高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 8 立体几何 （学生版+解析版）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题08立体几何真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2020•北京•高三强基计划）如图，设P为单位立方体A8C0-A8CP的棱A4上的

一点，则PA+PG的最小值为（）

A.也+夜B.&+2也

C.2-史D.前三个答案都不对

2

2.（2022•贵州•高二统考竞赛）平面a与长方体的六个面所成的角分别为4«=1,2,3,6）,

则力sin?g的值为（）

1=1

A.2B.3C.4D.6

二、填空题

3.（2019•全国•高三竞赛）己知尸是二ABC所在平面a外一点，则尸平面a,

PB=PC=42h,tanZPBC=~.则点A到平面P8C的距离的最大值是.

4.（2019•全国•高三竞赛）在三棱柱ABC-AB|G中，底面边长和侧棱长均相等，

14t=60。厕异面直线AB｝与BC,所成的角为.

5.（2018•全国•高三竞赛）己知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,

且SA=SB=SC=AB=2.则三棱锥S-ABC夕卜接球表面积为.

6.（2020•江苏•高三竞赛）在长方体ABC£>-AB|G。中，AB=4,BC=CC、=2尬,M

是BG的中点，N是MG的中点.若异面直线AN与CM所成的角为6,距离为d,则

7.（2021•浙江•高二竞赛）在一A3C中，ZZ?=ZC=3O°,BC=2日P,。分别在线

段AB和AC上，AP=\,AQ=y/2,直线A£>28C于Z）.现将三角形^ABC沿着AD对

折，当平面AD8与平面AOC的二面角为60。时，则线段尸。的长度为.

8.（2022•浙江•高二竞赛）在正四棱锥S-ABCD中，M在棱SC上且满足SM=2MC.

过A"作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为乂，匕，则

向的最大值为.

9.（2022•广西•高二统考竞赛）若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等

于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”，“完美长方体”的体积的最大值为.

10.（2022•福建•高二统考竞赛）如图，尸为长方体ABCO-ABIG。的对角线上一

点，平面APC//平面OAG，若AA=24。，则二面角P-AB-C的正切值为.

11.（2022•新疆•高二竞赛）已知二面角。-/一/的平面角为60。，A,。为直线/上的两

点，射线在平面a内，射线DC在平面夕内，已知一瓦ME5o/CZM=30。，则

cosNBDC等于.

12.（2022•江苏南京•高三强基计划）在棱长为6的正四面体ABCC中，M为面BC£＞上

一点，且|AM|=5,设异面直线AM与BC所成的角为a,则|cosa|的最大值为

13.（2019•全国•高三竞赛）E、尸分别是正四面体A8c。的棱80、C£＞的中点，则平

面A8C和平面AEF所成二面角的余弦值是.

14.（2018•全国•高三竞赛）在三棱锥P-ABC中，已知P4_L底面ABC.若ZBPC=ZBAC,

且A8＞AC,则ZBCA-ZPBC=.

15.（2019•全国•高三竞赛）在空间四边形A5CD中，4c=“，BD=b，E、尸分别是A3、

CD上的点，使得空=工=2012.则£尸=______（用*b表示）.

EBFD

16.（2019•全国•高三竞赛）在边长为1的正方体ABCQ-ABIG"中，点£、F、G分

别为棱A4,、GR、8c的中点.则四面体与EFG的体积为.

17.（2018•全国•高三竞赛）已知三棱锥ABC的底面AABC是边长为6的正三角形，

「4,平面ABC,PA=4,若点2满足PQ=g（PA+PB+PC）,则三棱锥Q-A3C的体

积为.

18.（2018•全国•高三竞赛）设正三棱柱A3C-A'3'C'的体积为V,点尸、。分别在棱

A4'、CC上，满足AP=C'Q.则四面体BPQB'的体积为.

19.（2018•全国•高三竞赛）在正四棱锥P-A8C。中，已知4、G,分别为R4、PC中点.则

V三极锥A-BCQ_

匕E四棱制犷-ABC3

20.（2018•全国•高三竞赛）一个粮仓大致可看做一个圆台，其上底半径为3米，下底半

径为6米，高为"米.一只吃饱了的老鼠在锻炼身体，它打算从圆台下底圆周上的点A

出发，绕圆台侧面慢跑一周，再回到点A.为了使路程最短，这只老鼠至少要跑

米.

21.（2019•全国•高三竞赛）在四棱锥尸-ABCQ中，己知四边形A8C。为矩形，且4?=4,

BC=3,PA=PB=PC=PD=5,AC与PD交于点O,M为边PC的中点.则与平

面PBC所成的角为.

22.（2018•全国•高三竞赛）在正四棱锥中，已知4B=3,且侧面PAD侧面C尸。

37r

所成二面角大小为该四棱锥外接球的体积为.

23.（2018•全国•高三竞赛）用一块边长为2的正方形纸片（顶点为A、B、C、D,

中心为。）折成一个正四棱锥O-A8CD.当该四棱锥体积最大时，二面角A-O3-C的

平面角的大小为.

24.（2019•全国•高三竞赛）已知四面体ABCD的四个面AD3C、ADCA.AZMB、AABC

的面积分别为12、21、28、37,顶点D到面A4BC的距离为h.则h=.

25.（2020•浙江•高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从尸点匀

速朝P'移动；乙从Q点匀速出发朝Q'移动，到达。'后速度保持不变并折返.现甲、乙同

时出发，当甲到达P时，乙恰好在到达。'后折返到Q,则在此过程中，甲、乙两点的

最近距离为.

26.（2018•河北•高二竞赛）若△月供24的三边长分别为8、10、12,三条边的中点分别

是B、C、D,将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的

平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是.

TT

21.（2019•四川•高三校联考竞赛）已知正四棱锥「的高为3,侧面与底面所成角为

先在「内放入一个内切球O1,然后依次放入球Q,Q，Q，，使得后放入的各球均与前

一个球及「的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为.

三、解答题

28.（2022•贵州•高二统考竞赛）甲乙二人轮流给一个正方体的棱涂色，首先，甲任选3

条棱涂成红色，然后乙从余下的9条棱中任选3条涂成绿色，接着甲从余下的6条棱中

任选3条涂成红色，最后乙将余下的3条棱涂成绿色，如果甲能将某个面上的4条边全

都涂成红，甲就获胜，试问甲有必胜策略吗？说明理由.

29.（2018•全国•高三竞赛）在三棱锥O—48C中，己知。4=OB=OC=6,AC=2也，

48=2,且O8LAC.以。为球心、1为半径作一个球.则三棱锥O—ABC不在球内部的

部分体积为.

30.（2021•全国•高三竞赛）证明：如下构造的空间曲线「的任意五等分点组都不在同一

12

球面上，曲线「的构造：作周长为/的圆0,在圆0上取使的长度＜?，

并以A8为轴将AmB旋转180。得弧加?8,在圆。上取B"C，使AmB的长度+B〃C的长

度＜：/,并以BC为轴将即C旋转6度（0°＜"180。）得弧“C，这样，由弧

A”?AS〃C、OA组成的曲线便是空间曲线•（如图所示）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题08立体几何真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、单选题

1.（2020•北京•高三强基计划）如图，设P为单位立方体的棱A々上的

一点，则PA+PC的最小值为（）

A.也+0B.J2+20

C.2-—D.前三个答案都不对

2

【答案】A

【分析】如图，将和△G&A翻折到同一平面后可求尸A+PG的最小值.

【详解】如图,将,AgA和△G44翻折到同一平面.

可得所求最小值为AG=4-V2•

故选:A.

2.（2022・贵州,高二统考竞赛）平面。与长方体的六个面所成的角分别为4«=1,2,3,6）,

则Zsi/g的值为(

【答案】C

【详解】解法1.取平面a与长方体的一个面平行或重合,

则在q(i=l,2,3…6)中有两个为0,四个为1TT,

所以£sin'q=2x0+4xl=4.

故选：C.

解法2.建立如图的空间坐标系。-盯z,

.力

取a的法向量为”=(毛,%"0)，长方体相邻三个面的法向量为4=(1,0,0),%=(0」,0),

%=(0,0,1),

/.^cos2a=2勺•n

r=l

<xo+>o2+

A^sin2=6-Xcos2=6-2=4.

故选：C.

填空题

3.(2019•全国•高三竞赛)已知P是二ABC所在平面。外一点，则24,平面

PB=PC=而，tanZPBC=j.则点A到平面PBC的距离的最大值是

【答案】巫

2

【详解】如图，作PDL8C于点D,联结AZ),作AFLPD于点尸.

因为PA，平面ABC,BC工PD,

所以，8。_14）=>8。_1平面尸4£>=>平面％£>1,平面尸8（7.

由AFYPD.得AFL平面PBC.

于是，AF即为点A到平面PBC的距离.

33

因为VdnZPBC=—所以，sin/PBD

2^3'

又PD=PBsinZPBD=>/26x-J==372

V13

在Rtft4£>中，AF4=PD=晅.

22

故所求的最大值为述.

2

故答案为逃

2

4.（2019•全国•高三竞赛）在三棱柱4BC-ABG中，底面边长和侧棱长均相等,

ZBAA=^CAA=60°.则异面直线AB｝与BC,所成的角为.

【答案】arccos—-

6

【详解】在平面8BCC中，将8a平移至。则NA8Q即为所求的角

设三棱柱底面边长和侧棱长均为1.

在AA与。中，ABl=43,B\D=&AD=43,

34利=做&河-3=2?-3迈

2AB]•BQ2x^3x5/26

J是，NAB]D-arccos•

故答案为arccos

6

5.（2018•全国•高三竞赛）已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,

且SA=SB=SC=AB=2.则三棱锥S-ABC外接球表面积为.

【答案】等

【详解】如图，设三棱锥S-ABC外接球球心为0,半径为R

由SA=SB=SC=AB=2,知S在平面ABC内的投影为AABC的外心，即AB的中点H.

由OA=OB=OC,知O在平面ABC内的投影也为AB的中点H.

于是，S、O、H三点共线.

又由OA=OB=OS,知。为ASAB的外心.

因此,R=OA=,x冬2=苧

16万

故所求为4〃x

T

6.（2020•江苏•高三竞赛）在长方体ABCO-AAGe中，AB=4,BC=CC1=2日M

是BG的中点，N是MG的中点.若异面直线AN与CM所成的角为0,距离为d,则

2020dsin8=.

【详解】因为CM_L8G，故，=90。.

过点加作W"14V于点E,则ME_LCN,故d=ME.

4

因为45=4,BN=3,所以AN=5,则d=ME=MNsinNANB=餐,从而可得

2020Jsin^=1616.

D\GDiG

故答案为：1616.

7.（2021•浙江•高二竞赛）在二MC中,ZB=ZC=3O°,BC=243,P,。分别在线

段A3和AC上，AP=\,AQ=y［2,直线AD/8c于O.现将三角形AfiC沿着40对

折，当平面AD8与平面ADC的二面角为60。时，则线段P。的长度为.

［答案］,3—平

【分析】先根据二面角的定义，得到△BCD为等边三角形，得到8C的长度，然后在折

后的立体图形中，在4附。和△8AC中利用余弦定理即可求得线段PQ的长度.

【详解】因为折叠前后，AQ与。8,CQ的垂直关系保持不变，

...NBDC为二面角B—AD—C的平面角，

依题意可知N8DC=60。，

在折叠前的图形中N8=NC=30。，BC=20

.*•BD=CD=0

二在折叠后，AA8C为等边二角形，.•.8C=G，

AP2+AQ2-PQ2AB2+AC2-BC2

所以cosNPAQ=

2APAQ2ABAC

又；4P=1,AQ=6,40=1,AB=AC=2,

.3-尸。

p解得PQ=

故答案为:

3-乎

8.（2022♦浙江•高二竞赛）在正四棱锥S-4JC。中，M在棱SC上且满足SA/=2A/C.

过AM作截面将此四棱锥分成上，下两部分，记上，下两部分的体积分别为乂，匕，则

V,

立的最大值为.

【答案】:

O

【详解】设过AM的平面交SB,SD于G,P,

将平面MGAP延伸，交BC,CD于E,F,则A,E,F共线.

..匹”2=1三上.2=1,

FDPSEBl-x

又生=0=0=CE

FDDABCCE-BE

BE_2XDP（BEy_\-3x

面怎.匚?,下一~~CE）2（\-x）

2-2x]1（43-5x4）

——H--------------1------------------

3-5xJ3（555（3-5x）J

85

XG0,-y-5xe*3.工

3V

乂匕以上一小

匕匕乂8.

7

故答案为：—.

8

9.（2022•广西•高二统考竞赛）若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等

于它的体积，则称此长方体为“完美长方体"，‘‘完美长方体”的体积的最大值为

【答案】120

【详解】设长、宽、高分别为。、b、c,且。262c21,

贝|J4（a+b+c）=abc,a=:他+?,bc>4,b2>bc>4.

由。26得8。2（〃-4）。2从一4,

b>3,

故，（/7-4）2<20,AAl"j3-Z，-8,

因此，（a,此c）=（10,3,2）,（6,4,2）,（24,5,1）,（14,6,1）,（9,8,1）,

所求最大值为24x5x1=120.

故答案为：120.

10.（2022•福建•高二统考竞赛）如图，尸为长方体ABCO-ASGR的对角线BR上一

点，平面APC〃平面OAG，若A4,=2A。，则二面角尸-AB-C的正切值为.

【答案】2

【详解】如图，设。＞。分别为长方体上、下底面矩形对角线的交点,

因为平面APC〃平面,

平面D\DBBc平面APC=OP,

平面DQBBq平面D4C=，

所以OP〃OOi,

又0B、〃DO、,所以0、P、三点共线,

设。为HRB的交点，则Q为RP的中点，P为QB的中点，因此8尸=：8口，

作P”_L£)8于，，HRLAB于一R,W'lPH±¥ffiABCD,PR_LAS，NPR”为二面角

P-A8-C的平面角，

112I

由例=24。，BP=-BDl,可得尸口=1A£),RH=-AD1

所以tanNPR”=^=2,二面角P-AB-C的正切值为2.

故答案为：2.

11.(2022•新疆•高二竞赛)已知二面角。-/一夕的平面角为60。，A,。为直线/上的两

点，射线£>3在平面a内，射线OC在平面夕内，已知NBD4=45o,/CD4=30。，则

cosNBDC等于.

【答案】"产

【详解】在。平面中，过点A作D4的垂线，交射线DB于点B,交射线DC于点C,

设04=1,则A8=1,O8=0,AC=3,r)C=^^

33

则"4C=60。是湎角WN的平面角:

在,3。。中，利用余弦定理得BC2=—~巫cos/BDC,

33

同理在二84C中，3c2=匕电，

3

所以cosZ.BDC=2瓜+6.

8

2灰+&

故答案为:

8'

12.（2022•江苏南京•高三强基计划）在棱长为6的正四面体ABC。中，/为面BCD上

一点，且|AM|=5,设异面直线AM与BC所成的角为%则|cosa|的最大值为

【答案】|

【详解】过A作底面8CD的垂线A"，”为垂足，则AH=2#，

由AM=5,可知AM是以A”为旋转轴的圆锥的母线，

且M所在的底面圆周半径r=l,

由最小角定理知，A例与8c所成角"的最小值为4M与面BCD所成线面角，

即当a最小时，（cosa）max=g.

故答案为：—.

13.（2019•全国•高三竞赛）E、尸分别是正四面体458的棱8。、CD的中点，则平

面ABC和平面AEF所成二面角的余弦值是.

【答案】生叵

33

【详解】设正四面体的棱长为1,平面48c与平面AEF所成二面角的大小为夕，易知

EFBC,过点A作BC的平行线AP,则EFBCAP,且4P就是平面ABC和平面

户所成二面角的棱，易知，ZPAC=ZACB=60°,ZC4F=3O°,ZPAF=ZAFE,

AE=AF咚,EF=；BC=；,故cosNAFE=+，由三面角余弦定理得

cosZGAF=cosZPAC-cosZPAF+sinNPAC♦sinZPAF-cos0

1^A/3VH5而

—=_X-=H----X--=cos0=>cos0=-----•

222622G33

14.（2018•全国•高三竞赛）在三棱锥P-ABC中，已知PA_L底面ABC.若ZBPC=/BAC,

且AB>AC,则NBC4-N尸BC=.

【答案】

【详解】如图，作AD_LBC于点。，联结PD.

显然，PE>>AT).故可在线段尸£>上取一点E,使得£)E=D4,联结BE、CE.

易证^MRC—^AfiBC•

从而，ZBEC=NBAC=NBPC.

故尸、B、C、£1四点共圆.

这表明，点E在A4BC外.

由A8>AC,知NAC3为钝角.

从而，ZCED=ZPBC.

TT7T

故NBCA-NPBC=-+ZCAD-ZCED=-.

22

15.(2019•全国•高三竞赛)在空间四边形ABC。中，AC=“，BD=b，E、F分别是A3、

CF

CD上的点，使得有—=2012Jlj£F=.(用。、。表示).

EBFD

Q+2012/7

【答案】

2013

【详解】如图，EF=EB+BC+CF.

—=空=L=CF=LCD

FDCD2+1X+1

^EF=EB+BC+CF=-^-AB+-^-BC+-^—BC+-^—CD

A+14+1A+1A+1

=—!—++—!—AC+^-BD=AC+ABD

2+lv)X+N)2+12+12+1

。+2012b

将4=2012,AC=a〃代入即得打

2013

16.（2019•全国•高三竞赛）在边长为1的正方体ABC。-ABC"中，点E、F、G分

别为棱AA、GA、BC的中点.则四面体BfFG的体积为.

3

【答案】4

16

【详解】如图，过点E作BC的平行线，与交于点E,.

则%面体时尸G=%面体8£卬=嗡面体GE冉二不.卜港,BB1.

由题设得AE'=；.

AT-EL-C5A11511.9

在正方体底面上，有S,WF8=71+---x-x7-^x^xl=77-

2V4J2242216

3

故%q面体匹附心=布•

17.(2018•全国•高三竞赛)己知三棱锥尸-ABC的底面AA8C是边长为6的正三角形，

平面ABC,PA=4,若点。满足PQ=g(PA+P8+PC),则三棱锥Q-A8C的体

积为.

【答案】6^3

【详解】记AABC的中心点为O.

则

OA+OB+OC=0=>PQ=-[PA+PB+PC^=^PO+OA)+[PO+OB]+[PO+Oc\\i=^PO^>PO=2OQ

故"y棱推O-ABC=5V三棱锥尸-ABC=/*§S（MBC,以=-X-X9>/5X4=6行.

18.（2018•全国•高三竞赛）设正三棱柱ABC-ABC的体积为丫，点尸、。分别在棱

A4'、CC上，满足AP=C'Q.则四面体BPQB'的体积为.

【答案】|v

【详解】V四面体5P网=V三棱锥尸一3岁。=V三棱电=V三棱电一8&C=§"•

19.（2018•全国•高三竞赛）在正四棱锥P-ABCD中，已知A、G,分别为以、PC中点.则

V

y三棱锥A-5CQ_

KE四棱锥

【答案】7

4

【详解】注意到咚则”=耳卜淞锥。-八80=公匕£四棱锥。-八★。•

同理，“三棱锥G-4叨=/匕I泗棱锥P-A8CQ•

乂“：核锥8-AGD=WV:棱锥AAC、。=[V淞傩P-4AC=Z丫三棱锥P-AHCQ

同现丫三棱铢。-AGP=W%E四枝锥P-48CD•

故.”棱兆3202.=i一）*2—]>2=」.

%四棱锥P-ABCO484

20.（2018•全国•高三竞赛）一个粮仓大致可看做一个圆台，其上底半径为3米，下底半

径为6米，高为J7米.一只吃饱了的老鼠在锻炼身体，它打算从圆台下底圆周上的点A

出发，绕圆台侧面慢跑一周，再回到点A.为了使路程最短，这只老鼠至少要跑

米.

【答案】+等

【详解】将此圆台的侧面展开，得到一个圆环的一部分，如图，在展开图中，弧AZ）和

弧斯分别对应圆台的下底和上底，点4（。）是老鼠的出发点.

假设圆环的内半径为，外半径为R，所对的圆心角为。，显然,

ar=2兀乂3,aR=2万x6,（6-3）~+（"）=（/?-?）'.

解得〃=4,R=8,a=—.

2

作AB与弧EF切于点B,0c与弧EF切于点C.由图像，知AfBfCf。为最短路线,

其中，BfC这一段路线在弧历■上.

计算得AB=CD\lR2-r2=4小

TTS77

且易知NAOB=NCOO=上，ZBOC=a-ZAOB-ZCOD=—.

36

..rF,»।＞、,5/r.1OTT

故弧BC的长为二"X4=F-.

63

于是，最短路线长度为4劣+坐+46=8j5+W（米）.

33

21.（2019•全国•高三竞赛）在四棱锥P-ABCZ）中，已知四边形ABC。为矩形，且AB=4,

8c=3,PA=PB=PC=PD=5,4c与尸。交于点O,M为边PC的中点.则（W与平

而PBC所成的角为______.

【答案】arcsin生反亘

91

【详解】取边2C的中点E,则OE_LBC,PE1.BC.从而,8C_L平面POE.

过点。作则OFJ■平面P8C.于是，为所求.

因为为RfAPOC斜边的中线，所以，OM=2.

2

又OF=3邛,从而，sin/。心="=坐

PEV91OMV91

故OM与平面PBC所成的角为arcsin,也”.

91

22.（2018•全国•高三竞赛）在正四棱锥P-ABCD中，已知AB=3,且侧面R4£＞侧面CPD

所成二面角大小为技.该四棱锥外接球的体积为.

・2437c

【答案】

16

【详解】分别过点。、A作PD的垂线，则垂线必交于。力上一点。，HZA0C=y,

AQ=CD.

因为4c=厉3=3夜，

也,、一八八八ACsinl80°-120°RI~;，

所以AQ=CQ=—-------------------=V6,DQ=ylCD2-CQ2=＞/r3.

由尸。2=PC2-CQ2,得尸c=地.

2

设。为正方形A8C£）的中心，则四棱锥外接球的球心O'必在直线尸O上，尸。与球交于

另一点P'.

又CO=4AC=逑，则尸O='PC2_CO2=).

222

CCr1Q

由「，。=分=3,^R=-（PO+P'O）=~.

,,432437c

故1％7=”

3lo

23.（2018•全国•高三竞赛）用一块边长为2的正方形纸片（顶点为A、B、C、D,

中心为。）折成一个正四棱锥O-A8CD.当该四棱锥体积最大时，二面角A-O8—C的

平面角的大小为.

2兀

【答案】y

【详解】如图，作AEJ_O3于点E,连接CE.

则CE_LO3,NAEC为所求二面角的平面角.

设7/为底面中心.则平面A8CO.作，尸J_A8,连接。尸.

由三垂线定理得OFJ_4?.设AB=2x.则

BF=x,AH=HC=®x，OH=YJOB2-HB2=^2（l-x2）.

故七四枝徘。ABCD-~~=-J2（l-x2]x2x2<-Jf->l=-

H-KHBeW.O—ADCD3、\/3、\3]l\3J27

由均值不等式的等号成立条件，知当且仅当x=半时、/四棱WC”取最大值.

又OF=dOB。-BF?=年，OFAB=AEOB,则AE=—^―=§=CE.

而AC=6AB=生叵，故由余弦定理得cosNAEC=4.一+"-2=」.

32AEEC2

2兀

因为0<N4ECv7r,所以，ZAEC=—.

3

24.（2019•全国•高三竞赛）已知四面体ABCD的四个面AD8C、ADC4,ADAB、AABC

的面积分别为12、21、28、37,顶点D到面AA3C的距离为11.则11=.

【答案】包逑

37

【详解】注意到，122+2产+282=372.

因此，四面体ABCD为直角四面体.

_3DADBDC3724x42x56_504正

d乂h=--------------------=----------------------=-----------

S^BC3737

25.（2020•浙江•高三竞赛）如图所示，在单位正方体上有甲、乙两个动点，甲从尸点匀

速朝尸'移动；乙从Q点匀速出发朝Q'移动，到达。'后速度保持不变并折返.现甲、乙同

时出发，当甲到达P时，乙恰好在到达。后折返到Q,则在此过程中，甲、乙两点的

最近距离为.

【答案】噜

【详解】设甲、乙的速度分别为耳、v2,在此过程中，且=2，即24=&%.

匕彩

不妨设匕=2，则总的时间为1.

设在时间为4末，甲、乙之间的距离最短，即此时P、。分别达到M、N点.

分两种情况讨论：路程前半程与路程后半程.

（1）路程前半程：4e0,1，则QN=2/0,PM=&,MH=t0,PH=圆,

QH-=\+2tl-2tQ,进而有MN2=3l_2%+l=3,o_g）+|>|,故MNW当（当且

仅当时取等号）.

（2）路程后半程：toe1I,则QV=2（1-%）,PM=®o,MH=%,PH=a,

22

QH=l+-2to，进而有MN=lk（；-14/0+5=ll[一看）+Q卷，故MN2噜（当

且仅当时取等号）.

因为逅>乂电，所以在此过程中，甲、乙两点的最近距离为画.

31111

前半程后半程

故答案为：华

26.（2018•河北•高二竞赛）若△AA/j的三边长分别为8、10、12,三条边的中点分别

是B、C、D,将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的

平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是.

【答案】节774

【详解】由已知，四面体A-BCD的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对

角线长分别为4、5、6,设长方体的长、宽、高分别为x、y、z,外接球半径为R,则

X2+/=42

-X2+?=52,得（2R『=x2+y2+z2=[,故R2=],所以5=华.

22/2282

y+z'=6

TT

27.（2019•四川•高三校联考竞赛）已知正四棱锥「的高为3,侧面与底面所成角为

先在厂内放入一个内切球。/,然后依次放入球U，。,，。,，，使得后放入的各球均与前

一个球及r的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之