高中数学数列复习试题

高中数学数列复习试题

重庆理1

若等差数列｛%｝的前三项和03=9且％=1,则出等于(A)

A.3B.4C.5D.6

安徽文3

等差数列｛%｝的前n项和为S1若的=L%=3,则S4=(B)

A.12B.10C.8D.6

辽宁文5

等差数列｛%｝的前n项和为S,若%=1，%=3,则S4=(B)

A.12B.10C.8D.6

福建文2

等差数列｛%｝的前n项和为若出=1,。3=3,则S4=(B)

A.12B.10C.8D.6

广东理5

已知数列｛4｝的前〃项和S“=〃2—9〃，第后项满足5<%<8,则左=(B)

A.9B.8C.7D.6

在等比数列｛〃“｝(〃wN*)中，若％=1,a=-,则该数列的前10项和为(B)

48

1111

22C2D2

一

一

A.-一B.--?

2422,0

湖北理8

已知两个等差数列｛%｝和｛〃｝的前〃项和分别为A”和耳，且&=乂土竺，则使得&为

瓦〃+3bn

整数的正整数〃的个数是(D)

A.2B.3C.4D.5

已知a,b,c,d成等比数列，且曲线）?=/一2》+3的顶点是3,c）,则ad等于（B）

A.3B.2C.1D.-2

宁夏理4

已知｛a,,｝是等差数列，即）=10,其前10项和%=70,则其公差4=（D）

陕西文5

等差数列｛a“｝的前〃项和为S“，若邑=2,S4=10,则$6等于（C）

A.12B.18C.24D.42

四川文7

等差数列｛斯｝中，«i=l,03+05=14,其前〃项和5"=100,则〃=（B）

A.9B.10C.11D.12

上海文14

1

—,1W/1W1000,

数列｛%｝中,%="2则数列｛凡｝的极限值（B）

—―,“21001,

n2-In

A.等于0B.等于1C.等于0或1D.不存在

陕西理5

各项均为正数的等比数列｛”“｝的前〃项和为S”，若S”=2,S3o=14,则S40等于（C）

A.80B.30C.26D.16

天津理8

设等差数列｛%｝的公差d不为0,%=9d.若4是4与a”的等比中项，则4=（B）

A.2B.4C.6D.8

重庆理14

设｛凡｝为公比q>l的等比数列，若的oo4和"zoos是方程4/8x+3=0的两根，则

02006+。2007=---------------」8

已知数歹IJ的通项6=一5〃+2,贝IJ其前〃项和S“=.一〃⑸;+1)

全国1理15

等比数列｛《｝的前几项和为S"，已知S，2s2,3Ss成等差数列，则｛a,,｝的公比为

,3

宁夏文16

已知｛4｝是等差数列，&+4=6,其前5项和§5=10,则其公差1=.1

江西文14

已知等差数列｛。“｝的前〃项和为S,,,若兀=21,则%+%+%+町=.7

广东文13

已知数列｛《｝的前〃项和S,=〃2—9〃，则其通项a,=；若它的第左项满足

5<%<8,则k=.2n-10;8

北京理10

若数列｛为｝的前〃项和5„=n2-10n(n=1,2,3,••■),则此数列的通项公式为

—;数列｛〃/｝中数值最小的项是第项.2/7-113

浙江理21

已知数列｛叫中的相邻两项勾是关于％的方程--(3%+2，％+3忆2A'=0的两个根,

且a2k-\Wa2k(k=1,2,3,…).

(I)求q,a2,%,%；

(ID求数列｛%｝的前2〃项和$2“；

k

(I)解：方程12—(3k+2")x+3k2"=0的两个根为X=34，x2=2,

当Z=1时，%]=3,々=2，

所以q=2；

当攵=2时，玉=6,X)=4,

所以的=4;

当左=3时，x｝=99x2=8,

所以%=8时；

当女=4时，Xj=12,x9=16,

所以%=12.

(II)解：S?”=%+电"I--*+。2“

=(3+6+・・・+3〃)+(2+22+・.・+2”)

=3/R+3/,+2,,+I-2.

2

19

已知数列｛%｝中的相邻两项%T、%是关于X的方程f-(3A+2«)x+3h2”=0的两个

根，且(k=1,2,3,•••).

(I)求功吗,。5，。7及。2"(〃24)(不必证明)；

(II)求数列｛an｝的前2〃项和S2".

本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力.满分14分.

(I)解：方程》2—(3攵+2出)*+3*2=0的两个根为％=3攵，々=2匚

当左=1时，玉=3,X,=2,所以q=2；

当％=2时，xt-6,x2=4,所以%=4;

当％=3时，%=9,々=8,所以%=8;

当％=4时，玉=12,々=16,所以%=12；

因为n24时，2"〉3"，所以"=2"(〃24)

3/7.2-4-377

2nn+l

(II)S2„=^+«2+---+«2„=(3+6+---+3n)+(2+2+---+2)=——+2-2.

在数列｛6,｝中，％=2,an+l=4an-3n+1,neN*.

(I)证明数列｛a,-〃｝是等比数列；

(II)求数列｛4｝的前"项和S.；

(III)证明不等式S“MW4S“，对任意〃eN*皆成立.

本小题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及

前〃项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.满分12分.

(I)证明：由题设％=4a,-3〃+1,得

%+i—(〃+1)=4(%-〃)，neN*.

又4-1=1,所以数列｛%-〃｝是首项为1,且公比为4的等比数列.

(II)解：由(I)可知a“-〃=4"，于是数列｛4｝的通项公式为

an=4"T+n.

所以数列｛a,｝的前“项和S"=£?+若1.

(Ill)证明：对任意的"wN*,

c4G4n+l-l(n+l)(n+2)(4"一1〃(〃+l)]

-43”=------+-------------4-----+-------

"+i,,32(32)

=--(3n2+n-4)^0.

所以不等式S“+1W4S,，对任意〃eN*皆成立.

上海理20

若有穷数列6吗…%(〃是正整数)，满足4==%•…%=%即4=*+i(，是正整

数,且K〃),就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列出｝是项数为7的对称数列，且仇也也也成等差数列，仇=2e=11，试

写出色｝的每一项

（2）已知｛%｝是项数为2k-1仅21）的对称数列，且或,构成首项为50,公差为

-4的等差数列，数列｛c“｝的前2%-1项和为S21，则当女为何值时，S21取到最大值？

最大值为多少？

（3）对于给定的正整数机>1,试写出所有项数不超过的对称数列,使得1,2,2，.2〃1

成为数列中的连续项；当〃z>1500时，试求其中一个数列的前2008项和$2008

解：（1）设｛勿｝的公差为4,则/=仇+34=2+34=11,解得d=3,

：.数列｛2｝为2,5,8,11,8,5,2.

（2）5,2*_|+，2+…+%+

=。ck+ck+l+••-+c2k_]

2(c«+，+i+…+C21)-q,

S21=^(^-13)2+4X132-50,

当上=13时，$21取得最大值.

S2k_x的最大值为626.

（3）所有可能的“对称数列”是:

①Ion2cm—2、c乙，"一[，</ym-2，•••,/,Z/-),iI；

②1,2,2z,…，2"i,2"i,2"-',2m-2,---,22,2,l;

2m-',2修,…，2?,2,1,2,2?,…，2""2,2"-'

④2m-',2M-2，…，2、，2,1,1,2,2?,…，2"2,2"i

220072008

对于①，当，心2008时，S2QO8=1+2+2+---+2=2-1.

2m22H2009

当1500<m<2007时，S2008=1+2+…+2",-+2'"-'+2-+•■■+2-

_]+2'”一]_22川一20092'"+2'"T_22m_2009_]

对于②，当机22008时,S2008=220°8-1

m+l2m-208

当1500<mW2007时，S2008=2-20-1.

m,n-2008

对于③，当机)2008时，S2m=2-2

陕西文20

已知实数列但〃｝是等比数列淇中由=L且。44+1,牝成等差数列.

(I)求数列｛七｝的通项公式;

(II)数列｛an｝的前〃项和记为Sn，证明：S„,<128(«=1,2,3,…).

解：(I)设等比数列｛”“｝的公比为q(qeR),

33]

由%=ad=1,得a1=c16,从而a4=axq=q~，a5==q~，a6=axcf=q~.

因为〃4,a5+L%成等差数列，所以%+4=2(%+1),

32

即q-+q-'=2(q<+1),q-'(1+1)=2(^-+1).

所以q=g.故=qq"।=q'/।=64(；).

64

()

(II)(=%"=—=128噌“<128.

1—q

山东理17

设数列｛a“｝满足％+3a2+3&+…+3"T%=三，aeN*.

(I)求数列｛%｝的通项；

(II)设打=2,求数列低｝的前〃项和S..

a„

(1)〃]+3出+3~。3+…3"

671++3~%+…3"-。”一]="~(〃-2),

3”“=会—4(〃22).

a,,=!(”22).

验证”=1时也满足上式，a“="(neN*).

(II)bn=n-3",

5„=l-3+2-32+3-33+...n-3"

3S„=l-32+2-33+3-34+...n-3n+l

-2S„=3+32+33+3n-n-3n+,

Q2"+l

-2S,-n-3,,+1,

"1-3

山东文18

设｛%｝是公比大于1的等比数列，S“为数列｛为｝的前"项和.已知§3=7,且

%+3,3/，4+4构成等差数列.

(1)求数列｛%｝的等差数列.

(2)令么=山％用，〃=1，2--,求数列｛2｝的前”项和7.

%++。3=7,

解：⑴由已知得:《(G+3)+(4+4)

3a、»

2-

解得a2=2.

?

设数列｛〃〃｝的公比为心由4=2,可得q=_,a3=2q,

q

2

又$3=7,可知一+2+2q=7,

q

即2/-5q+2=0,

解得d=2,%=；,

由题意得q〉1,・二q=2.

二.％=1.

故数列｛%｝的通项为%=2”L

(2)由于a=ln%“+i，〃=1，2,…,

由⑴得%=23"

.•.勿=In23"=3〃In2

又%也=31n2.

.••｛〃｝是等差数列.

■-Tn=4+H+,••+2

；〃(一+”)

-2

_/i(31n2+31n2)

2

=3«(n+l)ln2

2

故7；=邺罗In2.

全国2文17

设等比数列｛%｝的公比q<l,前〃项和为S”.已知％=2,S4=5S2,求｛4｝的通项公式.

解：由题设知。尸0,S"，!(l二©,

i-q

请=2,

则<生(1-彳4)=5x"］「.②

.i-q"

由②得1—/=5(1—/),(q2—4)(/—1)=0,(q—2)(q+2)(q—l)(q+l)=0,

因为q<1,解得q=-1或q=-2.

当“=-1时，代入①得q=2,通项公式=2x(-l)i；

当q=-2时，代入①得％=L通项公式a"=」x(-2)"T.

22

全国1文21

设｛q｝是等差数列，｛〃,｝是各项都为正数的等比数列，且％=4=1,%+/=21，

a5+b3=13

(I)求｛4,｝,依｝的通项公式；

(II)求数歹的前〃项和s..

1+24+/=21,

解：(I)设｛q｝的公差为d,但｝的公比为q,则依题意有q〉0且

l+4d+/=13,

解得d=2,q=2.

所以4=1+（〃-l）d=2〃-1,

b〃=qZ=2^.

352/1-32n-l公

s,,=1+牙+级+…，①

“2n-32n-l小

25„=2+3+-+-+—+^,②

②一①得S“=2+2+2+，...+3-"1,

“2222"-22"''

cc八111、2«-1

（22?2'-2J2"-'

,2〃+3

=6--

福建文21

数列｛0｝的前〃项和为S“，q=l,am=2S“(”eN*).

(I)求数列｛a“｝的通项a.；

（ID求数列｛〃4｝的前〃项和7；.

本小题考查数列的基本知识，考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和，考查分类

讨论及化归的数学思想方法，以及推理和运算能力.满分12分.

解：（I）va„+1=25„,

S“+i—=2Sn9

・S〃+i

..---------J.

Sn

又：S]=4=1,

•••数列｛S“｝是首项为1,公比为3的等比数列，S“=3"T(”GN*).

当〃22时，a,=2S,I=23”-2(〃22),

Ln=lf

[23"-2,n22.

(II)Tn=ay+2a2+3a3+•••+nan,

当〃=1时，7；=1；

当〃22时，7；=1+43°+63*-+2〃3"-2,........①

37；,=3+43'+632+---+2n3,,_|,...................②

①—②得:-27；,=—2+4+20+3?+…+3”2)一2〃3"、

cc3(1-3n-2)c

=2+2----------2〃

1-3

=—1+(1—2〃)3-

.口=；+（〃-；卜'（〃22）.

又7]=q=1也满足上式，

••・[=；+]〃—£)3'i(〃eN*).

北京理15,文科16

数列｛a“｝中，4=2,a„+,=an+cn(c是常数，〃=1,2,3,…)，且q,a2,%成公比不为1的

等比数列.

（I）求c的值;

(II)求{。“}的通项公式.

解：(I)%=2,a2=2+c,4=2+3c,

因为％,出，的成等比数列，

所以(2+cy=2(2+3c),

解得c=0或c=2.

当c=0时，a]—a2—a3,不符合题意舍去，故c=2.

(II)当〃22时，由于

a2-a{=c,

a3-a2=2c,

a

n-an_{=(n-Y)c,

所以一q=[1+2+…+(〃-l)]c=.

又q=2,c-2,故4=2+〃(〃-1)=〃2—n+2(〃=2,3,・一).

当”=1时，上式也成立，

所以a“-n2—n+2(〃=1,2,…).

安徽理21

某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为田，以后每年

交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此，历年所交纳的储务金数目田，做，…是一个

公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计

算复利.这就是说，如果固定年利率为厂(r>0),那么，在第〃年末，第一年所交纳的储备

金就变为田(1+r)第二年所交纳的储备金就变为。2(l+r)n-2,……，以T"表示

到第〃年末所累计的储备金总额.

(I)写出T”与7”一1("22)的递推关系式；

(II)求证：T,,=An+Bn,其中｛An)是一个等比数列，｛B,,｝是一个等差数列.

本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取

信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.本小题满

分14分.

解：(I)我们有7；=&|(1+r)+与("22).

(II)7,=«,,对〃22反复使用上述关系式，得

T.=3(1+r)+a„=5_2(1+「A+«„-i(1+D+/=…

=q(1+r)"T+与(1++…+4T(1+r)+an,①

在①式两端同乘1+广，得

(1+r)T„=«,(l+r)n+4(1+r)-'+…+a„_,(l+r)2+a„(l+r)②

2

②一①，得rT；=%(1+r)"+J[(l++(1+r)"-+---+(l+r)]-an

nH

=—[(1+r)-1-r]+a,(1+r)-an.

r

即1=华4(]

rrr

如果记A,=^#(l+r)",

rrr

则,=4+纥.

其中｛A｝是以与《（l+「）为首项，以l+«r>0）为公比的等比数列；｛耳,｝是以

一”@一色为首项，一4为公差的等差数列.

广rr

x-1

.不等式：―—4>0的解集为（O

(A)(-2,1)(B)(2,+00)

(C)(-2,1)U(2,+co)(D)(-oo,-2)U(1,+co)

x-y20,

2x+yW2,

2.（北京理科6）若不等式组，、表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（D）

y^o,

x+yWa

444

A.B.0＜。＜1C.＜—D.0＜。＜1或a2—

333

4.(北京理科12)已知集合4={加5一4忘1},8={%,2-5x+420}.若408=0,则实数

a的取侑范围是(2,3).

x-y2-1,

8(天津理科2)设变量x,y满足约束条件+则目标函数z=4x+y的最大值为(B)

3%一y＜3.

A.4B.11C.12D.14

9(天津理科9)设a,b,c均为正数，且2"=log।a,(gJ=log*,(g)=log2c.则(A)

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

17.(福建理科3)已知集合A={xlx<。},B={xl1<x<2},且AU(43)=R,则实数。的取

值范围是(C)

A.a<2B.a<lC.a>2D.a>2

18.(福建理科7)已知/(x)为R上的减函数，则满足〈/⑴的实数x的取值范围是(C)

x

A.(-1,1)B.(0,1)

C.(—1,0)U(0,1)D.(—8,—1)U(1>+oo)

'x+y>2

19.(福建理科13)已知实数x、y满足<x—y«2,则Z=2x-y的取值范围是

0<y<3

29(全国1文科1)设5={#2》+1>0},T={xl3x-5<0},则5口7=

A.0B.{xIx<——}C.{xIx>—}{xI—-<x<—)

36.福建文科7.已知/(x)是R上的减函数，则满足了(3〉/⑴的实数x的取值范围是(D)

x

A.(-oo,l)B.(l,+oo)C.(-oo,0)U(0,l)D.(-oo,0)U(l,+℃)

37.(重庆文科5)“-IVxVl”是“£<1”的(A)

(A)充分必要条件(B)充分但不必要条件

(C)必要但不充分条件(D)既不充分也不必要条件

x+y22,

2、(2007福建)已知实数笛y满足则z=2x-y的取值范围是.

OWyW3,

卜5,7]

x-y2T

3、(2007年天津文)设变量x,y满足约束条件,x+yW4,则目

y22

标函数Z=2x+4y的最大值为()

(A)10(B)12(C)13(D)14

C

X4-V-1<0>

4、(2007全国I)下面给出四个点中，位于《,表示的平

x-y+l>0

图

面区域内的点是()1

A.(0,2)B.(-2,0)C.(0,-2)D.(2,0)

C

x-2y+4>0,

5、(2007陕西)已知实数x、y满足条件-3W0,则z=x+2y的最大值为.

x>0,y>0,

8

2x+3yWO

6、（2007重庆）已知—则z=3x—y的最小值为.

y20.

9

7,（2007四川）某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对

2

项目乙投资的一倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的

3

利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获

得的最大利润为

A.36万元B.31.2万元C.30.4万元D.24万元

B

x-2y+5=0,

8、（2007浙江）z=2x+y中的x,y满足约束条件（3-x20,则z的最小值是.

x+y20,

5

3

9,(2007山东)本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费

用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个

电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何

分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得

yA

x+yW300,