山西省晋中学市2025届数学九上期末质量检测模拟试题含解析

山西省晋中学市2025届数学九上期末质量检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB度数为（）A．40° B．50° C．60° D．80°2．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像相交于，两点，过点作轴的平行线，交函数的图像于点，连接，交轴于点，则的面积为（）A． B． C．2 D．3．下列各点中，在反比例函数图象上的点是A． B． C． D．4．当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（）A． B．C． D．5．方程x2﹣2x﹣4=0的根的情况（）A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根6．如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（）A．15° B．25° C．30° D．75°7．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，则sinA的值（）A． B． C． D．8．用配方法解方程x2-4x+3＝0时，原方程应变形为（）A．(x+1)2＝1 B．(x-1)2＝1 C．(x+2)2＝1 D．(x-2)2＝19．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE=2ED，EC交对角线BD于点F，则等于（）A． B． C． D．10．若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（）A．-7 B．7 C．3 D．-3二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，、是⊙上的两点，若，是⊙上不与点、重合的任一点，则的度数为__________．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB边上一动点，过点E作DE⊥AB交AC边于点D，将∠A沿直线DE翻折，点A落在线段AB上的F处，连接FC，当△BCF为等腰三角形时，AE的长为_____．13．已知，是方程的两实数根，则__．14．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺指针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…，若点A（，0）、B（0，4），则点B2020的横坐标为_____．15．如图，在矩形中，点为的中点，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④若，则.其中正确的结论是______________.(填写所有正确结论的序号)16．分解因式：x3﹣16x＝______．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=，以点A为圆心，AD为半径的圆与BC相切于点E，交AB于点F，则弧DF的长为_________．18．已知是方程的一个根，则代数式的值为__________．三、解答题(共66分)19．（10分）（2016湖南省永州市）某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种商品每次降价的百分率；（2）若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？20．（6分）春节期间，支付宝“集五福”活动中的“集五福”福卡共分为5种，分别为富强福、和谐福、友善福、爱国福、敬业福，从国家、社会和个人三个层面体现了社会主义核心价值观的价值目标.（1）小明一家人春节期间参与了支付宝“集五福”活动，小明和姐姐都缺一个“敬业福”，恰巧爸爸有一个可以送给他们其中一个人，两个人各设计了一个游戏，获胜者得到“敬业福”．在一个不透明盒子里放入标号分别为1，2，3，4的四个小球，这些小球除了标号数字外都相同，将小球摇匀．小明的游戏规则是：从盒子中随机摸出一个小球，摸到标号数字为奇数小球，则判小明获胜，否则，判姐姐获胜．请判断，此游戏规则对小明和姐姐公平吗？说明理由．姐姐的游戏规则是：小明从盒子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，姐姐再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字.若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判小明获胜，若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判姐姐获胜．请用列表法或画树状图的方法进行判断此游戏规则对小明和姐姐是否公平.（2）“五福”中体现了社会主义核心价值观的价值目标的个人层面有哪些？21．（6分）先化简，再求值：，其中．22．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF，（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．23．（8分）同时抛掷3枚硬币做游戏，其中1元硬币1枚，5角硬币两枚．（1）求3枚硬币同时正面朝上的概率．（2）小张、小王约定：正面朝上按面值算，背面朝上按0元算．3枚落地后，若面值和为1.5元，则小张获得1分；若面值和为1元，则小王得1分．谁先得到10分，谁获胜，请问这个游戏是否公平？并说明理由．24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接AC，AD，GC，GD．（1）求证：∠FGC＝∠AGD；（2）若AD＝1．①当AC⊥DG，CG＝2时，求sin∠ADG；②当四边形ADCG面积最大时，求CF的长．25．（10分）图中是抛物线拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，）．（1）求这条抛物线的解析式；（2）水面上升1m，水面宽是多少？26．（10分）如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂长可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，.（1）在旋转过程中：①当三点在同一直线上时，求的长；②当三点在同一直角三角形的顶点时，求的长.（2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图2，此时，，求的长.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【详解】解：连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．故选：B．【点睛】本题考查圆的切线,关键在于牢记圆切线常用辅助线:连接切点与圆心.2、B【分析】先确定A、B两点坐标，然后再确定点C坐标，从而可求△ABC的面积，再根据三角形中位线的性质可知答案.【详解】∵函数与的图像相交于，两点∴联立解得∴点A、B坐标分别是∵过点作轴的平行线，交函数的图像于点∴把代入到中得，解得∴点C的坐标为∴∵OA=OB，OE∥AC∴OE是△ABC的中位线∴故答案选B.【点睛】本题是一道综合题，考查了一次函数与反比例函数和三角形中位线性质，能够充分调动所学知识是解题的关键.3、B【分析】把各点的坐标代入解析式，若成立，就在函数图象上.即满足xy=2.【详解】只有选项B：-1×（-2）=2，所以，其他选项都不符合条件.故选B【点睛】本题考核知识点：反比例函数的意义.解题关键点：理解反比例函数的意义.4、C【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．【详解】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．故选：C．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．5、B【详解】Δ=b2－4ac=（－2）2－4×1×（－4）=20＞0，所以方程有两个不相等的实数根.故选B.【点睛】一元二次方程根的情况：（1）b2－4ac＞0，方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac=0，方程有两个相等的实数根；（3）b2－4ac＜0，方程没有实数根.注：若方程有实数根，那么b2－4ac≥0.6、C【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．【详解】∵∠A=45°，∠AMD=75°，∴∠C=∠AMD-∠A=75°-45°=30°，∴∠B=∠C=30°，故选C．7、A【分析】根据勾股定理得出BC的长，再根据sinA＝代值计算即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴BC＝＝8，∴sinA＝＝＝；故选：A．【点睛】本题考查勾股定理及正弦的定义，熟练掌握正弦的表示是解题的关键.8、D【分析】根据配方时需在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方解答即可．【详解】移项，得

x2-4x=-3，配方，得

x2-2x+4=-3+4，即（x-2）2=1

，故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法—配方法，熟练掌握配方时需在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键.9、A【解析】试题分析：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴ED∥BC，BC=AD，∴△DEF∽△BCF，∴，设ED=k，则AE=2k，BC=3k，∴==，故选A．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质．10、B【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2－5x－2=0的两个实数根，∴m+n=5，mn=-2，∴m+n－mn=5-（-2）=1．故选A．二、填空题(每小题3分,共24分)11、或【分析】根据题意，可分为两种情况：点C正在优弧和点C在劣弧，分别求出答案即可.【详解】解：当点C在优弧上，则∵，∴；当点C在劣弧上时，则∵，∴，∴；∴的度数为：40°或140°；故答案为：40°或140°.【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，注意分类讨论进行解题.12、2或或．【分析】由勾股定理求出AB，设AE=x，则EF=x，BF=1﹣2x；分三种情况讨论：①当BF=BC时，列出方程，解方程即可；②当BF=CF时，F在BC的垂直平分线上，得出AF=BF，列出方程，解方程即可；③当CF=BC时，作CG⊥AB于G，则BG=FGBF，由射影定理求出BG，再解方程即可．【详解】由翻折变换的性质得：AE=EF．∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB1．设AE=x，则EF=x，BF=1﹣2x．分三种情况讨论：①当BF=BC时，1﹣2x=6，解得：x=2，∴AE=2；②当BF=CF时．∵BF=CF，∴∠B=∠FCB．∵∠A+∠B=90°，∠FCA+∠FCB=90°，∴∠A=∠FCA，∴AF=FC．∵BF=FC，∴AF=BF，∴x+x=1﹣2x，解得：x，∴AE；③当CF=BC时，作CG⊥AB于G，如图所示：则BG=FGBF．根据射影定理得：BC2=BG•AB，∴BG，即(1﹣2x)，解得：x，∴AE；综上所述：当△BCF为等腰三角形时，AE的长为：2或或．故答案为：2或或．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、射影定理、等腰三角形的性质；本题有一定难度，需要进行分类讨论．13、1【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则可变形为，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【详解】是方程的实数根，，，，，是方程的两实数根，，，．故答案为1．【点睛】考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．14、1【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，B、B2、B4…每偶数之间的B相差10个单位长度，根据这个规律可以求解．【详解】由图象可知点B2020在第一象限，∵OA=，OB=4，∠AOB=90°，∴AB，∴OA+AB1+B1C2=++4=10，∴B2的横坐标为：10，同理：B4的横坐标为：2×10=20，B6的横坐标为：3×10=30，∴点B2020横坐标为：1．故答案为：1．【点睛】本题考查了点的坐标规律变换，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是本题的关键．题目难易程度适中，可以考察学生观察、发现问题的能力．15、①③④【分析】根据矩形的性质和余角的性质可判断①；延长CB，FE交于点G，根据ASA可证明△AEF≌△BEG，可得AF=BG，EF=EG，进一步即可求得AF、BC与CF的关系，S△CEF与S△EAF+S△CBE的关系，进而可判断②与③；由，结合已知和锐角三角函数的知识可得，进一步即可根据AAS证明结论④；问题即得解决．【详解】解：∵，，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∴，，所以①正确；延长CB，FE交于点G，如图，在△AEF和△BEG中，∵∠FAE=∠GBE=90°，AE=BE，∠AEF=∠BEG，∴△AEF≌△BEG（ASA），∴AF=BG，EF=EG，∴S△CEG=S△CEF，∵CE⊥EG，∴CG=CF，∴AF+BC=BG+BC=CG=CF，所以②错误；∴S△CEF=S△CEG=S△BEG+S△CBE=S△EAF+S△CBE，所以③正确；若，则，，，在和中，∵∠CEF=∠D=90°，，CF=CF，≌，所以④正确．综上所述，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．【点睛】本题考查了矩形的性质、余角的性质、全等三角形的判定和性质以及锐角三角函数等知识，综合性较强，属于常考题型，正确添加辅助线、熟练掌握上述基本知识是解题的关键．16、x（x+4）（x–4）.【解析】先提取x，再把x2和16=42分别写成完全平方的形式，再利用平方差公式进行因式分解即可．解：原式=x（x2﹣16）=x（x+4）（x﹣4），故答案为x（x+4）（x﹣4）．17、【解析】分析：连接AE，根据圆的切线的性质可得AD⊥BC，解Rt△ABE可求出∠ABE，进而得到∠DAB，然后运用弧长的计算公式即可得出答案．详解：连接AE，∵BC为圆A的切线，∴AE⊥BC，∴△ABE为直角三角形，∵AD=2，AB=2，∴AE=2，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠BAE=45°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=90°，∴∠BAD=45°+90°=135°，∴弧FED的长=π．点睛：本题主要考查的是圆的切线的性质以及弧长的计算公式，属于中等难度题型．得出∠BAD的度数是解题的关键．18、【分析】根据方程的根的定义，得，结合完全平方公式，即可求解．【详解】∵是方程的一个根，∴，即：∴=1+1=1．故答案是：1．【点睛】本题主要考查方程的根的定义以及完全平方公式，，掌握完全平方公式，是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）10%；（2）1．【解析】试题分析：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，根据“两次降价后的售价=原价×（1﹣降价百分比）2”，列出方程，解方程即可得出结论；（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，根据“总利润=第一次降价后的单件利润×销售数量+第二次降价后的单件利润×销售数量”表示出总利润，再根据总利润不少于3210元，即可的出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．试题解析：（1）设该种商品每次降价的百分率为x%，依题意得：400×（1﹣x%）2=324，解得：x=10，或x=190（舍去）．答：该种商品每次降价的百分率为10%．（2）设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品件，第一次降价后的单件利润为：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）；第二次降价后的单件利润为：324﹣300=24（元/件）．依题意得：60m+24×（100-m）=36m+2400≥3210，解得：m≥22.2．∴m≥1．答：为使两次降价销售的总利润不少于3210元，第一次降价后至少要售出该种商品1件．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．20、（1）游戏1对小明和姐姐是公平的；游戏2对小明和姐姐是公平的；（2）友善福、爱国福、敬业福.【分析】（1）在两种游戏中，分别求出小明和姐姐获胜的概率，即可得答案；（2）分别从国家、社会和个人三个层面解答即可得答案.【详解】（1）小明的游戏：∵共有4种等可能结果，一次摸到小球的标号数字为奇数或为偶数的各有2种，∴小明获胜的概率为＝，姐姐获胜的概率为＝，∴游戏1对小明和姐姐是公平的；姐姐的游戏：画树状图如下：共有16种可能情况，其中两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的共有8种，两次摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果也共有8种，∴小明获胜的概率为＝，姐姐获胜的概率为＝，∴游戏2对小明和姐姐是公平的．.（2）“五福”中国家层面是：富强福，“五福”中社会层面是：和谐福，“五福”中个人层面是：友善福、爱国福、敬业福．【点睛】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏的公平性要计算每个参与者获胜的概率，概率相等则游戏公平，否则游戏不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.21、1【分析】注意到可以利用完全平方公式进行展开，利润平方差公式可化为，则将各项合并即可化简，最后代入进行计算．【详解】解：原式将代入原式【点睛】考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变.22、（1）见解析（2）见解析【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案．（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．【详解】解：（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE．∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD．在△AFE和△DBE中，∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED，AE=DE，∴△AFE≌△DBE（AAS）∴AF=BD．∴AF=DC．（2）四边形ADCF是菱形，证明如下：∵AF∥BC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=DC．∴平行四边形ADCF是菱形23、（1）；（2）公平，见解析【分析】（1）用列表法或树状图法表示出所有可能出现的结果，进而求出3枚硬币同时正面朝上的概率．（2）求出小张获得1分；小王得1分的概率，再判断游戏的公平性．【详解】解：（1）用树状图表示所有可能出现的情况如下：∴P（3枚硬币同时正面朝上）＝；（2）公平，所有面值出现的情况如图所示：∵P（小张获得1分），P（小王得1分），∴P（小张获得1分）＝P（小王得1分），因此对于他们来说是公平的．【点睛】本题考查了树状图和概率计算公式，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握树状图的画法和概率的计算公式.24、（1）证明见解析；（2）①sin∠ADG＝；②CF＝1．【分析】（1）由垂径定理可得CE＝DE，CD⊥AB，由等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质可得∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD；（2）①如图，设AC与GD交于点M，证△GMC∽△AMD，设CM＝x，则DM＝3x，在Rt△AMD中，通过勾股定理求出x的值，即可求出AM的长，可求出sin∠ADG的值；②S四边形ADCG＝S△ADC+S△ACG，因为点G是上一动点，所以当点G在的中点时，△ACG的的底边AC上的高最大，此时△ACG的面积最大，四边形ADCG的面积也最大，分别证∠GAC＝∠GCA，∠F＝∠GCA，推出∠F＝∠GAC，即可得出FC＝AC＝1．【详解】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE，CD⊥AB，∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD，∵四边形ADCG是圆内接四边形，∴∠ADC＝∠FGC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD＝∠AGD，∴∠F