高中数学阶段质量检测(四)新人教A版必修2

阶段质量检测（四）

（A卷学业水平达标）

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（共10小题，每小题6分，共60分）

1.直线I：y=kx+1]

22

1与圆GX

+y

=1的位置关系为（）

A.相交或相切B.相交或相离

C.相切D.相交

答案：D

2.已知圆xZ+J+Dx+EynO的圆心在直线x+y=1上，则D与E的关系是（）

A.D+E=2B.D+E=1

C.D+E=-1D.D4-E=-2

答案：D

222

3.若圆Gx+y—2（m-1）x+2（m-1）y+2m-6rr+4=0过坐标原点，则实数m的值

为（）

A2或1B.-2或一1

C.2D.1

答案：C

4.产正方体ABCD-ABCD的棱AB,牛，AA,/在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，

且正方标棱长为/个单位长度，则棱CC中点至标以（）

A.

2I)

1,B.1,,1

111

D.

222

C.1,1,，，1

答案：c

2222

5.圆Q：x+y—2x=0和圆CI：x+y—4y=0的位置关系是（)

A.相离B.相交

C.外切D.内切

答支B

6.4工代一1,4）作圆（x—2）2+（y-3）2=1的切线，则切线长为（）

A.5B.3

C.10D.5

答案：B

7.直线也x-y+m=O与圆x2+y2-2x-2=0相切，则实数m等于()

A.4或-血B.-4~3或/3

D.-3心或3.

C.一34或43

答案：C

8.圆心在x轴上，半径长为电，且过点(一2,1)的圆的方程为()

22

A.(x+1)+y=2

z+(y+2)z=2

B.x

22

C.(x+3)+y=2

2222

D.(x+1)+丫=2或(*+3)+y=2

答案：D

9.设P是圆(x—3)2+(y+i「=4上的动点，Q是直线*=-3上的动点，则|PQ|的最

值为(

答案：BV

10•若直线(y=2被圆(x—a)所截得的弦长为22,则实数a的值为()

A—1或3B.1或3

C.-2或6D.0或4

答案：D

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

11.在如图所示的长方体ABCD-ABCD刑已知A(a,0,c),C(0,b,0),则点B的坐

答案：(a^b,c)

22

12.(北京高考)直线y=x被圆x+(y-2)=4截得的弦长为.

答案：22

13.设点A为圆(X—z+(y—2)2=1上一动点，则A到直线x—y—5=°的最大距离

2

14.已知M-2,0）,N（2,0）,则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是

答案：/+产=4（*片士2）

三、解答题（共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分10分）设圆上的点72,3）关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上，且

圆与直线x—y+1=0相交的弦长为2〃，求圆的方程.

解：设所求圆的方程为（x—a）2+（y_b）2=r：

则圆心为（a,b）,半径长为r.

•.・点72,3）关于直线x+2y=0的对称点A”仍在这个圆上,

圆心(a,b)在直线x+2y=0上.

2b=0,①

解由方程①②③组成的方程组，得'或'

b=—3,b=—7,

「2=52「？=244.

.,.所求圆的方程为（X—6）2+（y+3「=52或（X_14/+（y+7/=244.

16.（本小题满分12分）正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,并且平面ABCD,平

面ABEF,点M在AC上移动，点N在BF上移动.若|CM|=|BN|=a(0<a<2).

（1）求MN的长度;

（2）当a为何值时，MN的长度最短.

解：因为平面ABCD一平面ABEF,且交线为AB,BE±AB,所以BEJ_平面ABCD,所以BA,

BC,BE两两垂直.取B为坐标原点,BA,BE；BC所在直线分别为x轴、y轴和z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系.

因为|BC|=1,|CM|=a,点M在坐标平面xBz上且在正方形ABCD的对角线AC上,

3

更

0,1-a

因为点N在坐标平面xBy上且在正方形ABEF的对角线BF上，|BN|=a,所以点

2

（满足0<a<2）时,

2

，当a=

2122

A—2

2+取得最小值,即MN的长度最短,最短为.

222

17.(本小题满分12分)一座圆拱与水面知口图:位置时,拱顶离水面2米，水

面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？

解：以圆拱顶点为原点,y轴，建立如图所示的平面直角坐

标系.

设圆心为C水面所在弦的端点为AB,则由己知可得凡6,-2),

f—,一2+(y+r)2=「2.将点A的坐标代入

V设圆的半径长为r,则qo,-r),叩圆的方程为x上

22

述方程可得r=10,所以圆的方程为x+(y+10)=100.

22

当水面下降1米后，可设A'(x。，-3)(x0>0),代入x+(y+10)=100,解得2x0=

251,即当水面下降1米后，水面宽251米.

18.(本小题满分12分)已知圆M的方程为x+(y-2)2=1,直线I的方程卤x-2y=0,

点P在直线I上，过P点作圆M的切线PA,PB,切点为AB.

(1)若NAPB=6(T,试求点P的坐标；_

(2)若点P的坐标为(2,1),过P作直线与圆M交于CD两点，当CD=2时，求直线

CD的方程.

24

解：(1)设P(2mn),由题可知MP=2,所以(2rr)+(m-2)5

=4,解得m=0或m=

4

4

故所求点P的坐标为R0,0)或

P

(2)由题意易知k存在，设直线CD的方程为y-1=k(x-2),由题知圆心M到直线CD

1

的距离为

,所以2,解得k=-1或k=-7

22

1+k,故所求直线CD的方程为：x

+y-3=0或x+7y—9=0.

22

19.(本小题满分12分)已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x+y—2x

-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB

解：P在直线》x+4y+8=0上，如图所示,

一i

3

设Px,—2—x,

4

C点坐标为(1,1),

S四或彩PACB=2SPAC=|AP|-IAC|=|AP|,

•IApl2=lPC|2-|AC|2=|PC|2-1,

・••当|PC|最小时，|AP|最小，山边形PACB的面积最小.

2

••rpci=(1_x)V1+332

4

x

25552+9,

2+4

xx+10=x+1

162

2

/.IPCImin=3.当IPCI最小时，IPA|=3—1=22,

...四边形PACB面积的最小值为22.

2

20.(本小题满分12分)已知方程x+y—2x-4y+m=0.

(1)若此方程表示圆，求m的取值范围;

(2)若(1)中圆与直线x+2y—4=0相交于MN两点，且OM±ON(O为坐标原点)，求m

的值;

(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程.

22

解：(1)/X+y-2x-4y+m=0,

D=—2,E=-4,F=m

22

由D+E-4F=20-4m>0,

可得nr5.故m的取值范围为(-8,5).

x+2y—4=0,

(2)联立方程组

x+y-2x—4y+m=0,

2

消去x彳导5y-16y+8+m=0.

设Mxi,yO，NX2,y2),

5

16

KTm

/.yi+y2=，yiy2=.

55

\OM±ON,

/.X1X2+yiy2=0,

・・.5y*—8(yi+y2)+16=0.

8

5

(3)设图将为-(a,

X1+X24y+y28

a=

25

25

|MN|14-5

半径r=

25

48216

二圆的方程为

X—555

2

+y-

6

(B卷能力素养提升)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(共10小题，每小题6分，共60分)

221

1.由方程x+y+x+(m-1)y+2

2

m=0所确定的圆中，最大面积是(

3

A.27rB.4TT

C.3itD.不存在

解析：选B将方程化为标准方程为m—2n+2

4

二半径2M2#一短:3.

要使圆的面积最大，应使半径最大，当m-1时，小="

，，最大面积为itr2

max一

2

471.

2.已知圆C经过A(5,2),取一1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是()

22

A(x-2)+y=13B.(x+2),+y2=17

/Id\2222________________

c.(x+1)+y=40D.(x-1)+心203

2222

解析：选D设圆心智j；勺pa,。)，则/€=等即a-+2=a++4

解得a=1,所以半径r=+2+42=20=25,所以圆C的方程是(x-1)2+y2=

20.

3.设两圆C,G都和两坐标轴相切，且都过乂’(4,1),则两圆心的距离|CG|=()

A.4B.4^2

C.8D.82

解析：选C依题意，可设与两坐标轴相切的圆的圆心坐标为(a,a),半径长为r,其

7

,]、222222

中r=a>0,因此圆的方程是(x-a)+(y_a)=a,由圆过点(4,1)得(4—a)+(1-a)=a

即a-10a+17=0,则该方程的两根分别是圆心C,G的横坐标，|GG|=2x10-4x17

=8,故选C.

2+yz=2的位置关系一定是（）

4.对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x

A.相离

B.相切

C.相交但直线不过圆心

D.相交且直线过圆心-==/

解析：选C圆心qo,O）到直线kx—y+1=0的距离为d=<2,.,.直线与圆相

2

k+1

交，且圆心C（0,0）不在该直线上.

22

5.与直线2x—y+1=0平行且与圆x+y=5相切的直线的方程是（）

A.2x—y+5=0

B.2x-y-5=0

C.2x+y+5=0或2x+y—5=0_

D.2*-丫+5=0或2*-丫-5=0J

/iq

解析：选D设所求的直线方程为2x—y+C=0,则圆心（0,0）到该直线的距离d=

5

5,得O±5..•.所求直线的方程为2x-y+5=0.

22

6.过点R4,2）作圆x+y=4的两条切线，切点分别为A、B,O为坐标原点，则4OAB

的外接圆方程是（）

A.（X—2）-5

22

B.（x-4）+（y_2）=20

C.（x+2）z+（y+1）2=5

c,,八22VVV

D.（x+4）+（y+2）=20

22

解析：选A由圆x+y=4,得到圆心O坐标为（0,0）,.,.△OAB的外接圆为四边形OAPB

的外接圆，又P（4,2），，外接圆的直径为|OP|=4+2=25,半径为5外接圆的圆心为

线段OP的中点是（2,1）,所以△OAB的外接圆方程是（X-?+（1/=5

2）y

7.把圆x2+y2+2x—4y—a2—2=0的半径减小一个单位则正好与直线3x-4y：产厅目

切，则实数a的值为（）

A.-3B.3

C.-3或3D.以上都不对

解析：选C圆的方程可变为（x+1）2+（y_2）2=a?+7,圆心为（一1,2）,半径为a+7,

8

I-1x3-4x2-4|

由题意得L

=a+7-1,解得a=±3.

+4

8.已知圆C与直线x—y=O及x-y—4=0都相切，圆心在直线x+y=O上，则圆C

的方程为（）

A.(x+1)2+(y-1)2=2

22

B.(x-1)+(y+〔)=2

C.(X—1)=2

D.(x+1)2+(y+1)2=2

解析：选B因为圆心在直线x+y=0上，所以设圆，d标为（4「-a）（此时排除C、D）,

Ia+a|Ia+a-4|

x—y=O及x—y—4=0都相切，所以=，解得a=1,r=

22

I1a+al222

2=2,所以圆C的方程为(x—+(y+1)=2.

9.史I7一2,0）,B（0,2），点M是圆力F2x=0上的动点,则点M到直线AB的最

大距离是（）

由3

A.2

-1B.

32

2

+1D.22

解析：选C可知圆的圆心坐标平（1,0）M径为1,直线AB：y

=1,即x—y+2

22

|1-0+2|33

=0,则圆心到直线的距离为d=2..,.点M到直线AB的最大距离是d+r?2

22

+1.

2+y2-6x-6y+12J^0,贝Uy

X

10.实数X,y满足x

的最大值为（

32B.3+22

C.2+2D.6

22

解析：选B仲x,yx+y-6x-6：12=0,所以点(x,y)在以(3,3)为圆心,

y

6为半径的圆上,则；

为圆上的点与原点连线的直线的斜率,设过原点的直线方程为y=kx,

|3k-3|y

则直线与圆灯切时6,解得k=3士22,所以

2+1X

k的最大值为3+22,选B.

二、填空题（共4小题,每小题5分，共20分）

11.空间直角坐标系中,点7—2,1,3）关于X轴的对称点为点B,又已知Qx,0,-2）,

且|BC|=32,则x的值为

9

解析：易知B(-2,-1,-3),|BC|=x+22+1+1=3>/2,解得x=2或一6.

答案：2或一6

12.(山东高考)圆心在直线x-2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所

得弦的长为2小,则圆C的标准方程为.

解析：依题意，设圆心的坐标为(2b,b)(其中b>0),则圆C的半径为2b,圆心到x

轴的距离为b,所以2\/77二1=2由，b>0,解得b=1,故所求圆C的标准方程为(x-

2)

2

+(y-i)=4.

答案：(x-2)2+(y_i「=4

13已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y—3=0交于P,Q两点，且OP1OQ(。为

坐标原点),则圆的方程为.

法

设R

.一

.X1,

+y2+x—6y+m=0,2

—X得5x+10x+4m-27=0,

x+2y—3=0,

4m-27

所以Xi+x2=-2,XiX2=

5

111,、,人rrH-12

又y[y2=(-Xl4-3)x(—X2+3)=[XIX2—3(XI+X2)+9]=

2，

245

5rrr-15

因为OPOQ,所以OP—>•OQ—>=XiXz+=0,解得rn=3,

VZz=5

22则所求圆的方程

为x+y+x-6y+3=0.

法二：据题意设以PQ为直径的圆的方程为,x+y+x—6y+nrbA(x+2y—3)=0,

即；+/+(1+入)x+(2%—6)y+m-3；L=0.

因为OP_1OQ,所以点qo,O)在以PQ为直径的圆上，贝ijm-3A=0,①

1+入1+入

设圆心为C,则其坐标为一，3—A,由点一，3—A在直线x+2y—3=

22

zIIA22

得-2+2(3-A)-3=0,解得Z=1,由①得m=3,则所求圆的方程为x+y+x

-6y+3=0.

答案：x+y+x-6y+3=0

22

14.已知点P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆x+y—2x-2y+1=0的两

条切线，AB是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为.

解析：可知Q1,1),半径r=1,S«„PACB=2SPAC,则要使四边形PACB的面积最小，

只

需使Rt^PAC的面积最小，观察RtAPAC,直角边AC=r=1,所以要使aPAC的面积最小,

10

|3x1+4x1+8|

只需斜边PC最短，而当PC垂直于直线3x+4y+8=0时，PC最短，为一1—2=3,

3+4

、，~2j工CC

甥JPA|=-|AC|=22.所以四边形PACB面积的最小值为2

PC|\l_2xx22x1=22.

答案：22

三、解答题（共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分10分）有一圆与直线I：4x—3y+6=0相切于点汽3,6）,且经过点

R5,2）,求此圆的方程.

解：法一：由题意可设所求圆的方程为：（x—3）?+（y一6）2+入（4x—3y+6）=0,又因

22

为此圆过点（5,2）,将坐标（5,2）代入圆的方程求得A=-1,所以所求圆的方程为x+y

10x-9y+39=0.

法二：设圆的标准方程，寻找三个方程构成方程组求解.

设圆的方程为（x-a）2_22则圆心为

+（yb）=r（Qa,b),

9~~

2

25

4

b

4

3

——1,

所#圆的方程为（x—5尸+y_22=：,

\-.，

法三：设出的一般方程求解.

设嬴赢•为x+y2+Dx+Ey+F=0,圆心为C

由CAJ_I,73,6)、B(5,2)在圆上,

32+62+3[>F6&-F=0,

22

5+2+512E+F=0,D=-10,

E

得解得E=-9,

_-64

2F=39.

rX3

-D=-1,

2-3*5

所以所求圆的方程为x2+y2T°x-9y+39=0.

16.（本小题满分12分）已知圆G（x-3）+(y—4)=4,

（1）若直线i,过定点Ni,o）,且与圆c相切，求i,的方程；

（2）若圆D的半径为3,圆心在直线Iz：x+y-2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程.

解：（1）①若直线I，的斜率不存在，即直线是x=1,符合题意.

11

②若直线I,斜率存在，设直线I,为y=k(x-1),

即kx—y—k=0.

|3k—4一k|

由题意知，圆心(3,4)到已知直线L的距离等于半径2,即1'^--=2,解之得k=

72+1

k

3

4

所求直线方程是x=1,3x—4y—3=0.

(2)依题意设D(a,2-a),

又已知圆C的圆心0(3,4),r=2,

由两圆外,，可用CD一1~

2

厂.可知a—之+=5,

解得a=3,或a=-2,

/.0(3,-1)或。-2,4),

.,.所求圆的方程为(X-3)?+(y+i)2=9或(x+2)2+(y—4「=9.

17.(本小题满分12分)已知△ABC三个顶点坐标分别为：71,0),B(1,4),0(3,2)

直线I经过点(0,4).

(1)求4ABC外接圆0M的方程；

(2)若直线I与0M相切，求直线I的方程：j

(3)若直线I与0M相交于AB两点，且AB=23,求直线I的方程.

2+y2+Dx+Ey+F=

0,解：⑴:一：设。M的方程为x

14-D4-F=O,kD=-2,

17+CH~4E+F=0,E=-4,

则由题意得解得

13+3CH~2E+F=0,F=1

「.(DM的方程为x+y—2x—4y+1=0,或(x—1)+(y—2)=4.

法二：•・•71,0),B(1,4)的横坐标相同，故可设Mm,2),

由MA=MC得(m-+4=(m-3),解得rn=1,

1)_________22F

的方程小(x—1)-|-(y—2)=4,或x+y_2x_4y+1=0.

(2)当直线I与x轴垂直时，显然不合题意，因而直线I的斜率存在，设I：y=kx+4,

|k-2+4|4

由题意知

2+13

k=2,解得k=0或k=

故直线I的方程为y=4或4x—3y+12=0.

12

(3)当直线I与x轴垂直时，I方程为x=0,它截。M得弦长恰为3/3；

当直线I的斜率存在时，设I：y=kx+4,

।k+2|

圆心到直线y=kx+4的距离为1,由勾股定理得=4,解得k

2+1

k

3

4

故直线I的方程为x=0或3x+4y—16=0.

22

18.(本小题满分12分)已知直线I与圆C：x+y+2x—4y+a=0相交于AB两点,

弦AB的中点为M0.1)，

(1)求实数a的取值范围以及直线I的方程;、「

(2)若圆C上存在四个点到直线I的距离为2,求实数a的蜩范围;

(3)已知NO，-3),若圆C上存在两个不同的点P,使PM=3PN,求实数a的取值范

围.

/■展(1)圆Q(x+1)2+(y-2)2=5-a,Q-1,2),r=5-a(a<5),据题意：CM=

2

<5—a?a<3,即实数a的取值范围为(-8,3).

因为CMAB?kcM,KAB=—1>kcM=―1?kAB=1,

所以直线I的方程为X-0.

(2)与直线I平行且距离为：x-y+3=0过圆心，有两个交点,

12：x—y—1=0与圆相交，？22V5-a?a