人教版九年级数学下册28 2 1解直角三角形

28.2.1解直角三角形

教学目标

1.理解解直角三角形的意义和条件；（重点）

2.根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素.（难点）

教学过程

一、情境导入

A

世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜.设塔顶中心点为B,塔身中心线

与垂直中心线夹角为/A,过点8向垂直中心线引垂线，垂足为点C在Rt^ABC中，NC=

90°,BC=5.2m,AB=54.5m,求NA的度数.

在上述的RtZVIBC中，你还能求其他未知的边和角吗？

二、合作探究

探究点一：解直角三角形

［类型—］利用解直角三角形求边或角

@D已知在RlZXABC中，ZC=90°,NA、NB、/C的对边分别为小b,c,按下

列条件解直角三角形.

（1）若a=36,/8=30°,求的度数和边6、c的长；

（2）若〃=&「，6=6何，求NA、NB的度数和边c的长.

解析：（1）已知直角边和一个锐角，解直角三角形：（2）已知两条直角边，解直角三角形.

解：（1）在RtZ\ABC中，VZB=30°,a=36,AZA=90°-ZB=60°,VcosB=p

QAi

GPb=s\nB•c=/X24y［^=

2

（2）在RtZ\ABC中，：a=6也，b=6*,.,.tanA=f=坐，；./A=30°,：.ZB=60Q,

.,.c—2a—12yl2.

方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与

两个已知元素的关系式求解.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

［类型二］构造直角三角形解决长度问题

n一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上,AB〃CF,NF=NACB=90°,

ZE=30°,ZA=45°,AC=l2y［2,试求CD的长.

解析：过点8作8M，尸。于点M,求出BM与CM的长度，然后在LEFD中可求出NEDF

=60°,利用解直角三角形解答即可.

解：过点B作。于点M,在△ACB中，ZACB=90°，ZA=45°,AC=12巾,

：.BC=AC^12y［2.,：AB//CF,：.sin4508c=12WX乎=12,CM=BM=12.在AEFD

中，ZF=90°,ZE=30°,：.ZEDF=60°,：.MD=-^—=4y/3,：.CD=CM~MD=

tan60v

12-4小.

方法总结：解答此类题目的关键是根据题意构造直角三角形，然后利用所学的三角函数

的关系进行解答.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

［类型三］运用解直角三角形解决面积问题

如图，在△ABC中，已知NC=90°,sinA=1,力为边AC上一点，NBDC=45°,

OC=6.求△ABC的面积.

解析：首先利用正弦的定义设BC=3k,AB=7k,利用BC=C£>=3A=6,求得k值，从

而求得AB的长，然后利用勾股定理求得AC的长，再进一步求解.

解：♦.•/C=90°,二在Rt/XABC中，sinA=77J=5，设8c=3氏，则A8=7依1>0),在

为△BCD中，VZBC£>=90°,；.NBDC=45°,ZCBD^ZBDC=45°,:.BC=CD=

222

3k=6,：.k=2,；.AB=14.在RtAABC中，AC^A^-BC^14-6=4^10,：.SAABC

=%C・BC=；XWT5X6=12也.所以△ABC的面积是12股.

方法总结：若已知条件中有线段的比或可利用的三角函数，可设出一个辅助未知数，列

方程解答.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题

探究点二：解直角三角形的综合

［类型一］解直角三角形与等腰三角形的综合

硒J已知等腰三角形的底边长为吸，周长为2+6，求底角的度数.

解析：先求腰长，作底边上的高，利用等腰三角形的性质，求得底角的余弦，即可求得

底南的度数.

解：如图，在△A8C中，A8=AC,BC^y/2,•周长为2+也，...A8=AC=1.过A作

A£>J_BC于点£>,贝IJBD=乎，在RtZXABO中，cosNABD=^==,：.ZABD=45°,即

Z/\DZ

等腰三角形的底角为45°.

方法总结：求角的度数时，可考虑利用特殊角的三角函数值.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

【类型二】解直角三角形与圆的综合

n已知I：如图，RtZ\A08中，ZO=90°,以04为半径作。。，8c切。。于点C,

连接AC交08于点P.

(1)求证：BP=BC；

(2)若sin/B40=*且PC=7,求。。的半径.

解析：(1)连接0C,由切线的性质，可得NOCB=90°,由0A=0C,得/0CA=/0AC,

再由乙4。8=90°,可得出所要求证的结论；(2)延长A。交。。于点E,连接CE,在RtA

AQP和RlZXACE中，根据三角函数和勾股定理，列方程解答.

解：⑴连接0C,是。。的切线，；.NOCB=90°,：.Z0CA+ZBCA=90°."：

OA^OC,：.N0C4=N0AC,,Z0AC+ZBCA=90°，:NBQ4=90°，,ZOAC+ZAPO

=90°,VZAP0=ZBPC,：.ZBPC=ZBCA,:.BC=BP；

(2)延长4。交。。于点E,连接CE,在RtAAOP中，VsinZfi40=|,设。P=x,AP

=3x,：.AO=2yl2x.'：AO=OE,：.0E=2业,：.AE=4yf2x."：sinZPAO=^,.•.在RtZiACE

.AC2A/2.3x+72小

,,解得x=3,；.AO=2，5x=6啦，即。。的半径为

AE~y--AE~3'''4y[2x~3

6亚

方法总结：本题考查了切线的性质、三角函数、勾股定理等知识，解决问题的关键是根

据三角函数的定义结合勾股定理列出方程.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题

三、板书设计

1.解直角三角形的基本类型及其解法；

2.解直角三角形的综合.

教学反思

本节课的设计，力求体现新课程理念.给学生自主探索的时间和宽松和谐的氛围，让学

生学得更主动、更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神和合作精神，

激发学生学习数学的积极性和主动性.

28.2.1解直角三角形

【学习目标】

⑴使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互

余及锐角三角函数解直角三角形

⑵通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐

步培养学生分析问题、解决问题的能力.

⑶渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.

【学习重点】

直角三角形的解法.

【学习难点】

三角函数在解直角三角形中的灵活运用

【导学过程】

一、自学提纲：

1.在三角形中共有几个元素？_____________________________________________________

2.直角三角形ABC中，NC=90。，a、b、c、/A、NB这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)边角之间关系

..abab

sinA=—;cosAA=—;tanA1=1—;cotAt--

ccba

.„baba

sinB=—;cons6=—;tan8=—;cotBn--

ccab

如果用Na表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

Na的对边

sina=；cosa

斜边斜边Na的邻边Na的对边

(2)三边之间关系⑶锐角之间关系NA+NB=90。.

a2+b2=c2(勾股定理)以上三点正是解直角三角形的依据.

二、合作交流：

要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成

的角&一般要满足50°工&二75°,(如图).现有一个长6m的梯子，问:

(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1m)

(2)当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角&等于多少(精

确到1°)这时人是否能够安全使用这个梯子

三、教师点拨：

例1在aABC中，/C为直角，/A、/B、/C所对的边分别为a、b、c,且b=J5,

a=遥，解这个三角形.

例2在Rt^ABC中，ZB=35°,b=20,解这个三角形.

四、学生展示：

完成课本74页练习

补充题

1.根据直角三角形的元素（至少有一个边），求出其它所有元素的过

程，即解直角三角形.

2、在RtZ\ABC中,