高中数学信息给予题

高中数学信息给予题选编

X

f(x)=—:——(XGR)

1.一次研究性课堂上，老师给出函数1+1刈，三位同学甲、乙、丙在研

究此函数时分别给出命题：

甲：函数“X)的值域为(-1,1)；

乙:若X]WX2，则一定有f(X1)#/(X2)；

力(x)=/(%),/„(%)=/(/„,!W),则/„(%)=-~~

丙：若规定1+〃1刘对任意"6N恒成

立.你认为上述三个命题中正确的个数有

()

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数“X)的图象恰好通过

个格点，则称函数“X)为k阶格点函数.下列函数：①/(x)=sinx；②/(X)=RX-1)2+3

③-I'；④"x)=log0.6X.其中是一阶格点函数的有①②④(填上所有满足题

的序号)

3若判断框内填入&则下面的程序框图输出的结果为132.

4.给出30个数：1,2,4,7,11,……其规律是

第一个数是1,

第二数比第一个数大1,

第三个数比第二个数大2,

第四个数比第三个数大3,……

以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题

的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行

框②处应分别填入()

A.，W30?；p=p+i-1

B./W29?；夕=夕+/+1

C.iW31?；p=p+i

D._zW30?；p=p+i

3

sin230°+cos?60°+sin30°cos60°=—

5.观察等式：4,

sin220°+cos250°+sin20°cos50°=—

4和

3

sin215°+cos2450+sin150cos45°=—

4,…，由此得出以下推广命题不正顿的是

①—

sin2a4-cos2-+sinacos夕=—

①仆

sin2(a-30°)+cos2a+sin(a-30)°cosa--

②4；

3

sin2(a-15°)+cos2(a+15°)+sin(a-15°)cos(a+15°)=—

③4；

sin2a+cos2(a4-30°)4-sincos(a+30°)=—

④4.

/(x)-g(x)〈

6.定义域为〃的函数/(X)和g(x),若对于任意的xe。总有f(x)10那么

称/(x)可被g(x)替代(通常/(x)#g(x)).

(1)试找出一个可以替代函数/的函数❷。)，且〃x)wg(x)；

/、X+6「一八

一、—「「/“Ig(x)=----[4,16]

(2)试判断函数[4,1句是否可被一次函数5替

代，并说明理由.

9,,U/、21

——-<g(X)<——7g(X)=----r

解：(1)由定义解得10x10x,取20x即可.

(2)/(X)56,

/?(x)=Vx+-T=h\x)=-^=----阜=-+；

令"x,则27xxy/x2x7x.

令£(x)=0得x=6,

当4cx<6时,/(x)<0,所以人(工)在(4,6)上是减数函数；

当6<x<16时,/(x)>0,所以人(%)在(％6)上是增函数.

・••3)在田6]的极小值是力(6)=2后，乂人(4)=5,w6)=£

2A/6<h(x)<—

.f(x)-g(x)15-2V6,/(x)-g(x)1

历]

・••/(X)可以被g(x)替代.

y=-sin(§x)

7.有一种波，其波形为函数.2的图象，若其在区间[0,勺上至少有2个波

峰(图象的最高点)，则正整数f的最小值是

()

A.5B.6C.7D.8

8.已知函数/(x)=xN+PX+9(xe式)，给出下列四个命题：

①“X)为奇函数的充要条件是。=°；

②“X)的图象关于点(°'编对称；

③当P=°时，方程/(*=°的解集一定非空；

④方程,(X)=°的解的个数一定不超过2个。

其中正确命题的序号是_①②③。(写出所有正确命题的序号)

9,若f(x)=sinx,g(x)=cosx,则有①"(x)?+[g(x)]2=1,②f(2x)=2f(x)g(x).(§)

e*—c~x

_2y(x)=-——

g(2x)=[g(x)]-"(x)]2-；现设双曲正弦函数2，双曲余弦函数

e+e

g（）=

X2，类比上述三个结论，可得到/（X）与g（x）的关系式正确的为—②

（只要写出对应的序号）.

10.在北京召开的国际数学大会会标如图所示，它是

由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一

个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为°,大正方

1

形的面积是1,小正方形面积是25,则sin?8-cos?夕

_2_

的值为25

11.已知集合A+,咖+N=2,x,"R},B={（X，）刎=若匐8中的元素

所对应的点恰好是一个正八边形的顶点，则正数。的值-242-2

12.对于函数产/（》）（xe。，。为函数定义域），若同时满足下列条件：

①人》）在定义域内单调递增或单调递减；

②存在区间口，切墨。，使/（X）在口,&上的值域是口,出。

那么把>=/（》）（小。）称为闭函数.

（1）求闭函数？=-》3符合条件②的区间口，b].

—x+—（x£（0,+8））

（II）判定函数/（X尸4x是否为闭函数？并说明理由;

（III）若是闭函数，求实数%的取值范围

解（I）由>=-'3在口，切上为减函数，

b=一/,

<a=-b3,

a<b.

得〔可得。=-1,b=\,所求区间是[-1,1].

11

(II)取X|=l,%2=10,可得/(X)不是减函数；取X|=10'"10°,可得/(X)

在（0,+8）不是增函数，所以/（X）不是闭函数.

a=k+Ja+2,

V_____

(Hl)设函数符合条件②的区间为[4，b],则+加工•

故a,b是方程x="+J=的两个实根，命题等价于

x2-(2k+l)x+k2-2=0,

'x2—2,

x>k

有两个不等实根.

2k+l5

F…

(2k+1)2-4(公一2)>0,

22+2(2k+1)+k2-2>0.,99

k>——

当时,解得：4

2k+l,

丁九,

(2JI+1)2-4(^2-2)>0,

k2-(2k+\)k+k2-2>0.

当女＞一2时,这时.无解.

所以k的取值范围是弓‘F

13.定义2x2的数表平方运算规则是:

a/?Y(a八仅叫a2+bc

be+d2,，则130

cdJ(cd)\cd)(ac+cd?

14、下列四个命题：是否需要在“”处添加一个条件才能构成真命题？如需要,

请填写这个条件，如不需要，请把“”用"/”划掉(全部正确得5分，漏一个

或错一个得。分)

直线/〃机'

mu平面勿＞=＞///«非零向量

=|a+匕|=|a—。|

②一

在AA8C中

sinA>sin8/=A>6

③

已知抛物线V=4x的顶点为0

A、8在抛物线上n4AOB为直角三角形

…直线A3过点------时，

14、①②=°（或a与刃垂直）③/@（4,0）

15.黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图2所示产的规律拼成若干个图案:

第2个第3个

则第n个图案中有白色地砖4n+2块.

16.给出下列五个命题，其中所有正确命题的序号是③④

①若函数y=/aT）是偶函数，则函数y=/（制的图象关于直线x=o对称。

②x<2是|x|<2的充分非必要条件

③在AABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件;

④函数++c为奇函数的充要条件是c=o；

17.某医药研究所开发种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫

升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的关系用如图所示曲线表示.据进一步

测定，每毫升血液中含药量不少于6.25毫克时，治疗疾病有效.则服药一次治疗该疾

病有效的时间为（）

A.4小时Bo8小时c»16小时D。5小时

18.定义集合运算：A0B={Z1Z=xy,xWA,yeB},设集合A={-1,0,1},B=

{sin«,cosa)(则集合A©B的所有元素之和为

A.1Bo0Co-1D»sina+cosa

19.同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低;

反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语

言描述为：若有限数列,，。2,…，*满足a}<a2<---<an(

则,(结论用数学式子表示).

(U)%+―([“㈤

篇A■-・篇

20.对于任意函数/(x)，xe°,可按如图所示构造一个数列发生器，其工作原理如下:

①输入数据X。*°,经过数列发生器输出/=/口0)；

②若X2°,则数列发生器结束工作；

若阳e0,则将不反馈回输入端，再输

出々=/(/)，依此类推。

现给出/(x)=2x+l,D=(0,1000)。若输入与=1,则发生器结束工作时，输出

数

据的总个数为

A.8B.9C.10D.11

21.对于任意的两个实数对(。,。)和(c,d),规定:

(a,b)=(c,d),当且仅当。=c,2=d时成立.

运算,，⑥”为.®(c,d)=(ac-hd,bc+ad),

运算“㊉，，为:(a,b)㊉(c,d)=(a+c,b+d).

现设R,若(1,2)<8>(〃闻)=(5,0),则(1,2)3(〃,4)=_⑵0)

22.已知/（X）是定义在（0,+oo）上的单调递增函数，对于任意的m、n（m、n£（0,

、*口〃⑼+/(〃)=/>〃)，且。、/0<。<切满足|f⑷|=|f(b)|=2"(字)|.

+oo))7两足2

(1)求”1);

(2)若〃2)=1,解不等式f(x)<2；

(3)求证：3Vb<2+6.

解：(1)令m=n=L由八加)+/(〃)=/(%),得〃1)+加=")

.../(i)=o

(2)v/(2)=1,...，*)<2=1+1=〃2)+/(2)=，(4)

又一(x)在(0,+oo)上单调递增，

/.0<x<4,二/(")<2的解集为(0,4)

(3)•.•/⑴=°，/(X)在(o,+oo)上单调递增，

..产(0,1财，/(x)<0

无e(l,+8)时，/(x)>0,又"伍)|="(。)|

yQ<a<b：.f(a)=-f(b)

.・./(〃)+/S)=f(ab)=0.ab=\:.Q<a<\<b

"S)|=2"(字)|,且b>l，W>箍=1

又：22

/(b)=2f")2r…2

24b=a"+2ab+b~

4b—b2—2=«2,考虑到0<a<l,

4

A0<4/?-/?-2<1,又b>T

,-.3</?<2+V2

23.已知△A8C中满足(&)2=元-届'+笳•泥'+演-演，a、b、c分别是△"<?的三边.

(I)试判断△ABC的形状并求siM+sinB的取值范围；

(II)若不等式〃2(b+c)+Z?2(c+a)+c2(〃+b)2kabc,对任意的a、b、c都成立，求攵的

取值范围.

~~>~>—>—>—>

解：(I)\'(AB)-=ABACJt-BABC+CACB,

(AB)*2=AB(AC+CB)+CACBS.\i(AB)2=ABAB+CACB,

即ZVIBC是以C为直角顶点的直角三角形，

sia4+sinB=sitvl+cosA="\/2sin(A+^),A6(0,，),

AsinA+sinB的取值范围为。，及].

(II)在直角△A3。中，〃=csinA,b=ccosA.

若〃2(b+c)+b2(c+〃)+c2(〃+b)2kabc,对任意的a、b、c都成立,

。2(匕+c)+b?(c+a)++0)

则有>k,对任意的a、6、c都成立,

abc

..〃2S+C)+)2(C+〃)+C7〃+6)

abc

=Jsinlcos/jJsin"(ccosA+c)+c2cos2A(csin/l+c)+c2(csinA+ccosA)]

=sin^cosA】sinJcosA+cos2AsinA+1+cosA+sirt4]

.1+cosA+sin4

=cosA+sinA+：~;

sinAcosA

令t=sin4+cosA,["拒]

出"、a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)1+f22

设/⑺=------------嬴-----------=，+E=f+』=r—1+』+1-

2

八。=/-1+吉+1,当上时小)为单调递减函数，

...当f=也时取得最小值,最小值为2+3啦,即E2+3啦,

所以我的取值范围为(-8，2+3姬］.

24.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数/(幻的图象恰好通过

k(k€N')个格点，则称函数/(x)为左阶格点函数.下列函数：①/(x)=sin，②

/(x)=%(x-1)?+3；③“幻一(3)；④f(x)=log。％x,其中是_阶格点函数的有—①②

④

2

25.在网络游戏《变形》中，主人公每过一关都以§的概率变形(即从“大象”变为“老

鼠”或从“老鼠”变为“大象”),若将主人公过n关不变形的概率计为Pn，则

A.B.P8Vp7C.P[1<P|2D.P|5>P16

26.现有一块正三棱锥形石料，其三条侧棱两两互相垂直，且侧棱长为1m,若要将这块

石料打磨成一个石球，则所得石球的最大半径约为

A.0.18mB.0.21mC.0.24mD.0.29m

27.关于数列3,9,…，729,以下结论正确的是

A.此数列不能构成等差数列，也不能构成等比数列

B.此数列能构成等差数列，但不能构成等比数列

C.此数列不能构成等差数列，但能构成等比数列

D.此数列能构成等差数列，也能构成等比数列

28,烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染.已知A、B两座烟囱相距20而》,其中B

烟囱喷出的烟尘量是A烟囱的8倍，经环境检测表明：落在地面某处的烟尘浓度与该处

到烟囱距离的平方成反比，而与烟囱喷出的烟尘量成正比.(比例系数为4).若C是AB

连线上的点，设AC=xkm,C点的烟尘浓度记为)，.

(I)写出y关于x的函数表达式；：-------2-------------合

(II)是否存在这样的点C,使该点的烟尘浓ACB

度最低？若存在，求出AC的距离；若不存在，说明理由.

解：(I)不妨设A烟囱喷出的烟尘量为1,则B烟囱喷出的烟尘量为8,由AC=x,

(0<x<20),可得BC=20-X；

依题意，点C处的烟尘浓度y的函数表达式为：

kh8

y=-----1-------------

■x2(20-x)2(0<x<20)

(n)对(i)中的函数表达式求导得

,2k16k2k(9x3-60x2+1200x-8000)

y=-------1-------------=------------------------------------------

■x3(20-x)3X3(20-X)3

令y'=0,得(3x-20)-(3x2+400)=0.

20

X=—

又0<x<20,.・.3

...当.仇学时，/<0,当X，号'2°)时，/>0

20

x——

.•.当3时，y取最小值.

AC^—km

故存在点C,当3时，该点的烟尘浓度最低.

29.如图，F是定直线/外的一个定点，C是/上的动点，有下列结论；若以C为圆心,

CF为半径的圆与/交于A、B两点，过A、B分别作/的垂线与圆C址F的切线交于点

P和点Q,则P、Q必在以F为焦点，/为准线的同一条抛物线上.

(I)建立适当的坐标系，求出该抛物线的方程；

(II)对以上结论的反向思考可以得到另一个命题：

“若过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P、Q两点，

则以PQ为直径的圆一定与抛物线的准线/相切”请

问：此命题是否正确？试证明你的判断；

(III)请选择椭圆或双曲线之一类比(II)写出相应的命题并

证明其真假.(只选择一种曲线解答即可，若两种都选，则以第一选择为评分依据)

注：椭圆和双曲线的准线所满足的条件为：曲线上任意一点到一个焦点的距离和到

这个焦点所对应的准线的距离的比等于曲线的离心率.

解：(I)过F作/的垂线交/于K,以KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建

立平面直角坐标系如图1,并设|KF|=p,则可得该该抛物线的

方程为y2=2，x(p>o)

(ii)该命题为真命题，证明如下：

如图2,设PQ中点为M,P、Q、M在抛物线

准线/上的射影分别为A、B、D,

•；PQ是抛物线过焦点F的弦，

A|PF|=|PA|,|QF|=|QB|,又|MD|是梯形APQB图i

的中位线，

|MZ)|=g(|PA|+|Q8|)=g(|PR|+|QF|)=等

是以PQ为直径的圆的圆心，.•.圆M与/相切.

(注：也可利用方程及坐标证明)..........8分

(III)选择椭圆类比(II)所写出的命题为：

“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点，

则以PQ为直径的圆一定与椭圆相应的准线/相离”.

此命题为真命题，证明如下：

证明：设PQ中点为M,椭圆的离心率为e,

则Ovevl,P、Q、M在相应准线/上的射影分别为A、B、D,

31=也

同理得e

：|MD|是梯形APQB的中位线,

^MD^\PA\+\QB\=L([PF\+\QF\)=\_PQ\>\_PQ\

22ee2e2

...圆M与准线/相离.

选择双曲线类比(II)所写出的命题为:

“过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与双

曲线相应的准线/相交”.此命题为真命题，证明如下：................11分

证明：设PQ中点为M,双曲线的离心率为e,则e>\,P、Q、M在相应准线I

上的射影分别为A、B、D,

|叼=四31乌

e同理得e

：|MD|是梯形APQB的中位线,

JPAI+3IJ四+也上0＜四

22ee2e2

.•.圆M与准线/相交.

30.有一个翻硬币游戏，开始时硬币正面朝上，然后掷骰子根据下列①、②、③的规则

翻动硬币：①骰子出现1点时，不翻动硬币；②出现2,3,4,5点时，翻动一下硬币，

使另一面朝上；③出现6点时•，如果硬币正面朝上，则不翻动硬币；否则，翻动硬币，

使正面朝上.按以上规则，在骰子掷了〃次后，硬币仍然正面朝上的概率记为P“.

55_j_

（I）求证：VneN*,点（P“，p,+p恒在过定点（6,9）,斜率为5的直线上;

（H）求数列｛Pj的通项公式P.；

p--

（HI）用记号表示数列｛9｝从第几项到第机项之和，那么对于任意给定的

正整数k,求数列5小，Sk+T*,…，…的前〃项和T”.

解：（I）设把骰子掷了n+1次，硬币仍然正面朝上的概率为P„+1,此时有两种情况:

①第n次硬币正面朝上，其概率为P,„且第”+1次骰子出现1点或6点，硬币不

动，其概率为63.因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为3

②第〃次硬币反面朝上，其概率为1-P”且第〃+1次骰子出现2,3,4,5点或6

点，其概率为6；因此，此种情况下产生硬币正面朝上的概率为6.

4+1=工匕+/（1-尸"+i_6=_弓（2一6）

36,变形得929

55」

.•.点（P“，P“+i）恒在过定点（§,9）,斜率为5的直线上.

⑺沁又由⑴知：V2

pF]_5=l_5=_2_1

/.｛§｝是首项为,9399,公比为5的等比数列，

p--=--.(-l)n-1p=」+.(-D—

.•・"992，,故所求通项公式为"992-2.

P„—/=P]—=—<7=—

(III)解法一：由(H)知｛9｝是首项为99,公比为2的

等比数列，又

S,*+T"+i»_+-----Hqi)_qk

♦；a"[(1+qdFq)(k,€N*)是常数，

Im”*,…,也成等比数列，

一9・一]

从而

解法二：7"=S1Tk+Sk+1->2K+.・・+S(〃T)"lf次―a\+。2+.一〃成

31.对于•个有限数列'=（斗鸟'…'巴），P的蔡查罗和（蔡查罗为一数学家）定义

为％"1+邑++S“），其中&=[+£+…+4（卬"〃），若一个99项的数列

仍，£，…，尸99）的蔡查罗和为io。。，那么loo项数列"，与片…，益的蔡查罗

和为（）

A.991B.992C.993D.999

32.定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：

（1）2*2006=1,（2）（2〃+2）*2006=3・［（2〃）*2006］,贝|」2008*2006的值是_3网3

“、卜一'-2（x<0）

f（x）=<

33.关于函数〔2办-1（x>0）,（。是常数且a>0）。对于下列命题：

①函数〃x）的最小值是-］；②函数"X）在每一点处都连续；③函数"X）在R上存在反

函数；④函数“X）在x=°处可导；⑤对任意匹且占“々，恒有

,卢+、2）<〃,）+/。2）

22。其中正确命题的序号是①②⑤

34.已知抛物线C：V=2px（p>0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5.

（1）求抛物线C的方程.

（2）设直线y="+°a#°）与抛物线C交于两点4（阳，力），8（七，乃），且

5-为1="仅>0）,M是弦AB的中点，过M作平行于x轴的直线交抛物线C于点。，

得到AA8O；再分别过弦A。、8。的中点作平行于x轴的直线依次交抛物线C于点

E,F,得到A43E和ABOF；按此方法继续下去./,

解决下列问题：E

a2=16（1-妨）'Z/"'/

①求证："1/M

②计算的面积sMBD.------V-----7—

③根据的面积%皿的计算结果，写出AWE,A3。尸/

的面积；请设计一种求抛物线C与线段A8所围成封闭图

形面积的方法，并求出此封闭图形的面积.

解：（1）由抛物线定义，抛物线C：）'2=2px（p>0）上点尸（4,打）到焦点的距离等于它到

x=-K5=4+2，”=2

准线2的距离，得2,

所以抛物线C的方程为）'2=4x.

（只要得到抛物线方程，都得4分）

y2=4x

<

（2）由[y=&+6,得62-4y+4b=0,（或氏2/+（2心―4）x+/=0）

当△=16-16kb>0,即k/?<1且k=0时，

44b4-2kbb2

%+为=7，必乃=丁x,+x=———,xx=—

k上（或2kx2k）

1616/?_2

①由及1—乃1=4,即（）1+乃）2_4%为=Q-,得hk,

216（1-kb）

a=----：---

所以匕.

（^^3）c（B3）

②由①知，AB中点”的坐标为k-k,点、Hk,

1Ikb,a3

MC=-a=

SMHC=~\\-\y\-yz\2-p32

③由问题②知，.8。的面积值仅与及।一九1="有关，由于

必一加方，母厂加吃所以.小与小曲的面积

S-S一学—上一尤a-2―--'

MDEMDF3232x8256,设“32x8,-132x4"-'

由题设当中构造三角形的方法，可以将抛物线0与线段4B所围成的封闭图形的面积

看成无穷多个三角形的面积的和，即数列｛%｝的无穷项和,

33333

ca、ac2ac3aia

S----F2-------F2~-------+2-------+…+2------F,••

所以3232x832x8232x8332x8”

S=1----------------1---------------H-------------+…4-------------------F…=

即3232x432x4232x4332x4"24,

因此，所求封闭图形的面积为24.

35.已知等比数列也｝的首项为16,S”是其前〃项的和，某同学经计算得=40,S3=72,

邑=130,后来该同学发现，其中一个值错了，则该值为

(A)E(B)邑(C)邑⑴)邑

36.已知f(x)=x+l,g(x)=2x+l,数列｛%｝满足：ai=l,a,+i=[f夕渡

则数列｛小｝的前2007项的和为

A.5X22008-2008B.3X22007-5020C.6X22006-5020D.6X2,(,03-5020

37已知函数"X)的定义域为/,导数f'(x)满足0<,(x)<2且/。)#1,常数G为方程

〃x)-x=°的实数根，常数Q为方程”x)-2x=°的实数根.(I)若对任意[。⑼=/,

存在右e(。，叽使等式/⑻-/(。)=(人血'(％)成立.试问:方程〃x)-x=O有几个实

数根；(II)求证：当工2时，总有〃x)<2x成立；(山)对任意外4,若满足

ki-cjvl,求证：

解：(I)假设方程〃x)-x=O有异于G的实叫m,即“机)二.则有

»>-9="，")-/&)=(，"-科乜)成立.因为加,4,所以必有广&o)=l,但这与广(幻¥1矛盾，

因此方程/(幻一X=°不存在异于C1的实数根....方程/(幻一X=°只有一个实数根.

(H)令hM=fW-2x,"h\x)=f(x)-2<0,函数〃(x)为减函数.又

=2c2=0,

...当x>q时，即/(x)<2x成立.

(in)不妨设再<*2,./(x)>。，为增函数，即加)"(»又：/'(x)<2,...

函数〃x)-2x为减函数即f(x,)-2Xl>f(x2)-2x2..,.0</(x,)-/(x,)<2(x:,-x,)；即

|/(x2)-/(x,)|<2卜-M；k2Tli=k2-G+G-XJ«,2-cJ+k-cjv2,:.|/(苟)-/(占XV4.

v22

y=k(x—3)(k6R)与双曲线二一Lv二L

38.已知直线机27某学生作了如下变形：由

y=k(x-3)

‘e-亡=1,

~m27消去y后得到形如A—+8x+C=°的方程，当A=0时，该方程有一解；

当AW0时，△=8?-4AC2恒成立.假设学生的演算过程是正确的，则实数m的

取值范围为()

A[9,+8)B(0,9]c(0,3]D.3+8)

V—1

f(X)=--，野2(X)=f[f(x)],f3(x)=/[/2(x)],...,fn+i(x)=f[fn(%)]

39.对于函数x+1

(〃€汽*,且〃22),令集合M-{x\f2007(x)-x,xeR},则集合M为

()

A.空集B.实数集C.单元素集D.二元素集

40已知〃次多项式匕+gx"T+…+a“_/+%,如果在一种计算中，计算

%(%=2,3,4,…的值需要左_1次乘法.计算舄(%。)的值共需要9次运算(6次乘法,

n（n+3）

3次加法），那么计算乙（与）的值共需要.2次运算。下面给出一种减

少运算次数的算法：尸。（"。）="。5鼻+i⑴=呜⑴+%i（'=°〃T）,利用该算法,

计算8（与）的值共需要6次运算，计算乙（%。）的值共需要_2n____次运算。

41.已知集合〃={x|IWxWlO,XG.M,对它的非空子集A,而A中每个元素k,都乘以（一

1一再求和（如如{1,3,6},可求得和为（-1）•1+（—1尸・3+（—I）'。6=2,则对M

的所有非空子集，这些和的总和是2560.

42.7.把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数“x）=3+log2X的

图象

与g（X）的图象关于对称，则函数g（X）=.

（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）

（①X轴，-3-唳2、②y轴，3+log2（—x））③原点，-3-log2（—x）④直线

y-x,2*-3

-G+1Mx）=一3,a]

43.设函数g（町一"x+1,函数x+3,其中。为常数且。＞°,令函

数/⑺为函数g（x）和“（X）的积函数。⑴求函数“X）的表达式，并求其定义域;（2）

2

当彳时，求函数/（X）的值域；（3）是否存在自然数。，使得函数/（X）的值域恰为

J[

一3’2」？若存在，试写出所有满足条件的自然数。所构成的集合；若不存在，试说明理

由。

/-/）=4+1

解：（1）'*-x+3,xw[O,a]（a〉O）。

irii2

（2）1.,a=4,函数/（x）的定义域为L0?4」，令4+1=/,则x="l）2,

/(x)=F(Z)=~'

'"f+4f+4.2

43re12

，=±2e1,-4

L2」,又-2」时,tH--”（/）单调递增，

t时,t递减,

F（r）e1A1A

L313」，即函数/（x）的值域为1313」

令4+1=，，则

（3）假设存在这样的自然数。满足条件，

1

/）=加二不值

...xe［O,a］（a>0），则+要满足值域为5口，则要满足

F（，）max=2

»

441

t=-t+->4F（t）=-

由于当且仅当f=»=2时，有t中的等号成立，且此时2恰

为最大值，

.2611,6+1］=>a>1

又F（t）在［1,2］上是增函数，在上,而+1］上是减函数，

布+1.1

a+3-3=>0<a<9,

综上，得.

44