—

力，试求/'(1)+〃-1)的值.

1

解：由题意得F(x)=(x—a)：'+(x—a)~.Vf(l+t)=—f(l—t),

.,.点P(l+K力与点0(1—3―力在曲线。上，

对于任意％£R,线段N中点欣1,0)为定点，即曲线。上任意一

点尸关于点〃的对称点。都在曲线。上.故曲线C关于点以1,0)对

称.

1

又因为y=(x—4+