高中数学《导数的概念及其意义》课后分层作业与同步检测试卷

选择性必修二《5.1导数的概念及其意义》课后分层作业

第一课时变化率问题与导数的概念

［A级基础巩固］

1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是()

A.圆B.抛物线C.椭圆D.直线

2.设函数f(x)在点xo附近有定义，且有f(x()+Ax)-f(x())=aAx+b(Ax)2(a,b为常

数)，贝h)

A.f'(x)=aB.(x)=bC.f'(xo)=aD.f'(xo)=b

3.如果质点A按照规律s(t)=3t?运动,则在to-3时的瞬时速度为()

A.6B.18C.54D.81

4.已知f(x)=x-3x,则f'(0)=()

A.Ax—3B.(△x)2—3△xC.13D.0

5.甲、乙两人走过的路程Sl(t),S2(t)与时间t的关系如图,则在［0,to］这个时间段内,

甲、乙两人的平均速度V”,,v乙的关系是()

A.v甲＞丫乙B.v甲＜丫乙C.v甲=丫乙D.大小关系不确定

6.已知函数y=f(x)=-x2+x在区间［t,1］上的平均变化率为2,则t=

7.设f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=.

8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段［t。，st

t,L［t„t2L［t2,t3］上的平均速度分别为不”V2,V3,则三者J\

的大小关系为_______.i

(JIWl\1213t

9.一个物体的运动方程为s=l—t+t,,其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3

秒末的瞬时速度是_______米/秒.

-----,x〉0,

10.已知函数y=f(x)=jW'求伊(4)•f'(-1)的值.

[1+x2,xWO

［B级综合运用］

11.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足liAkO华&=一1,则广(0)=()

△X

A.-2B.-1C.1D.2

21

12.已知f(x)=q且f'(m)=—5,则ni的值等于()

A.-4B.2C.-2D.±2

13.一物体的运动方程为s(t)=7/+8,则其在t=时的瞬时速度为1.

14.子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.OXI。'mA?,子弹从枪

口射出时所用时间为1.6X10-3s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.

[C级拓展探究]

15.设函数f(x)在X。处可导，求下列各式的值.

八、lim^f(x—mAX)—f(x)

(1)△x-*0-^--0------7--------0

Ax

小Jim^f(xo+4Ax)—f(xo+5Ax)

⑵Ax-*0--------------、--

Ax

答案解析

[A级基础巩固]

1.如果一个函数的瞬时变化率处处为0,则这个函数的图象是()

A.圆B.抛物线C.椭圆1).直线

解析：选D当f(x)=b时，瞬时变化率/区。瞪=＞也0^三=0,所以f(x)的图象为

一条直线.

2.设函数f(x)在点X。附近有定义，且有f(x0+Ax)—f(xo)=aAx+b(Ax)2(a,b为常

数)，则()

A.f'(x)=aB.f'(x)=bC.f'(x0)=aD.f'(x0)=b

解析：选Cf,区)=&%曲。+『一敢。)

=△与工0(a+b•Ax)=a.

3.如果质点A按照规律s(t)=3/运动，则在to=3时的瞬时速度为()

A.6B.18C.54D.81

解析:选BVs(t)=3t2,t0=3,

As

・・・△S=s(to+△t)-s(to)=3(3+△t)2—3X32=18At+3(At)2.・••"=18+3At.A

“"若(18+3At)=18,故应选B.

4.已知f(x)=x?—3x,则f'(0)=()

A.Ax-3B.(AX)2-3AXC.一3D.0

初耕、*「”如Jim』(O+Ax)2—3(0+」x)—。2+3义0

解析：选Cf(0)—△x-0--------------------------------

△x

=&%)9),3-=志工0(Ax—3)=-3.故选C

Ax

5.甲、乙两人走过的路程sKt),sz(t)与时间t的关系如图，则在

[0,t。]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v电，v乙的关系是

()

A.v甲>丫乙B.vip<v乙

C.v甲=丫乙D,大小关系不确定

解析：选B设直线AC,BC的斜率分别为k-k*,由平均变化率的几何意义知，sMt)在

[0,to]上的平均变化率v甲=1^,S2(t)在[0,to]上的平均变化率V乙=1<阮.因为kAcVkfic,

所以v甲Vv乙.

6.已知函数y=f(x)=-x?+x在区间［t,1］上的平均变化率为2,则t=

解析：VAy=f(1)—f(t)=(―12+1)—(―t'+t)=/—t,

.八丫t’—t-Ay

t.又y=2,；.t=-2.

△X1—t

答案：一2

7.设f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=

解析："(1)=>理041+一)，'(1)

Ax

二Hma(l+Ax)+4-(4)

A0a+•-a,•・a=2.

△x

答案：2

8.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t。，

tl],[tl,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为V1,V2,V3,则三者

的大小关系为.

解析：Vl=koA，V2=k,4B,V3=kuc,

由图象知koAVkaBVkuc.

答案：V1<V2<V3

9.一个物体的运动方程为S=l—t+t2,其中S的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3

秒末的瞬时速度是_______米/秒.

解析：选CV△s=s(3+△t)—s(3)

=1-(3+At)+(3+At)2-l+3-32

=△t2+5At

As

—5+△t,

△t

当t=3时，瞬时速度是At-0(5+At)=5米/秒.

答案：5

I——一，,x〉0,

10.已知函数y=f(x)=《’求『(4)・『(一1)的值.

u+x",xWO

解：当x=4时，Ay=_"j=1+3

44+△x3

11、4+Ax-2

214+△x2d4+Ax

_________Ax_________

2,4+△x([4+△x+2)

.-y_1

'''x―2业+△x(d4+4x+2)’

limQylim八1

(4)=△Ax-*0~—=△Ax-。

Ax2^/4+Ax(^/4+Ax+2)

_______1__________1_

2X〃X(W+2)―⑹

.4Ayf(—1+Ax)—f(—1)

x=-1时，二—=-------7---------------

AxAx

I+(T+Axy-ir-iy

—△x—2,

Ax

由导数的定义，得f'(―1)=内巴O(Ax—2)=-2,

⑷f

・

[B级综合运用]

11.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足liAkO当凶=一1,则f'(0)=()

A.-2B.-1C.1D.2

解析：选B・・・f(x)图象过原点，・・・f(0)=0,

.G仆Jimf(O+Ax)-f(O)Jimf(Ax)

..f(0)=△x->0------------------=Axf0-;=—L

△xAx

故选B.

21

12.已知f(x)=i且f'(m)=--,则m的值等于()

x2

A.-4B.2C.-2D.±2

解析：选D『(x)=~~—=-4,于是有-4=-m2=4,解得m=

△xxm2

±2.

13.一物体的运动方程为s(t)=7/+8,则其在t=时的瞬时速度为1.

As7(t°+△tf+8-(74+8)7A.1/lt

斛析：----------晨^---------=7△t+14to,

当△上工0(7At+14to)=1时，t=to=y^.

田生1

答案：u

14.子弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0X105m/s。，子弹从枪

口射出时所用时间为1.6X10-3s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.

解：位移公式为s(t)=5t?,

22

△s="a(to+At)—~ato=atoAt+^a(At),

・As,1.」im八AsJim/,J一)

Y=ato+5aAtt,..At->0-^=At-*0lato+~a△tl=ato,

3

已知a=5.OXlO'/s'to=l.6X10s,.*.ato=8OOm/s.

所以子弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.

[C级拓展探究]

15.设函数f(x)在X。处可导，求下列各式的值.

、limf(xo-mAx)-f(x)

(1)△x-0-----------;-----------o-；

△x

小1imf(x+4Ax)—f(x+5Ax)

(2)△Ax-*0A-----0-----------;-------0----------.

△x

⑴△㈣f(XLm?)f(x。)

△X

/讪苕侪一nMx)-f(xo),,,

=­mAxf0------------------------=—mf(x).

-mAx0

⑵原式

1imcf(x(>+4△x)-f(xo)—[f(xo+5Ax)-f(xo)]

=△x-0-----------------------工---------------------------------------------

Ax

lim„f(xo+4Ax)—f(xo)lim八f(xo+5Ax)-f(xo)

=△4X—O------7----------△x-*O---------------

△X△x

.lim^f(xo+4Ax)—f(xo)「Jim八f(xo+5Ax)—f(xo)

=4△xf0----------------5△x-0---------------

4Ax5Ax

=4f'(xo)—5fz(xo)=—f'(Xo).

《5.1导数的概念及其意义》课后分层作业

第二课时导数的几何意义

[A级基础巩固]

1.设曲线y=f(x)在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线()

A.垂直于x轴

B.垂直于y轴

C.既不垂直于x轴也不垂直于y轴

D.方向不能确定

2.设f(x)存在导函数，且满足△抬产C：2AX)=],则曲线y=f(x)上点(1,

f(l))处的切线斜率为()

A.2B.-1C.1D.-2

3.曲线丫=家一2在点(1,一|)处切线的倾斜角为()

Ji5nn

A.1B.-C.~~7~D.——

444

4.(多选)设P。为曲线f(x)=(+x-2上的点，且曲线在P。处的切线平行于直线y=4x-

1,则Po点的坐标为()

A.(1,0)B.(2,8)C.(-1,-4)D.(-2,-12)

5.过正弦曲线y=sinx上的点(5，1)的切线与y=sinx的图象的交点个数为()

A.0个B.1个C.2个D.无数个

6.曲线y=ax''在点(1,a)处的切线与直线2x—y-6=0平行，则a=.

7.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f'(x)的图象可能是(填

序号).

8.已知曲线f(x)=4,g(x)=%±两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处

的切线方程为.

9.已知抛物线y=x2,直线x—y—2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.

10.已知直线1：y=4x+a和曲线C：y=/—2(+3相切，求a的值及切点的坐标.

[B级综合运用]

11.已知直线ax—by—2=0与曲线y=x，在点P(l,l)处的切线互相垂直，则己为()

1221

A.-B.-C.—rD.一鼻

OOO

12.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()\\

A.0<fz(a)Cf'(a+l)<f(a+l)-f(a))一

/

B.0<fz(a+l)<f(a+l)-f(a)<f,(a)/-!：——i

C.0<f'(a+l)<f'(a)<f(a+l)-f(a)

D.0<f(a+l)-f(a)<f/(a)<f'(a+1)

13.已知二次函数f(x)=ax'+bx+c的导数为f'(x),f/(0)>0,对于任意实数x,有

f(x)20,则，端的最小值为.

14.已知函数f(x)=ax°+l(a>0),g(x)=x"+bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们

的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值.

[C级拓展探究]

15.已知曲线y=x?+l,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切

线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.

答案解析

[A级基础巩固]

1.设曲线y=f(x)在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线()

A.垂直于x轴

B.垂直于y轴

C.既不垂直于x轴也不垂直于y轴

D.方向不能确定

解析：选B由导数的几何意义知曲线f(x)在此点处的切线的斜率为0,故切线与y轴垂

直.

2.设f(x)存在导函数，且满足工0Hl)一；(；；2.x)=],则曲线y=f(x)上点(1,

f(D)处的切线斜率为()

A.2B.-1C.1D.-2

解析：选B△x-*0-------------

2△x

=*/(一△”⑴

⑴=一1.

-2Ax

3.曲线y=1x3—2在点(1,一|)处切线的倾斜角为()

Ji

A.1B.—

4

1(x+Ax)3—2—f1x3—2

解析：选B=Ax-*0

Ax

=Ax^O^x'+xAX+^(Ax)2=x2,

，切线的斜率k=y，|m=L

切线的倾斜角%,故选B.

4.(多选)设P。为曲线f(x)=x，+x-2上的点，且曲线在P。处的切线平行于直线y=4x-

1,则Po点的坐标为()

A.(1,0)B.(2,8)C.(-1,-4)D.(-2,-12)

优矫f\1-口+△x)'+(x+△xT-.'+x—Z)

解析：选ACf---------------Q--------------

].(3x'+1)Ax+3x(△x)2+(△x)!

=lim------------;-------------=3x2+1.

由于曲线f(x)=x3+x-2在P。处的切线平行于直线y=4x-l,所以f(x)在P。处的导数值

等于4.设P0(xo,y0),则有f'(xo)=3x^+1=4,解得x°=±l,P。的坐标为(1,0)或(一1,

-4).

5.过正弦曲线y=sinx上的点仔，1)的切线与y=sinx的图象的交点个数为()

A.0个B.1个C.2个D,无数个

解析：选D由题意，y=f(x)=sinx,

sin修+Ax)n

-sin万

则f'

△x

limcosAx—1

=△AX-*0-----7------.

△x

当Axf。时，cosAx->1,

•t-f，6)=o.

.,.曲线丫=$徐x的切线方程为y=l,且与y=sinx的图象有无数个交点.

6.曲线y=ax?在点(1,a)处的切线与直线2x—y—6=0平行，则a=.

他)*「-..,Ilima(l+Ax)2-aXf

解析：.y|x=i=Ax-0---------------=

1im2aAx+a(Ax)~1im.、

△x-0---------------=Ax-0(z2a+aAx)=2a,

Ax

，2a=2,；.a=L

答案：1

7.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=f'(x)的图象可能是(填序

解析：由y=f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x〈0时f'(x)>0,当x=0时，f(x)

=0,当x>0时,f'(x)<0,故②符合.

答案：②

8.已知曲线f(x)=4,g(x)=：过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处

的切线方程为.

尸点fx=l,

解析：由<1,得《

y=_ly=L

...两曲线的交点坐标为(1,1).

由f(X)=#,

，y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y—l=g(x—1).

即x-2y+l=0.

答案:x—2y+l=0

9.已知抛物线y=(,直线x-y—2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.

解：根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x?的切线对应的切点到直线x-y-

2=0的距离最短，设切点坐标为(xo,xo),则y'|x=x0=呗0(x“+：-辿=2xo=l,

所以Xo=£,所以切点坐标为$

1-1-2厂

247-\12

切点到直线x-y-2=0的距离d=——r—=o-所以抛物线上的点到直线x-y-2=

o的最短距离为芈.

O

10.已知直线1：y=4x+a和曲线C：y=x，—2x2+3相切，求a的值及切点的坐标.

解：设直线1与曲线C相切于点P(x。，y。)，

..△y(xo+Ax)'一2(xo+△x)'+3—(x；-2x：；+3)

△x△x

=(△x)'+(3x0—2)Ax+3xo_4xo.

/.AV^O—^-=3xo—4x0,即f，(x0)=3xo—4x0,

Ax

由导数的几何意义,得3x=4xo=4,

2

解得xo=一鼻或Xo=2.

o

(249、

J切点的坐标为(一『可或⑵3),

一一/249、।

当切点为(一§，司时，

~492,+a,；”詈

有云=4X

当切点为⑵3)时，有3=4X2+a,二2=一5,

191

当2=转时，切点为

当a=-5时，切点为(2,3).

[B级综合运用]

11.已知直线ax-by—2=0与曲线y=x，在点处的切线互相垂直，则己为()

1c221

A-330-3-3

解析：选D•:寸岛=△㈣(1+；?T=3,.•.y=x3在点P(l,l)处的切线斜率k=

y'|x=i—3,由条件知，3义£=-1,.*=—

Duo

12.函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.0<f,(a)<f,(a+l)<f(a+l)-f(a)

B.0<f*(a+l)<f(a+l)-f(a)<f,(a)

C.0<f'(a+l)<f'(a)<f(a+l)-f(a)

D.0<f(a+l)-f(a)<f,(a)<f,(a+1)

解析：选Bf'(a),f'(a+1)分别为曲线£&)在乂=2,x=a+l处的切线的斜率，由题

图可知f'(a)>f'(a+l)>0,而f(a+D—f(a)=宜=好胆表示(a,f(a))与(a+1,

(a+1)-a

f(a+D)两点连线的斜率，且在『(a)与『(a+1)之间.・・・0<『(a+l)〈f(a+D-

f(a)<f,(a).

13.己知二次函数f(x)=ax'+bx+c的导数为f'(x),f*(0)>0,对于任意实数x,有

f(x)20,则，端的最小值为.

解析：由导数的定义，得f'(0)=)担0'"，(°)

△X

,lim„a(Ax)2+bAx+c-c.lim„.一、,

=Ax-*0-----------;-------------=△x->0(za•Ax+b)=b.

△x

又因为对于任意实数X,有f(x)NO,

fA=b2-4ac^0,b2

则所以ac，：，所以c>0.

a>0,4

所以墨a+b+cb+2*\/ac2b

答案：2

14.己知函数f(x)=ax2+l(a>0),g(x)=x3+bx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们

的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值.

„„.…，/、,lim,Ay1im„a(x+Ax)'+1—(ax2+1)、

解：；f'(x)=△xf0~^=△x-0-^--------'A*-----------=2ax,

.♦.f'(l)=2a,即切线斜率ki=2a.

...(x)=3性脸=△我0"△x)』b(x；Ax)—(x』bx)

=3x2+b,

・・・g'(l)=3+b,即切线斜率kz=3+b.

・・•在交点(1,c)处有公共切线，

A2a=3+b.

a—3

{b=3.

[C级拓展探究]

15.已知曲线丫=(+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切

线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由.

,△y(x+△X)'+l-X2—1c

解：'K----------'--------------=2x+Ax

；.y'=>也工0(2x+△x)=2x.

设切点为P(x。，y。)，则切线的斜率为1<=/|x=x0=2x。，由点斜式可得所求切线方程为y

-yo=2xo(x-xo).

又、•切线过点(La),且yo=x，+l,

/.a—(xo+1)=2xo(l-xo)，

即x»2xo+a-l=O.,・,切线有两条，

.*.△=(—2)2—4(a—1)>0,解得a<2.

故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(一8,

2).

《5.1导数的概念及其意义》同步检测试卷

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色

签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单选题

1.甲、乙两厂污水的排放量W与时间，的关系如图所示，则治污效果较好的是（）

A.甲厂B.乙厂C.两厂一样D.不确定

2.已知函数/（X）和g（x）在区间3,切上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A./（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率

B./（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a至I」b之间的平均变化率

C.对于任意玉）€（。，份，函数/（%）在x=Xo处的瞬时变化率总大于函数g（X）在x=处

的瞬时变化率

D.存在/w（a,8）,使得函数/,（X）在x=Xo处的瞬时变化率小于函数g（x）在x=x（）处的

瞬时变化率

3.函数/（x）的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（)

y

y

012345*

A.0<八2）</'（3）</（3）-八2）B.0<,f（3）</（3）-/（2）<.f（2）

c.0<r⑶<r⑵</（3）-/（2）D.o</（3）-f（2）<f（2）<C（3）

4.函数y=/（x）在X=X0处的导数/（X。）的几何意义是（）

A.在点（Xo，/（X。））处与y=/（x）的图象只有一个交点的直线的斜率

B.过点（%,/（玉）））的切线的斜率

C.点（/，/（玉）））与点（°，°）的连线的斜率

D.函数y=/（x）的图象在点（%,/（%））处的切线的斜率

5.某物体的运动方程为s⑺=3/（位移单位：m,时间单位：s）,若

v=lim=1（3土"）_n21=]8m/s,则下列说法中正确的是（）

A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.18m/s是物体从3s到（3+N）s这段时间内的速度

C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度

D.18m/s是物体从3s到（3+M）s这段时间内的平均速度

6.一质点的运动方程是s=5-3/，则在时间[1,1+△八内相应的平均速度为（）

A.3A^+6B.■-3△/+6C.3Af—6D.—3Z—6

7.已知某质点的运动方程为s=2/-/,其中s的单位是m,t的单位是s,则该质点在

2s末的瞬时速度为（）

A.3m/sB.5m/sC.7m/sD.9m/s

8.某质点的运动规律为s=*+3,则在时间（3,3+Ar）内，质点的位移增量等于

()

,9

A.6Af+(加了B.6+AzH---C.3A/4-(Af)~?D.9+△/

Z

二、多选题

9.（多选）已知函数/（x）的定义域为R,其导函数/（X）的图象如图所示，则对于任意

%,占eR（X］彳彳2），下列结论正确的是)

B.（石-工2）［/（5）-/（工2）］＞°

C/（百+5〉/6）+/（%2）口小+乙）ja）+f（“2）

10.（多选）下列命题正确的是（）

A.若/'（与）=0,则函数在瓦处无切线

B.函数y=/（x）的切线与函数的图象可以有两个公共点

C.曲线y=/（x）在x=l处的切线方程为2x-y=o,则当Ax.0时,

/（1）-/（1+Ax）

---------------=1

2-

D.若函数/*）的导数尸（©二/一2,且/（1）=2,则/（%）的图象在％=1处的切线方程

为尤+y-3=0

11.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的

企业要限期整改、设企业的污水排放量W与时间t的关系为w=/（O,用一/⑷

b-a

的大小评价在3,切这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业

的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论，其中正确结论为（）

A.在，乡］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

B.在与时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

C.在与时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

D.甲企业在［0,何,匕/2］，上2，4］这三段时间中，在［0,同的污水治理能力最强.

12.若直线/与曲线C满足下列两个条件：①直线/在点处与曲线C相切；②曲

线C在点尸附近位于直线I的两侧，则称直线/在点尸处''切过”曲线C.则下列结论正确

的是()

A.直线/：y=o在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=V

B.直线/:y=x—l在点P(1,O)处“切过"曲线C：y=lnx

C.直线/：y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sinx

D.直线/：y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C：y=tanx

三、填空题

13.设函数y=/(x)为可导函数，且满足lim=-1,则曲线y=/(x)在

x->026x

点(1,7(D)处切线的倾斜角为—

14.为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进

行测量.设该药物在人体血管中药物浓度c与时间r的关系为c=f(f),甲、乙两人服用该

药物后，血管中药物浓度随时间f变化的关系如下图所示.

①在4时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

②在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③在［小川这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

④在山12］，上2,加两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.

其中所有正确结论的序号是.

15.若曲线〃力=6'+4111"+1)-2(4>0)在点(0,/(0))处的切线也是曲线

g(x)=；Y+x+a-l的切线，则。=

四、双空题

16.过曲线y=f+i上两点尸(1,2)和Q(l+Ar,2+Ay)作曲线的割线，当Ax=0.1时,

割线的斜率为；当8=0.001时，割线的斜率为.

答案解析

一、单选题

1.甲、乙两厂污水的排放量W与时间f的关系如图所示，则治污效果较好的是()

C.两厂一样D.不确定

【答案】B

【解析】在已处,虽然有％&)=%&),但%。一的〈也&一4),

所以在相同时间ZV内，甲厂比乙厂的平均治污率小，所以乙厂治污效果较好.故选：B.

2.已知函数和g(x)在区间出,切上的图象如图所示，则下列说法正确的是()

A./(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率

B./(%)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率

C.对于任意/G(a,力),函数/(X)在x=/处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=/处

的瞬时变化率

D.存在XoW(a,8),使得函数f(x)在x=Xo处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=%o处的

瞬时变化率

【答案】D

【解析】V/(x)在a到b之间的平均变化率是一,

b-a

gS)-g(a)

g(x)在a到b之间的平均变化率是

b-a

又f(b)=g(b),f(a)=g(a),

.—_g(b)—g(a)

b-ab-a

:.A、B错误;

易知函数fM在x=玉)处的瞬时变化率是函数/(%)在x=/处的导数，

即函数在该点处的切线的斜率，

同理可得：函数g(x)在龙=%处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数，

即函数g(x)在该点处的切线的斜率，由题中图象可知：

x0G(a,b)时，函数/'(x)在x=Xo处切线的斜率有可能大于g(x)在x=x()处切线的斜

率，也有可能小于g(x)在x=x°处切线的斜率，故C错误，D正确.故选：D.

3.函数/(x)的图象如图所示，则下列数值排序正确的是()

A.0</'(2)<八3)</⑶一/(2)B.()<:⑶</(3)-/(2)</,(2)

C.0<尸(3)<,f(2)</(3)-/(2)D.0</(3)-/(2)<八2)<f'(3)

【答案】B

【解析】如图所示，/'(2)是函数/(x)的图象在x=2(即点A)处切线的斜率占，

;(3)是函数f(x)的图象在尤=3(即点B)处切线的斜率网，

“3：⑵=/(3)-/(2)=kAB是割线AB的斜率.

由图象知，0</<^B<1，即0</'（3）</（3）—/（2）<r（2）.故选:B.

4.函数y=/（x）在》=/处的导数/'（%）的几何意义是（）

A.在点（%,/（%））处与y=/（x）的图象只有一个交点的直线的斜率

B.过点（%）,/（毛））的切线的斜率

C.点（%,/（%））与点（0,0）的连线的斜率

1）.函数y=/（x）的图象在点（七,/（/））处的切线的斜率

【答案】D

【解析】/'（毛）的几何意义是函数y=/（x）的图象在点（%,/（毛））处的切线的斜率.故

选：D.

5.某物体的运动方程为s«）=3/（位移单位：m,时间单位：s）,若

v=lim=s（3+））—£（3）=i8m/s,则下列说法中正确的是（）

A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.18m/s是物体从3s到（3+kt's这段时间内的速度

C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度

D.18m/s是物体从3s到（3+4）s这段时间内的平均速度

【答案】C

…侬旬-$⑶

【解析】是物体在3s这一时刻的瞬时速度.故选：C.

4T0Z

6.一质点的运动方程是s=5-3f2,则在时间口,1+AH内相应的平均速度为（）

A.3Ar+6B.-3AZ+6C.3Ar-6D.-34-6

【答案】D

【解析】v=[53（1+4）-]（53X『）=-6—3Af.故选：D.

7.已知某质点的运动方程为s=2/-/,其中s的单位是m,t的单位是s,则该质点在

2s末的瞬时速度为（）

A.3m/sB.5m/sC.7m/sD.9m/s

【答案】C

【解析】1而生=lim2（21网-（2+M-（2x2?-2）=我。+小）=「,

&-0&0Z

所以该质点在2s末的瞬时速度为7m/s.故选：C.

8.某质点的运动规律为s=*+3,则在时间（3,3+八。内，质点的位移增量等于（）

/*9

A.6Ar+(Ar)2B.6+加+—C.34+(加产D.9+加

Ar

【答案】A

[解析】位移增量=s（3+-s（3）=（3+Ar）2+3-（32+3）=6加+（A。？.故选：A.

二、多选题

9.（多选）已知函数/（x）的定义域为R,其导函数f（x）的图象如图所示，则对于任意

玉，WeR（x,。七），下列结论正确的是（

A.(^-^)[/(%,)-/(%2)]<0B.王)一/(巧)]>。

C/广+叶、(%)+/(々)D./(X1+X2)J(xJ+〃X2)

【答案】AD

【解析】由题中图象可知，导函数/（X）的图象在X轴下方，即/'（x）＜0,且其绝对值越

来越小，因此过函数f（x）图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是

越来越大的钝角，由此可得/（x）的大致图象如图所示.

“\\fix.）—/（x）

A选项表示与/&）一/（赴）异号，即f（x）图象的割线斜率八",”2为负’

%1-X]

故A正确；B选项表示花一%与/（七）一/（£）同号，即/（x）图象的割线斜率

/（\）一/（9）为正,故B不正确；土斗]表示对应的函数值，即图中点B

西-马\2；2

的纵坐标，1'J+.（%）表示当x=4和%=%,时所对应的函数值的平均值,即图中点

2

A的纵坐标，显然有/（当七）＜，故C不正确，D正确.故选:AD.

10.（多选）下列命题正确的是（）

A.若/（不）=0,则函数/（x）在/处无切线

B.函数y=/（x）的切线与函数的图象可以有两个公共点

C.曲线y=/“）在x=l处的切线方程为2x-y=0,则当AxfO时,

以比/叱生）.=]

2Ar

D.若函数了。）的导数/'（幻=》2一2,且/（1）=2,则“X）的图象在x=l处的切线方程

为x+y-3=0

【答案】BD

【解析