高中数学《空间向量运算的坐标表示》导学案

3.1.5空间向量运算的坐标表示

卜课前自主预习

某!基础导学

1.空间向量运算的坐标表示

运算坐标表示。=（0,。2，ay）,b=（b\,。2，。3）

加法a-\-b=回—i+比，.+历，色+地）

减法a—b=区@—b1,—3，一〃3)

数乘2Q=1^2^!(%—।,Atz2,%，3)，々£R

数量积a,b=因+42b2+。3一

2.空间向量的平行与垂直的坐标表示

平行或垂直条件的坐标表示

平行或垂直

白2，。3），b=（bi,b?,/73）

ci\—Xb\,

平行（4〃5）a//b^a=Xb^<。2=劝2，Q£R且8WO)

、约=43

垂直（Q，。）aJ_b^a-b=0台画之也］+夜团+=。

3.空间向量的长度公式及夹角的坐标表示

（1）空间向量长度公式的坐标表示

2

①若a=3，a2,⑹，则H尸ViaP=V«

=_~\/^+孱+/，即⑷=，裙+诏+诏.

②空间两点间的距离公式

已知A(x”%,Z1),3(X2，”，Z2),

2.葩=园食2—想，y?一也，z2—zD.

b.dAB=\A0\=®V(X?-X])2+(丫2-V])2+(z?-Z.

(2)向量的夹角坐标公式

设。=(0，。2，。3)，b=(b\,岳，仇)，

则C。，(加=舟与篇鬻幡银

鼠]自诊小测

1.判一判(正确的打"J"，错误的打"X")

(1)对于空间任意两个向量。=(0，生，的)，b=(bi，bi,仇)，若。与。共线,

(2)空间向量。=(1/,1)为单位向量.()

(3)若向量能=(xi，力，Z|),则点8的坐标为(修，yi，zi).()

答案⑴*(2)X(3)X

2.做一做

(1)(教材改编P97TD已知向量。=(4,-2,-4),b=6-3,2),则下列结论

正确的是()

A.a+b=(10,—5,—6)B.a—b=(2,—1,—6)

C.ab=\0D.⑷=6

(2)在空间直角坐标系中，已知点A的坐标为(1,2,3),点8的坐标为(4,5,6),

则葩=.

(3)若a=(2x,l,3),)=(1,—2y9),如果。与方为共线向量，则x=,

y=---------

(4)已知。+。=(2,也，2小)，a~b=(.O,也，0),贝UCOS〈Q,b)=.

答案(1)D(2)(3,3,3)(3)1~|(4)坐

卜课堂互动探究

探究1空间向量的坐标运算

例1已知Q=(2,—1,12),8=(0,—1,4),求a+瓦a—byab,(2。)•(一

b),(a+Z>)-(a—b).

［解］a+6=(2,—1,—2)+(0,—1,4)=(2+0,—1—1,—2+4)=(2,—

2.2);

a—b=(2,—1,—2)—(0,—1,4)=(2—0,—1+1,—2—4)=(2,0,—6)；

ab=(2,—1,—2)-(0,—1,4)=2X0+(—1)X(—1)+(—2)X4=-7；

(2a)-(-6)=-2(a-6)=-2X(-7)=14；

(a+6)1(a—b)=Q,—2,2)-(2,0,-6)=2X2—2X0+2X(—6)=-8.

拓展提升

空间向量的加法、减法、数量积及数乘运算的方法

1.根据已知向量的坐标，代入空间向量的加、减、数量积和数乘运算的坐标

表示公式进行计算.

2.熟练应用有关的公式：

(l)(a+Z>)2=/+2a.

(2)(a—万了=/-2a&+Z>2；

(3)(a+/>)­(«—Z>)=«2—b2.

3.空间向量的坐标运算法则和平面向量的坐标运算法则类似，可类比记忆.计

算(2a>(—3，既可以利用运算律把它化成一2(a0),也可先求出2m-b后，再

求数量积.

【跟踪训练1】已知。=(2,-1,3)，分=(0，-1,2),求：

(l)a+A；

(2)2。-3b；

(3"

(4)(«+^)•(o—Z>).

解(l)a+Z>=(2,—1,3)+(0,—1,2)=(2+0,—1—1,3+2)=(2,—2,5).

(2)2a-36=(4,-2,6)—(0,-3,6)=(4,1,0).

(3>6=(2,-1,3)-(0,-l,2)=2X0+(-1)X(-1)4-3X2=7.

(4)(<z+6)-(n—b)=a2—62=4+1+9—(0+1+4)=9.

探究2利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题

例2如图，在棱长为。的正方体ABCD-A&Ga中，以。为坐标原点，

DA,DC,。功所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B

作于点求点M的坐标.

［解］由题意，知A(a,O,O),B(a,(7,0),Ci(0,a,a),设M(x,y,z),

则蕉=(—〃，a9a),刘/=(九-a,y,z),BM=(x—a,y—a,z).

因为嬴L元，所以丽蕉=0.

所以一〃(x—a)+〃(y—q)+az=0,

即x—y—z=0.®

因为元〃疝4所以x—q=—Aa,y=Xa,z=za(2^R),

即x=ci-九z,y=2a,z=2a.②).

由①②，得产学,y=|,z=y

所以点M的坐标为伶，

拓展提升

(1)利用向量的坐标运算解决立体几何中的垂直问题，关键是建立正确、恰当

的空间直角坐标系，进而通过空间向量的分解方法准确地写出所求各点的坐标.

(2)用向量的坐标运算证明垂直问题，把几何问题转化为代数计算，这是数学

中化归思想的具体体现，如证明直线A8_LCO,可转化为证明宓近=0,由向量

的坐标运算即可完成.

【跟踪训练2】(1)已知空间三点A(—2,0,2),8(—1,1,2),C(~3,0,4),设

a=AB,b=AC.

(i)若hr+8与总一2b互相垂直，求左的值；

(ii)设|c|=3,c//BC,求c.

解(i)；。=宓=(1,1,0),。="(一1,0,2),

...切+6=网1,1,0)+(—1,0,2)=(女一1,匕2),

ka—25=2(1,1,0)—2(—1,0,2)=(左+2,k,—4).

,：(ka+b)J_(ka—2b),

；.(左一1)(4+2)+4一8=0,

即2炉+4—10=0,解得Z=2或左=—|.

{\iy：c//BC,又比=(一2,-1,2),

.,.设c=(—22,—A,22),又|c|=3,

(-2A)2+(-A)2+(2A)2=9,得/l=±l.

c=(—2,—1,2)或c=(2,l,12).

(2)在正方体ABCD-CiBiCQi中,已知E,F,G,H分别是CG，BC,CD,

A\C\的中点.

求证：(i)AB\//GE,ABJEH；

(ii)A|G,平面EFD.

证明如图，

以A为坐标原点，分别以血,AD,筋।为单位正交基底建立空间直角坐标系.设

正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(l,l,0),0(0,1,0),4(0,0,1),e(1,0,1),

G(l,l』).由中点坐标公式，得Hj，1，另，«1，r0)，G(；，1，0)，雄，；，1)

(i)次=(1,0,1),速=(；，0,；),砺=(一当—3).

因为葩=2旗葩.两=1x(一£|+1X；=O,

所以瓶〃函AB.X.EH,即AB/GE,AB」EH.

(ii)族;=(；,1,-1),/=(1,-3，0),雄=[1,0,1.因为才工赤=3—义+

0=0,Z^^=1+0-1=0,所以A1GLO凡AtGlDE.

因为OFCOE=。，所以A|G_L平面EFD

探究3利用空间向量的坐标运算解决夹角、距离问题

例3(1)已知向量。=(5,3,1),>=(-2,f,一|),若a与力的夹角为钝角，

求实数，的取值范围；

(2)棱长为1的正方体ABCO—AIBCQI中，点E,F,G分别是BD,

BBi的中点.

(i)求证：EFLCF-,

(ii)求旗与在所成角的余弦值；

(iii)求CE的长.

［解］(1)由已知，得a山=5X(—2)+3/+lX(—|)=3，一弓，因为a与万的

夹角为钝角，所以a山＜0,

即3L*0,所以蜷.

若a与方的夹角为180。，则存在力＜0,使。=笈(2＜0),

即(5,3,1)=4一2,I)，

’5=2(—2),

所以r3=%所以片T

故实数f的取值范围是(一8,ff)

(2)如图所示，建立空间直角坐标系Dryz,

贝0(0,0,0),《0,0,，，C(O,1,O),帽,Oj,G(l,1,9

，尻&T次=&-2'。)，

Z&=(i,o,3),宓=(o,—1,£).

(i)证明：X0=0,：.~EFLCF,gpEFLCF.

(ii)V|^|=

l2+02+1\_近

1函=2厂2，

Acos〈旗CQ=E.CG=区隼

\EF\\CG\坐x乎15

(叫|南=^02+(-l)2+(1)2=^.

[条件探究]若把例3(1)的条件改为“已知”=(5,3,-1),b=(2,t,一I),

。与。的夹角为锐角”，应如何解答？

252

解由已知05=5X2+3f+5=3r+5，

因为a与方的夹角为锐角，所以a山>0,

即3-*0,所以/>—意

若a与方的夹角为0。，则存在2>0,使。=肪(%>0),

即(5,3,-1)=^2,t,一|),

’5=2人

所以<3=%，进而得,二"

[-1=-02,3

故实数,的取值范围是(一f|,凯(1,+8)

拓展提升

求角与距离问题的方法及解题步骤

(1)求空间中两向量夹角的方法

①基向量法：结合图形，选取一组合适的基底，将两向量用基向量表示出来,

然后代入夹角公式求解；②坐标法：在图形中建立空间直角坐标系，然后求出两

向量的坐标，代入向量的夹角坐标公式求解.利用坐标法要注意两点，一是坐标

系的选取，二是夹角的范围〈a,b>G[0,7i],要特别注意向量共线的情况.

(2)求空间中线段的长

①建立恰当的空间直角坐标系；

②求出线段端点的坐标，并求出对应向量的坐标；

③利用向量的模的坐标公式求向量的模，即线段的长.

【跟踪训练3]⑴已知a=(l—r,f),6=(2,t,t),则步一a|的最小值

是()

答案C

解析：b—a=(l+02/-1,0),\b—Q/=(1+。?+(2,-1)2+()2=5*—2，+2

=5H)4

•.(|万一。『)|"皿=亍••|方一a|min=•

(2)在长方体ABCD—AiBiGA中，AB=2,BC=2,DDi=3,则AC与BQ

所成角的余弦值为()

A.0B.需

「_3^70恒

。70u-70

答案A

解析建立如图所示的空间直角坐标系，贝(。|(0,0,3),5(2,2,0),A(2,0,0),

C(0,2,0).

R

所以的=(一2,-2,3),AC=(-2,2,0).

所以cos(的，Ab=BD'AC=0.

IBDillAQ

即所求余弦值为0.

f------------------------1娜渤।-----------------------

1.空间向量的坐标与其起点、终点坐标的关系

向量的坐标即终点坐标减去起点坐标.求点的坐标时，一定要注意向量的起

点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同；不在原点时，向量的坐

标加上起点坐标才是终点坐标.

2.向量平行与垂直问题的三种题型

题型1：空间向量平行与垂直的判断，利用空间向量平行与垂直的条件进行

判断.

题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用，解题时

要注意：①适当引入参数（比如向量。，）平行，可设劝），建立关于参数的方

程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.

题型3：利用向量的坐标处理空间中的平行与垂直：①向量化：即将空间中

的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；②向量关系代数化：即写出向量的坐标;

③求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解.

3.用空间向量的数量积解决夹角问题

空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量的数量积为工具，解决立体

几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角的问题转化为两条直线对应

向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围.

卜随堂达标自测

1.与。=(1,2,3),。=(3,1,2)都垂直的向量为()

A.(1,7,5)B.(1,-7,5)

C.(-1,-7,5)D.(1,-7,-5)

答案C

解析因为(-1,-7,5)-(l,2,3)=-1-14+15=0,

(-1,-7,5).(3,1,2)=-3-7+10=0,所以与向量。=(1,2,3),6=(3,1,2)都垂

直的向量为(-1,-7,5).故选C.

2.已知。=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是()

A.(1,1,1)B.(-2,-3,5)

C.(2,-3,5)D.(-4,6,-2)

答案D

解析若方=(—4,6,-2),则5=—2(2,—3,1)=—2@,所以a〃"故选D.

3.设43,3,1),8(1,0,5),C(0,l,0),则AB的中点M到C的距离|CM］的值为()

返R53强逅

A.4o,222

答案C

解析45的中点“2,1,3),又C(0,l,0),所以西勺(2,3),故M到C

的距离|CM=|晶=弋22+&2+32=华

4.若a=(2,-3,1),8=(2,0,3),c=(0,2,2),则a@+c)的值为______

答案3

解析因为6=(2,0,3),c=(0,2,2),

所以A+c=(2,2,5).

又”=(2,-3,1),

所以0(b+c)=(2,—3,1>(2,2,5)=4—6+5=3.

5.在长方体ABC。一AIBGDI中，已知OA=0C=4,DD}=3,求异面直线

48与8c所成角的余弦值.

解以。为坐标原点，分别以OA,DC,所在直线为x轴、y轴、z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

则4(4,0,3),8(4,4,0),81(4,4,3),C(0,4,0),得协=(0,4,—3),g(—4,0,

-►-►

-3).设硒题的夹角为。，则cose=-4B,&C=卷,

I/GBIIBTCI

一9

所以异面直线A.B与BC所成角的余弦值为不.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.已知A(3,3,3),8(6,6,6),。为原点，则洒与面的夹角是()

7127r

A.0B.7iC，2D.亍

答案B

解析•游商=3X6+3X6+3X6=54,且欣1=3小"应1=6小，:.cos(血

54

OB')=1.7〈洒，OB)G[0,71],，SA,OB)=0,...〈洒，BO)

3小义附

=兀.

2.已知向量@=(0,-1,1),-=(4,1,0),回+加=扬,且4>0,则4=()

A.2B.3C.4D.5

答案B

解析由题意，得说+8=(4/一九A).因为|痴+勿=/，所以4?+(1—2)2

+乃=29,整理得乃一%—6=0.又2>0,所以2=3.

3.已知点A(l,-2,11),8(4,2,3),C(6,-1,4),则AABC的形状是()

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案C

解析..•能=(3,4,-8),范=(5,1,-7),BC=(2,-3,1),

.,.|^1=^32+42+82=^89,|JC]=^52+12+72=VT5,|5C]=^/22+32+1=

V14,

：|而2+1反|2=75+]4=89=।葩2....为直角三角形.

4.已知a=(2,—1,3),6=(-1,4,-2),c=(7,5,A),若a,b,c三向量共

面，则实数力等于()

62卜63「60「65

AA.-B.-C.-D.-

答案D

解析'-a,b,c三向量共面，则存在不全为零的实数x,y,使c=xa+)源,

即(7,5,A)=x(2,—l,3)+y(—1,4,—2)=(2x-y,—x+4y,3x-2y),

^2x~y=l,

所以v—x+4y=5,解得

^3x—2y—X,

5.如图所示的几何体ABCOE中，D4_L平面EAB,CB//DA,EA=AB=DA

=2CB,EALAB,M是EC的中点.则下述结论正确的一项是（）

A.DMLEBB.DM工EC

C.DMYEMD.DM±BA

答案A

解析以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

并设EA=DA=AB=2CB=2,则E(2,0,0),8(0,2,0),C(0,2,l),0(0,0,2),

,1,JDM=\\,1,一I),磅=(-2,2,0),朋=(一2,2,1),EM=\^\,1,

肪=(0,2,0),仅有痂崩=0,从而得。MLE8.故选A.

6.已知O为坐标原点，应=(1,2,3),^=(2,1,2),斤(1,1,2),点。在直线

OP上，那么当府•必取得最小值时，点Q的坐标是()

23131

2--B--

A.33

cJ2

44

z-8X7

--J--

笞D

—3

33JC373

案

解析设OQ=/OP,则/=的一优=如一2。三(1一/1,2-2,3-2A),QB=OB~

OQ=OB—10P=Q—A,1—A,2—2A),所以力・08=(1一%,2—九3—2Z)-(2一九1

T,2—2»=2(3/一82+5)=231一歌一；.所以当2学时，确.施最小,此时施

448X

J

选

3--L做C

337

二、填空题

7.已知向量4=(—1,0,1),>=(1,2,3),MR,若久一万与万垂直，则仁

答案7

解析因为(久一/>)_!_〃，所以(3一〃)•5=0,

所以切包一|肝=0.

所以A:(-IX1+0X2+lX3)-(^/l2+22+32)2=0,

解得％=7.

8.若@=(%2,2)1=(2,—3,5)的夹角为钝角，则实数》的取值范围是

答案(一8,—2)

解析a-Z>=2x—2X3+2X5=2x+4,设a,b的夹角为仇因为。为钝角，

h

所以cos6=厂加<0,又|a|>0,网>0,所以a•力<0,即2x+4<0,所以x<—2,又a,

b不会反向,所以实数元的取值范围是(-8,-2).

9.已知边长为4的正方形ABCD所在平面外一点P与正方形的中心O的连

线PO垂直于平面ABCD,且PO=6,则PO的中点M到△PBC的重心N的距离

为•

答案3

解析建立如图所示的空间直角坐标系，则3(2,2,0),C(-2,2,0),P(0,0,6),

由题意，得M(0,0,3),从0,2),则痂=(0,