小学奥数资料：任意四边形、梯形与相似模型题库学生版

任意四边形、梯形与相似模型

目1M蚱

板块一任意四边形模型

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：

①S[:邑=邑：邑或者SlxS3=S2xS4@AO:OC=(S1+52):(54+S3)

蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边

形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.

【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形么?切，被对角线划分成四个部分，△

/如面积为1平方千米，△8%面积为2平方千米，勿的面积为3平方千米，公园由陆地面积是

6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形3GC的面

积；⑵AG:GC=?

【例2】四边形项CD的对角线AC与比（交于点0（如图所示）.如果三角形瓶。的面积等于三角形BCD的

面积的工，且49=2,00=3,那么CO的长度是。。的长度的倍.

3

【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于。点，MEF、△OEF、4ODF、△3OE的面积依次是2、

4、4和6.求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积.

［例4］图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的

面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？

【例5】（2008年清华附中入学测试题）如图相邻两个格点间的距离是1,则图中阴影三角形的面积

为.

【巩固】如图，每个小方格的边长都是1,求三角形ABC的面积.

【例6】（2007年人大附中考题）如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG

的面积.

AD

【例7】如图，长方形ABCD中，BE:EC=2:3,DF:FC=1:2,三角形DPG的面积为2平方厘米，求长

方形ASCD的面积.

【例8】如图，已知正方形ABCD的边长为10厘米，E为4）中点，尸为CE中点，G为段'中点，求三角

形血X；的面积.

【例9】如图，在AABC中，已知M、N分别在边AC、3c上，与4V相交于O,若AAOM、AABO和

ABOZV的面积分别是3、2、1,则AMZVC的面积是

【例10]（2009年迎春杯初赛六年级）正六边形A4A&AA的面积是2009平方厘米，用坊用用为线分别

是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米.

板块二梯形模型的应用

梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）:

①S1:邑="：从

②S]：63：邑：§4=/：6。：;

③S的对应份数为（a+6）2.

梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结

论，往往在题目中有事半功倍的效果.（具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明）

【例11]如图，邑=2,邑=4,求梯形的面积.

【巩固】（2006年南京智力数学冬令营）如下图，梯形ABCZ）的AB平行于CD,对角线AC,BD交于O,已

知△AOB与△BOC的面积分别为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形旗CD的面积是

平方厘米.

【例12】梯形ABCD的对角线AC与班＞交于点O,已知梯形上底为2,且三角形ABO的面积等于三角

一?

形50。面积的-，求三角形49。与三角形60。的面积之比.

3

AD

【例13］（第十届华杯赛）如下图，四边形A5co中，对角线AC和89交于。点，已知49=1,并且

三角形ABD的面积=3

那么OC的长是多少？

三角形C3D的面积一M

【例14】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形C®C的面积是90疗，问三角形AOD的面积是多少？

【巩固】如图，梯形ABCD中，AAOB、ACC®的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD的面积.

【例15】如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形AZ）G的面积是11,三角形38

的面积是23,求四边形EGFH的面积.

【巩固】（人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2

的面积为36,则三角形1的面积为.

【例16]如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.

【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，记与5。相交于F点，三角形3。的面积为1平

方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.

【例17]如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E,尸是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积.

【例18】如图，在长方形ABCD中，＞15=6厘米，AD=2厘米，AE=EF=FB,求阴影部分的面积.

【例19】（2008年“奥数网杯”六年级试题）已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3:2,三角形ODE的

面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.

【巩固】右图中MCD是梯形，AB即是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部

分的面积是平方厘米.

【巩固】（2008年三帆中学考题）右图中ABCD是梯形，4处是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单

位：平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.

【例20]如图所示，BD、b将长方形ABCD分成4块，的面积是5平方厘米，ACED的面积是

10平方厘米.问：四边形的面积是多少平方厘米？

【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，AD砂的面积是4平方厘米，ACED的面积是6平

方厘米.问：四边形的面积是多少平方厘米？

【巩固】（98迎春杯初赛）如图，ABCO长方形中，阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB

的长是9.那么四边形OECD的面积是多少？

【例2。（2007年“迎春杯”高年级初赛）如图，长方形A5CD被CE、小分成四块，已知其中3块的

面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形。BC的面积为平方厘米.

【例22】（98迎春杯初赛）如图，长方形中，AC®是直角三角形且面积为54,OD的长是16,03的

长是9.那么四边形OECD的面积是.

【例23]如图，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形,线段AB与CD相交于K点.已知正方形

DEFG的面积48,AK:KB=1:3,则ABQ的面积是多少？

【例24]如图所示，ABCD是梯形，AADE面积是1.8,AAB/的面积是9,ABCF的面积是27.那么阴

影AAEC面积是多少？

【例25]如图，正六边形面积为6,那么阴影部分面积为多少？

【例26]如图，已知。是8C中点，E是CD的中点，尸是AC的中点.三角形由①〜⑥这6部分

组成，其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形的面积是多少平方厘米？

【例27]如图，在一个边长为6的正方形中，放入一个边长为2的正方形，保持与原正方形的边平行，现在

分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那么阴影部分的面

积为.

【例28]如图，在正方形ABCD中，E、尸分别在3C与CD上，且CE=2BE,CF=2DF,连接班'、

DE,相交于点G,过G作MN、得到两个正方形MGQA和P&VG,设正方形MGQ4的面积为

S1,正方形PCM?的面积为S?,贝!)S|：S2=.

【例29]如下图，在梯形ABCD中，9与平行，且CD=2AB,点E、尸分别是AD和的中点,

已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是平方厘米.

【例30】（2006年“迎春杯”高年级组决赛）下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、

H分别是AB,BC,CD,的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简

分数竺，那么，（m+"）的值等于

n

AHDAHD

BFCBFC

板块三相似三角形模型

（一）金字塔模型（二）沙漏模型

ADAEDEAF

AB一就一工一南；

②SAADE：^AABC=AFi:AG~.

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似）,

与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.

【例31]如图，已知在平行四边形ABCZ）中，AB=16,AD=1O,BE=4,那么EC的长度是多少？

【例32]如图，测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为15厘米，AC被分为60等份.如果小玻璃管

口DE正好对着量具上20等份处（DE平行AB）,那么小玻璃管口径DE是多大？

【例33]如图，DE平行8C,若45:03=2:3,那么:=

B

C

【例34]如图，△ABC中，DE,FG,5C互相平行，AD=DF=FB,

贝（1

【巩固】如图，DE平行BC,且AZ）=2,AB=5fAE=4,求AC的长.

【巩固】如图，△ABC中，DE,FG,MN,PQ,互相平行，AD=DF=FM=MP=PB9

贝”-S四边形OEGF-S四边形RGNM:S四边形"NQP:S四边形尸℃8=

A

【例35】已知A4BC中，QE平行BC,若AD:DB=2:3,且S梯诩BCE比Sa的大8.5cm?,求S%c-

【例36]如图：平行3C,S&MPN：SABCP=4：9,AM=4cm,求比0的长度

【巩固】如图，已知Z)E平行3C,BO:EO=3:2,那么AT»:AB=

【例37]如图，AA5c中，AE=-AB,AD=-AC,即与BC平行，AEOD的面积是1平方厘米.那

44

么MED的面积是平方厘米.

【例38]在图中的正方形中，A,B,C分别是所在边的中点，CDO的面积是ABO面积的几倍?

c

【例39]如图，线段AB与垂直，已知"）=£C=4,BD=BE=6,那么图中阴影部分面积是多少？

【例40]（2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）如图，四边形ABCD和EFGH都

是平行四边形，四边形ABCD的面积是16,BG:GC=3:1,则四边形EFG”的面积=.

【例41】已知三角形ABC的面积为a,AF:FC=2:1,E是班＞的中点，且EF〃BC,交CD于G,求

阴影部分的面积.

【例42】已知正方形MCD,过C的直线分别交AB、AD的延长线于点E、F,且AE=10cm,

AF=15cm,求正方形ABCD的边长.

【例43]如图，三角形是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成

正方形零件，使正方形的一边在3c上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长

是多少？

A

【巩固】如图，在△ABC中，有长方形DEFG,G、尸在上，D、E分别在AB、AC上，A”是△ABC

边3c的高，交DE于M,DG:DE=1:2,3c=12厘米，AH=8厘米，求长方形的长和宽.

【例44】图中ABCD是边长为12s的正方形，从G到正方形顶点C、。连成一个三角形，已知这个三

角形在AB上截得的EF长度为4cm,那么三角形GDC的面积是多少？

【例45]如图，将一个边长为2的正方形两边长分别延长1和3,割出图中的阴影部分，求阴影部分的面

积是多少？

【例46]（2008年101中学考题）图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于52平

方厘米，则阴影部分的面积是.

【例47]如图，O是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为3和4,那么阴影部分

的一块直角三角形的面积是多少？

【例48]已知长方形ABCD的面积为70厘米，E是AD的中点，F、G是BC边上的三等分点，求阴影

AEHO的面积是多少厘米？

【例49】是平行四边形，面积为72平方厘米，E、尸分别为4?、的中点，则图中阴影部分

的面积为平方厘米.

【例50]如图，三角形的面积是8平方厘米，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，〃是

的中点，则三角形APD的面积是平方厘米.

【例51]如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、分别交于G、H,OE垂直的）于E,

交AF于O,已知AH=5cm,HF=3cm,求AG.

【例52】右图中正方形的面积为1,E、尸分别为AB、血的中点，GC^FC.求阴影部分的面积.

【例53】梯形ABCD的面积为12,AB=2CD,E为AC的中点，3E的延长线与AD交于P,四边形

CDFE的面积是.

【例54]如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、P分别为各边的中点，那么阴影部分的面

积是平方厘米.

【例55】如图，ABCD是直角梯形，AB=4,AD=5,OE=3,那么梯形ABCD的面积是多少?

【例56】边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放