高中数学必修一《方程的根与函数的零点》教学设计

第三章函数的应用

本章教材分析

函数的应用是学习函数的一个重要方面.学生学习函数

的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题.

通过函数的应用,对完善函数的思想，激发应用数学的意识，

培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有

很大的帮助.

本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习

作业和小结.在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二

次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函

数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程

的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严

谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学

生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.

在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会

生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和

提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴

趣.“数学建模”也是高考考查的重点.

本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用

到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”，从而

提高自己的数学能力.

因此应从三个方面把握本章：（1）知识间的联系；（2）数学思

想方法；（3）认知规律.

3.1.1方程的根与函数的零

八卢、、

整体设计

教学分析

函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内

容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与

其对应的二次函数的图象与X轴的交点的横坐标之间的关系

作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现

新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由

特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现

的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充

分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个

方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.

另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产

物.

三维目标

1.通过一元二次三个方程根的情况让学生明确“方程

的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性

质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的

零X占八、、•

2.通过一元二次三个方程有一个，二个，没有根的情况

下，学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后

学习中利用这一规律探索更多的未知世界.

3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，

还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方

法”的科学性，体会这些给他们带来的快乐.

重点难点

根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的

根的个数;函数零点的概念.

教学课程实录

教学过程

第2课时方程的根与函数的零点

导入新课（（复习导入）

师：上节课，我们学习了方程的根与函数的零点，下面我们

看方程与函数的关系：

师：三个函数的零点是什么？y=x2—2x—3,y=x2—

2x+l,y=x2—2x+3（投影）

知识探究：函数的零点

求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像

的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标.

方程x2—2x—3=0X2—2x+l=0X2—2x+3=0

y=x2—2x+ly=x2—2x+3

函

数

的

图

象

方程的实数根x）=—1,X2=3X1=X2=1无实数根

函数的图象无交点

与X轴的交点

活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点

拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示

引导考虑问题的思路：

师:求函数的零点,先求什么，或是要转化什么？

生:先把函数转化为方程？

师：问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点，画出二

次函数的图象（图3-1-1-2）.

问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上（图

3-.

问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛

物线的顶点是画二次函数图象的关键（图3-1-1-4）.

问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实

数.

问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？

问题⑥:函数的零点是一个实数.

问题⑦:可以利用“转化思想”.

师生讨论结果是①方程的两个实数根为-1,3.②方程的

实数根为1.

③方程没有实数根.④方程的根就是函数

的图象与x轴交点的横坐标.

师：思考：（投影）

思考：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一

元二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关

系，上述结论是否仍然成立？

师：函数图象穿过X轴则有零点，怎样用数学语言描

述呢？

生：一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与X轴

交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.

当△>()时，一元二次方程有两个不等的实根xi、X2,相应的

二次函数的图象与X轴有两个交点(X1,0)、(X2,0);b.当A=o

时，一元二次方程有两个相等的实根XLX2,相应的二次函数

的图象与x轴有唯一的交点3,0);c.当△<()时，一元二次

方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.

师：我们总结出：

⑥一般地,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫

做函数y=f(x)的零点.

⑦方程f(x)=0有实根。函数y=f(x)的图象与x轴有交点。

函数y=f(x)有零点.

(投影)

Q函数的零点定义：

对于函数y=f(x),使f(x)=O的实数x叫做函数

y=f(x)的零点。

。等价关系方程f(x)=()有实数根

Q函数yf空的图象与x轴有交人

Q函数y=f(x)有零点

。零点的求法

代数法图像法

师：思考：(投影)

思学［:求函数岑点的步骤是什么？

提示,

求下歹U函数的苓点

C1)外出=d—5x+6

〈2)，3=2"—1o

［一点通］函数零点的求法

⑴代数法：求方程f(x)=O的实数根;

⑵几何法:对于不能用求根公式求根的方程f(X)

=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，

图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.

题组训练

师：我们看下面的练习：

1.若f(x)=ax—b(bWO)有一个零点3,则函数g(x)

=by+3ax的零点是

师：函数f(x)=ax—b(bWO)有一个零点是什么意

思？这里是a是3还是b

是3?还是x是3?

生：x是3,

师：如何解决这道题？

生：把x是3代入方程ax—b=0,求出a与b关系，

再代入方程bd+3ax=0就可以了

师：我们看解析：:f(x)=ax—b的零点是3,

.\f(3)=0,即3a—b=0,也就是b=3a.再用b=3a

代入刚可

g(x)=b「+3ax=b%2+bx=bx(x+1).g(x)的零

点为一1,0.

答案：一i,o

师：我们看第二题，这道题又如何？

2.若f(x)=x+b的零点在区间(0,1)内，则b

的取值范围为

师：f(x)=x+b是什么函数？

生：f(x)=x+b是一次函数，由于一次项系数为1,

所以函数是单调递增,用f(a).f(b)〈O则可。

生：解析：(x)=x+b是增函数，又f(x)=x

十b的零点在区间(0,1)内,

f0<0,|b<0,

{l+b>0.

f1>0.

Kb<0.

师：我们看第三题，这道题又如何？

3.若函数£&)=47一1仅有一个零点，求实数a

的取值是—.

生：这里£«)=4一1的最高次系数是2,但没有

说是二次函数，所以要讨论最高项系数a=0还是

aWO,才用二次函数有一个实根时，判别式△二0,

即可。

3.若函数£&)=勺27一1仅有一个零点，求实数a

的取值是—.

解析：若a=0,则f(x)=—x—1为一次函数，易知

函数仅有一个零点；

若aWO,则函数f(x)为二次函数,若其中有一个零点,

则方程af-i=0仅有一个实数根，故判别式A=1

+4a=0,得a=—-.综上可知@=0或。=—

4

；.答案：0或一)

44

师：，我们看下面的应用示例

例1若方程2ax2-x-l=0在(0,1)内有解，求实数a的取值范

围.

活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提

示引导：

师：方程有解，是指一解，还是二解？如何去解答？

生：①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.

生：方程有一个解，用刚才的方法即可。先讨论最高次项系

数为0,再用判别式△二0,

若有二个解，则用判别式A〉o.

师:方程有一个解,用判别式△二0,老师画出图象,这个

解不在(0,1)内？又如何呢？我们能否转化为函数

f(x)=2ax-x-l与X轴的交点？是一个零点还是二个零点？

用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到

捷径.当.a=0,f(x)=-x-l,有一个零点x=T,但不在(0,1)

内，所以a=0,不合题意。

生:在(0,1)内有一个零点，则说明有四种情况，开口向

上时有两种情况(1)一个零点在(0,1)内，一个零点小

于0,(2)一个零点在(0,1)内，一个零点大于lo同样

开口向下时有两种情况(1)一个零点在(0,1)内，一个

零点小于0,(2)一个零点在(0,1)内，一个零点大于1。

同时画出图象就可以看出这四种情况了。

师：这四种情况确实是这样，这样讨论也太麻烦了，能否将

这四种情况转化一下呢？

生：老师，函数y=f(x)符合零点存在性的两个条件

⑴函数的图象在区间［a,b］上是一条连续不断的曲线；

⑵f(a)-f(b)VO.所以,用f(a)・f(b)VO则可,则利用

f(0)•f(1)<0即可。

师：是的，可以利用f(a)-f(b)vo解决上面四讨论情况，

有一个零点的解决方法找到了，我们再求函数有两个零点时

的情况。

生：老师，还有一种情况？

师：还是哪一种？

生：当方程判别式△二0,函数则好有一个零点.

师：开口向上还是向下？

生：也可以不用讨论开口向上还是开口向下，只要判别式A

二0,对称轴在(0,1)之间即可。

师：是的，这样，函数有一个零点分类讨论就解决了。

师：函数在(0,1)内有两个零点时又如何解决？

生：我们也要分开口向上和开口向下两种情况去讨论。

师：我们画出图象。如何从图象中得到解题方法。图像

画出来了，如何确定限制条件？

生：开口方向，端点值的正负。

师：还有吗？

生：根的判别式和考虑二次的对称轴。

师：我们已经分析好，下面看解题方法和解题思路。

有两种情况：1)."0;2).aWO,A20.

解:令f(x)=2ax?-xT,

⑴当方程2ax2-x-l=0在(0,1)内恰有一个解时，

f(0)•f⑴<0或aWO且△=(),

由由0)•得(-1)(2a-2)〈o,所以a>l.由八=0,得

l+8a=0,a=-1

.•.方程为」X2-XT=0,即x=-2史(0,1)(舍去).综上可得a>l.

4

(2)当方程2ax2-x-1=0在(0,1)内有两个解时，则

a>Q,。<0,

/(0)>0,/(0)<0,

/(1)>0,/(1)<0,

0<±<1,^<

0<—<1,

4a4。

4。4a

容易解得实数a不存在.综合⑴(2),知a〉l.

师：我们看了这道题的解法后，我们总结一下，数形结合解

决二次方程根的分布问题需考虑的条件是什么？

生：数形结合解决二次方程根的分布问题需考虑的条件有四

种情况⑴开口情况；（2）相应函数值的正负；（3）判别式

△；（4）对称轴

师：我们还要注意几个细节：

（1）开口向上出现负值时，不写判别式.

（2）对称轴位置不确定时，不写.

（3）注意开口方向对根的分布的影响.

（4）若不等号改为等号，则需要把所求出的范围的端点值

加以检验（一定要单独检验）；

（5）若能直接把方程的根求出来，则无需讨论，直接求解。

师：我们根据上面分析的例题做下面的练习，我

们叫几个同学出来板书。

（活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师

点拨、提示并及时评价学生）

练习：若方程1-（X〃在［-川上有实根，求实数女的

取值范围.

甲：解法一：方程/一|尤=人在［一1,1］上有实根，即方程

一一|》_%=0在［一1,1］上有实根，设/⑴=/_］_%,则根据函数

y=/（x）的图象与x轴的交点MI/（x）=0的根.

（1）两个实根都在［T1］上，工

乙：解法二：方程无2一］=人在［一1,1］上有实根，即存在xe［-1,1］,

使得等式％=/一，成立，要求左的取值范围，也即要求函数

2

攵=--■|x,xe［一1,1］的值域.

k—f(x)—x~----x—(x—]——,XHx€[―1,1]>贝U------<k£/(—1),

2I4J1616

可得一也我0

丙：解法二：令y=/一］则＞=%,则方程/一1尤=%在［-1,1］上

23

有实根，等价于方程组y="一二在［T1］上有实数解，也即等

y=k

价于抛物线

示

直观可得：

丁解法四：根据解法三的转化思型

程/-A化成X?=3%+后，然后令

22

y=x2,y=^x+k,从而将原问题等伤

抛物线y=/与直线y=|x+A在［T1］上小公共

点时，“数形结合法”下去求参数人的取值范围.

根据图形直观可得：当直线广齐+A过点（-口），

截距及最大；当直线y='x+Z与抛物线y=|x+A：相切时，截距出

最小.

且。大=*最小=-2故参数的取值范围为喘以为

师：很好，上面四个同学充分利用：方程与函数关系和零点

问题，即方程在［-川上有实根，即方程/-|i=0在

［T1］上有实根；求k,转化为求二次函数图像的最值问题，即

%=/一和成立，要求k的取值范围，即要求函数

Z=的值域；也可以转化为直线与二次函数是否

有交点问题，抛物线y=,与直线尸齐+人在J,］］上有公共点

时；也可以转化“数形结合法”下去求参数上的取值范围，

即.抛物线i2与直线y=|…在［一川上有公共点时，根据图

形直观可得。

师：我们再总结下这节课的方法规律:

1,本节学习了：①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函

数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.

学习方法：由特殊到一般的方法.

数学思想：转化思想、数形结合思想.

2.判断函数y=f(x)零点存在性的两个条件

⑴函数的图象在区间［a,b］上是一条连续不断的曲线；

(2)f(a)・f(b)<0.

1)并非函数所有的零点都能用这种方法找到，如y=x2的零

点就不能用这种方法找到.只有函数值在零点的左右两侧异

号时，才能用这种方法.

2)上述结论只能判别函数y=f(x)在区间(a,b)上零点的存

在性，但不能确定其零点的个数.

3.应用时应注意的问题

二次函数在某个区间的零点的分布情况要考虑四点

(1)开口方向(2)端点的函数值正负(3)判别式(4)

二次函数图象的对称轴

4,讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与

方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方

程；(2)画图象；(3)利用f(a)f⑹<0及函数的单调性；同时这

些方法是有机联系的.

作业变式训练

1,已知函数f(x)=K-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数

a的取值范围.

2,若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a的取值范

围.

变式训练

1,已知函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足下列条件，求实数

a的取值范围.

(1)函数有两个零点；⑵函数有三个零点；⑶函数有四个零

八占、、•

活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点

拨、提示并及时评价学生.因为函数f(x)=IX2-2X-3I-a的零

点个数不易讨论，所以可转化为方程lx?-2x-3|-a=0根的个

数来讨论，即转化为方程lx?-2x-3|=a的根的个数问题,再转

化为函数f(x)=|x、2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题.

解：设f(x)=|X?-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图

象(图3-1-1-5),它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a

的零点个数.

图

⑴若函数有两个零点，则a=0或a>4.⑵若函数有三个零点,

则a=4.

⑶函数有四个零点,则0<a<4.

2,若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1,求实数a的取值范围.

解：(1)当a=0时，x=0满足题意.

(2)当a7^0时，设f(x)=ax?+3x+4a.

方法一:若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1,则

(33

A=9—16tz2>0,a<—,

。>0或“<一1.5,...0〈3,忘一.

4

a>0或a<-0.6,

叭D>0,

综上(1)(2),得OWaWL

4

方法二:若方程ax2+3x+4a=0的根都小于1,则

△=9—16/20,fA=9-16a2>0,

X]+/<2,%1+x2<2,

(x,-l)(x2-l)>0,Xxx2-(X]+x2)+1>0,

△二9—16/>0,

-Q解得(Ka/.综上⑴⑵，得OWa/.

4+—+1>0,

点评：有两种方法：(1)结合函数图象利用函数符号列不等式

组.

⑵代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.

设计感想与这节课内容相联系的知识点

一、本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深

思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好了伏笔.因为二次函数、

二次方程永远是高考的重点，所以本节结合二次函数的图象

性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问

题..本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结,还

搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外，本节目

的明确、层次分明、难度适中，对学生可能产生兴趣的问题

进行了拓展,.

二、函数与方程的思想

函数与方程的思想方法方法是高考数学常用四种思想方

法之一，即：函数与方程、数形结合、转化与化归、分

类讨论等思想方法，而函数与方程的思想方法居首位.函数

与方程的思想方法就是对于数学问题要学会用变量和函数

来思考，学会转化未知与已知的关系。什么是函数思想？简

单地说就是学会用变量和函数来思考，在解题时，用函数思

想做指导就需要把字母看作变量，把代数式看作函数，利用

函数的性质做工具进行分析，或者构造一个函数，把表面不

是函数的问题化归为函数问题。著名数学家克来因说：“一

般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量和函

数来思考”。一个学生仅仅学习了函数知识，他在解决问题

时往往是被动的，而建立了函数思想，才能主动地去思考一

些问题。建立函数思想是中学数学教学的重要课题，因为函

数思想是中学数学特别是高中数学的主线，函数思想的建立

使常量数学进入了变量数学，中学数学中的初等函数、三角

函数、数列以及解析几何都可以归结为函数。因此数学教学

中注重函数思想是相当重要的.和函数有必然联系的