高中数学-复数的乘除运算教学设计学情分析教材分析课后反思

722复数的乘、除运算教学设计

一、内容及内容解析

1、内容

复数的乘、除运算

2、内容解析

引入一类代数对象，就要研究它的运算。上一节课，研究了复数的加减法法则，

本节主要讨论复数的乘法运算，并从它的逆运算的角度，给出复数除法的运算法

则。复数的乘法法则，教材中是直接规定的，由于复数的乘法法则的形式较为复

杂，不需要记忆，只需类比多项式的乘法，将复数的乘法按多项式的乘法进行,

只要在所得结果中把尸换成-1,并且把实部和虚部分别合并即可。在复数的乘法

法则之下，复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法满足分配律。共貌复数

的概念比较简单，旁白提出的问题，其实是是共辗复数的一个重要性质。这个性

质也为学习复数的除法作了准备。类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的

除法是乘法的逆运算。而可探求复数的除法法则。但复数的除法法则形式太复杂,

在实际进行复数的除法运算时，类比根式的除法得到简便的计算方法，即先把两

个复数相除写成分数形式，再把分子分母都乘分母的共粗复数，使分母实数化,

最后再作化简。

二、教学目标

1、掌握复数代数形式的乘法、除法的运算法则

2、理解复数乘法的运算律

3、理解共枕复数的概念

三、教学重难点

重点：复数乘鼻、除法的运算法则、乘法运算律

难点：复数除法的运算法则

三、数学素养：

逻辑推理、数学运算、直观想象

四、教学过程

(一)复习回顾

1、复数加法的运算法则

(a+6)+(c+或)=

2、复数减法的运算法则

(a+Z?z)-(c+di)=

【师生活动】教师提问学生，然后教师总结复数的加减运算法则。

【设计意图】让学生自然而然，由复数的加减运算，类比实数的四则运算，想到

复数的乘、除运算。

(-)引入新课

师：课件展示，提出疑问，进而引入课题

(。+法)(0+公尸？

（4+Z?X）+（C+公）=?

(三)探究复数的乘法法则

师：我们首先回顾多项式的乘法，设a,bcd,xeR,则(a+bx)(c+〃x)如何展开?

(a+bx)(c+dx)=__________________

类比多项式的乘法，你能把两个复数相乘展开吗？

(a+bi)(c+di)=____________________

生：回答以上两个问题

师：我们只需在上述展开式中把尸换成-1,并且把实部和虚部分别合并即可。引

出这就是教材中规定的复数的乘法法则。

师：两个复数相乘的结果是一个确定的复数。可以看出，两个复数相乘，类似两

个多项式相乘，只要在所得结果中把/换成-1,并且把实部和虚部分别合并即可。

师：请同学们利用复数的乘法法则，完成例1.

例1、计算

(1)(3+4z)(l-2z)

(2)(l-2z)(3+4z)

(3)(-2+7)(12)(3+47)

(4)(l-2z)(l+z)+(l-2z)(l-0

生：在学案中写出完整的过程。

师：提问学生计算结果。

(四)探究复数乘法的运算律

师：继续追问，根据例1(1)(2)两个小题的结果相同，你发现了什么？

生：思考并回答

师：装其实是看个具体的复数相乘满足复数乘法的交换律。其实对任意两个复数

相乘都满足交换律。你能给出证明吗？可以说一下自己的证明思路吗？

生：思考并回答

师：类似地，我们依然可以证明复数乘法满足结合律，乘法对加法的分配律。利

用乘法的分配律，可以简化复数的乘法运算。

生：学案中写出复数乘法的运算律

对任意的复数Z”Z2，Z3GC,有

Z]Z2=；（Z1Z2）Z3=；Z^Z2+Z3）=

师：在例1(4)中，如果用运算律，如何计算？

生：学生举手并起立回答

【设计意图】

首先让学生回顾多项式的乘法，然后类比多项式的乘法，写出两个复数相乘的展

开形式。让学生通过已经熟悉的知识，学习新内容。通过例1的设计，既让学生

熟悉乘法法则，又为引出复数的乘法运算律做铺垫。让学生体会从一般到特殊的

数学思想方法。

师：彖费完成例2,看谁算得又快又准计算

例2、(3+4z)(3-4z)(2)(1+z)2

生：两个学生黑板板演，其余学生在学案上完成

师：除了黑板上同学展示的思路，还有用其他思路的同学吗？

生：起立回答，(1)用平方差公式计算；(2)用完全平方和公式计算

师：对学生提出表扬，并总结：实数系中的乘法法则在复数系中依然成立。

【设计意图】

通过此例题，一是让学生体会实数系中的乘法法则在复数系中依然成立。二是引

出共轨复数的概念。

(五)共趣复数的概念

师：例2(1)中的两个复数有什么特征？

生：齐答

师：课件展示，给出共辗复数的概念

生：完成学案中内容的填写

一般地，当两个复数的实部，虚部时，这两个复数叫做互

为共辄复数.通常记复数z的共腕复数为.若z=a+bi(a,beR)，则2

师：根据共加复数的概念，提问基础较弱的同学回答问题1

问题1：口答下列复数的共飘复数

(1)6-2Z(2)5+7z(3)3Z(4)8

师：课件展示第二个问题：

问题2；若z=a+4R),则zz=.

BP(a+hi)(a-bi)=.

生：思考并举手回答

师：总结：两个共辗复数的积是一个实数，这个实数等于复数的实部与虚部的平

方和。

【设计意图】

为复数的除法作准备。

(六)探究复数的除法法则

师：课件展示，复数的除法是乘法的逆运算，给出复数除法的定义。

类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算。

即把满足(c+di)(x+yi)-a+bi,(a,b,c,d,x,yeR且c+diH0)的复数x+yi,

叫做复数a+6除以复数c+di的商，记作(a+次)+(c+di).

师：请同学们根据以上内容探究复数除法的法则。要求先自己思考，然后小组内

讨论交流。

生：自己思考，组内展开讨论

师：哪个小组上台展示自己小组内的讨论成果？

生1：积极展台展示，并给同学们讲解思路

师：还有不同的想法吗？引导学生类比初中所学根式除法，将分母有理化的思路,

此处只需将分母实数化即可。

生2：继续展台展示并讲解

师：对同学们的展示给于鼓励和赞赏，课件展示规范的复数除法法则和平时计算

复数除法的简便方法。引导学生类比初中所学根式除法，将分母有理化的思路,

此处只需将分母实数化即可。

师：课件展示例3的规范做法。

例3：(l+2z)-(3-4z)

生：把步骤规范写到学案中。

师：奇数组同学完成练习题中的(1)(3),偶数组同学完成练习题中的(2)(4)。

并找两位学生黑板班演。

练习：

⑴叱⑵1⑶21L(4)(.1+汉2+力

1-1i3+4Z-i

师：请同学们深入思考例4

例4、在复数范围内解方程：/+2=0

师：哪位同学有思路，请起立回答

生1：先把设出来，再利用复数的相等，求出来

生2：先移项，再把-1换成，然后很容易得出

师：对学生的做法予以肯定和赞赏。课件展示本题的思路。并总结按照这中方法

我们可以把判别式小于零的任意的一元二次方程，化为这种形式，进而求出方程

的复数根。

(七)课堂检测

1、计算

(1)(4-30(-5-40⑵总I

2、若z=1-2i,则！=___________

z-

3、在复数集中解方程：4f+9=0

【设计意图】

巩固本节所学基本知识.

（八）课堂小结

师：本节课你的收获是什么？

生1：起立回答

生2：适当补充

师：总结提升

知识方面：

1、一个概念：共辗复数

2、两种法则：乘法法则和除法法则

3、三种运算律：交换律、结合律、乘法对加法的分配律

数学思想：

类比、转化

数学素养：

数学运算、逻辑推理、直观想象

五、布置作业

必做题：课本80页3,4,6题

【设计意图】

巩固本节所学基本知识.

探究题：

1、在复数范围内解方程：

ax2+版+。=0,其中4,。,067?且。工0,4=〃-4ac<Q.

2、证明复数乘法的运算律

【设计意图】

提升同学们的逻辑推理、数学运算、转化化归的数学素养.

学情分析

授课班级是高一理生地组合的学生，学生的数学基础相对比较好一些。

学生已经学习了数系的扩充、复数的概念，复数的几何意义、复数的加、减运算及其

几何意义。类比初中学习的实数的四则运算，学生很容易想到复数也有乘、除运算。课前有

一节自习已让学生预习了课本上的有关内容。

对于复数的乘法法则，学生也很容易类比多项式的乘法得出。可能存在困难的地方就

是，类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的除法是乘法的逆运算，探究出复数的除法

法则。

效果分析

本节课的教学过程面向全体学生，引导学生自主探究学习，培养了学生运用知识分析

和解决问题的能力，重视学生讨论合作、探究性学习习惯的养成，重视学生对数学思想方法

的总结，善于引导学生用类比的思想方法用已会的知识探索未知的东西，对学生后续内容的

学习有一定帮助。

通过课后评测练习的批改，学生对乘、除运算掌握情况还是很好的。大部分同学做题速

度较快，都能够做全对。只有一小部分同学出现了计算错误，但方法已经掌握。总体上说效

果不错。

教材分析

1、教材地位：

本节课是新课程人数A版第七章第二节第二课时。它是在学生学习了复数的概念、

复数的加减运算及其儿何意义的基础上进一步研究学习的，也为后面的复数的三角表示

做好了铺垫。

2、教材作用

引入一类代数对象……复数，就要研究它的运算。教材首先给出了复数的乘法法则，

然后从逆运算的角度给出复数的除法法则。侧重提升学生的数学运算、直观想象素养。

复数的乘、除运算评测练习

1、（l+i）（2—i）等于（）

A.—3—iB.—3+iC.3—iD.3+i

2、i（2+3i）等于（）

A.3-2iB.3+2iC.~3~2iD.-3+2i

4343

A-B--5+?

4、若z(l+i)=2i,则z等于()

A.-1—iB.—1+iC.1—iD.1+i

5、已知z（l+i）=-l+7i（i是虚数单位），z的共轨复数为z,则|z|等于（）

ASB.3+4iC.5D.7

6、已知aWR,i是虚数单位，若z=45+ai,z-z—4,则。为（）

A.1或一1B.1

C.-1D.不存在的实数

5-3i

7、若1_1_。.=川+对,其中机，〃£R,则能一〃等于（）

[十21

-14cl2c12r14

A.-^-B.与C.-yD.一石-

8、已知复数z=2+i,则z•，等于（）

A.小B.小C.3D.5

1-i

9.设z=^+2i,则|z|等于（）

A.0B.1C.1D.也

10.已知复数2=亡，则z+乎在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

11.己知复数2=鲁，i为虚数单位，则|z|2=.

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