2025届山西省阳泉市城区数学九上期末联考模拟试题含解析

2025届山西省阳泉市城区数学九上期末联考模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．二次函数y＝(x﹣4)2+2图象的顶点坐标是()A．(﹣4，2) B．(4，﹣2) C．(4，2) D．(﹣4，﹣2)2．如图，在中，是的中点，，，则的长为（）A． B．4 C． D．3．已知是方程x2﹣2x+c＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣3 B．3 C． D．24．方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．有一个实数根 D．没有实数根5．如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点C沿折线CD﹣DE﹣EB运动到点B时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数图象如图2，则下列结论错误的是（）A．AE=8cmB．sin∠EBC=C．当10≤t≤12时，D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形6．使得关于的不等式组有解，且使分式方程有非负整数解的所有的整数的和是()A．-8 B．-10 C．-16 D．-187．若关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k≥﹣18．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点中在⊙A外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D9．某人从处沿倾斜角为的斜坡前进米到处，则它上升的高度是（）A．米 B．米 C．米 D．米10．如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝18m，则线段AB的长度是（）A．9m B．12m C．8m D．10m11．的相反数是（）A． B． C． D．312．图中三视图所对应的直观图是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴所夹的锐角为，且，则的值是______.14．已知在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC与CD上的点，且∠EAF=45°，AE与AF分别交对角线BD于点M、N，则下列结论正确的是_____.①∠BAE+∠DAF=45°；②∠AEB=∠AEF=∠ANM；③BM+DN=MN；④BE+DF=EF15．将一枚标有数字1、2、3、4、5、6的均匀正方体骰子抛掷一次，则向上一面数字为奇数的概率等于_____．16．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝_____．17．如图，是的直径，点在上，且，垂足为，，，则__________．18．如果点A（2，﹣4）与点B（6，﹣4）在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，那么该抛物线的对称轴为直线_____．三、解答题（共78分）19．（8分）如图所示，在中，点在边上，联结，，交边于点，交延长线于点，且.（1）求证：；（2）求证：.20．（8分）为弘扬遵义红色文化，传承红色文化精神，某校准备组织学生开展研学活动.经了解，有A．遵义会议会址、B．苟坝会议会址、C．娄山关红军战斗遗址、D．四渡赤水纪念馆共四个可选择的研学基地.现随机抽取部分学生对基地的选择进行调查，每人必须且只能选择一个基地.根据调查结果绘制如下不完整的条形统计图和扇形统计图.（1）统计图中______，______；（2）若该校有1500名学生，请估计选择基地的学生人数；（3）某班在选择基地的6名学生中有4名男同学和2名女同学，需从中随机选出2名同学担任“小导游”，请用树状图或列举法求这2名同学恰好是一男一女的概率.21．（8分）解方程22．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．（1）当AE＝8时，求EF的长；（2）设AE＝x，矩形EFPQ的面积为y．①求y与x的函数关系式；②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．23．（10分）综合与探究：如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点P为线段BC上一动点，过点P作BC的垂线交抛物线于点Q，请解答下列问题：（1）求抛物线与x轴的交点A和B的坐标及顶点坐标（2）求线段PQ长度的最大值，并直接写出及此时点P的坐标．24．（10分）为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是．（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．25．（12分）如图，是中边上的中点，交于点，是中边上的中点，且与交于点.（1）求的值.（2）若，求的长.（用含的代数式表示）26．专卖店销售一种陈醋礼盒，成本价为每盒40元．如果按每盒50元销售，每月可售出500盒；若销售单价每上涨1元，每月的销售量就减少10盒．设此种礼盒每盒的售价为x元（50＜x＜75），专卖店每月销售此种礼盒获得的利润为y元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）专卖店计划下月销售此种礼盒获得8000元的利润，每盒的售价应为多少元？（3）专卖店每月销售此种礼盒的利润能达到10000元吗？说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】利用二次函数顶点式可直接得到抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y＝(x﹣4)2+2，∴顶点坐标为(4，2)，故答案为C．【点睛】本题考查了二次函数的顶点式,掌握顶点式各参数的含义是解答本题的关键.2、D【解析】根据相似三角形的判定和性质定理和线段中点的定义即可得到结论．【详解】解：∵∠ADC=∠BAC，∠C=∠C，

∴△BAC∽△ADC，

∴，

∵D是BC的中点，BC=6，

∴CD=3，

∴AC2=6×3=18，

∴AC=，

故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，线段中点的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．3、B【分析】把x＝代入方程得到关于c的方程，然后解方程即可．【详解】解：把x＝代入方程x2﹣2x+c＝0，得（）2﹣2×+c＝0，所以c＝6﹣1＝1．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的性质，解答关键是将方程的根代入原方程求出字母系数．4、A【分析】计算判别式即可得到答案.【详解】∵=∴方程有两个不相等的实数根，故选：A.【点睛】此题考查一元二次方程根的情况，正确掌握判别式的三种情况即可正确解题.5、D【分析】观察图象可知：点P在CD上运动的时间为6s，在DE上运动的时间为4s，点Q在BC上运动的时间为12s，所以CD=6，DE=4，BC=12，然后结合三角函数、三角形的面积等逐一进行判断即可得.【详解】观察图象可知：点P在CD上运动的时间为6s，在DE上运动的时间为4s，点Q在BC上运动的时间为12s，所以CD=6，DE=4，BC=12，∵AD=BC，∴AD=12，∴AE=12﹣4=8cm，故A正确，在Rt△ABE中，∵AE=8，AB=CD=6，∴BE==10，∴sin∠EBC=sin∠AEB=，故B正确，当10≤t≤12时，点P在BE上，BP=10﹣（t﹣10）=20﹣t，∴S△BQP=•t•（20﹣t）•=﹣t2+6t，故C正确，如图，当t=12时，Q点与C点重合，点P在BE上，此时BP=20-12=8，过点P作PM⊥BC于M，在Rt△BPM中，cos∠PBM=，又∠PBM=∠AEB，在Rt△ABE中，cos∠AEB=，∴，∴BM=6.4，∴QM=12-6.4=5.6，∴BP≠PC，即△PBQ不是等腰三角形，故D错误，故选D．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及了矩形的性质，勾股定理，三角形函数，等腰三角形的判定等知识，综合性较强，解题的关键是理解题意，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．6、D【分析】根据不等式组的解集的情况，得出关于m的不等式，求得m的取值范围，再解分式方程得出x，根据x是非负整数，得出m所有值的和．【详解】解：∵关于的不等式组有解，则，∴，又∵分式方程有非负整数解，∴为非负整数，∵，∴-10，-6，-2由，故答案选D．【点睛】本题考查含参数的不等式组及含参数的分式方程，能够准确解出不等式组及方程是解题的关键．7、C【分析】根据根的判别式（）即可求出答案．【详解】由题意可知：∴∵∴且，故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式的应用，因为存在实数根，所以根的判别式成立，以此求出实数k的取值范围．8、C【解析】试题分析：根据勾股定理求出AC的长，进而得出点B，C，D与⊙A的位置关系．解：连接AC，∵AB=3cm，AD=4cm，∴AC=5cm，∵AB=3＜4，AD=4=4，AC=5＞4，∴点B在⊙A内，点D在⊙A上，点C在⊙A外．故选C．考点：点与圆的位置关系．9、A【分析】利用坡角的正弦值即可求解．【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=α，AB=600，∴sinα=，∴BC=600sinα．

故选A．【点睛】此题主要考查坡度坡角问题，正确掌握坡角的定义是解题关键．10、A【分析】根据三角形的中位线定理解答即可．【详解】解：∵A、B分别是CD、CE的中点，DE＝18m，∴AB＝DE＝9m，故选：A．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．11、A【分析】根据相反数的意义求解即可．【详解】的相反数是-，故选：A．【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．12、C【分析】试题分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．【详解】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为长方体，上面部分为圆柱，且与下面的长方体的顶面的两边相切高度相同．只有C满足这两点．故选C．考点：由三视图判断几何体．二、填空题（每题4分，共24分）13、8【分析】过A作AB⊥x轴，根据正弦的定义和点A的坐标求出AB，OA的长，根据勾股定理计算即可.【详解】如图，过A作AB⊥x轴，∴，∵，∴，∵，∴AB=6，∴，根据勾股定理得：，即m=8，故答案为8.【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义、坐标与图形的性质，掌握直角三角形中，锐角的正弦是其对边与斜边的比是解题的关键.14、①②④【分析】由∠EAF=45°，可得∠BAE+∠DAF=45°，故①正确；如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，根据三角形的外角的性质得到∠ANM=∠AEB，于是得到∠AEB=∠AEF=∠ANM；故②正确；由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，求得BE+BH=BE+DF=EF，故④正确；BM、DN、MN存在BM2+DN2=MN2的关系，故③错误.【详解】解：∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，故①正确；如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，

由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，

∵∠EAF=45°，

∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，

∴∠EAH=∠EAF=45°，

在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH（SAS），

∴EH=EF，

∴∠AEB=∠AEF，

∴BE+BH=BE+DF=EF，故④正确；∵∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN，

∠AEB=90°-∠BAE=90°-（∠HAE-∠BAH）=90°-（45°-∠BAH）=45°+∠BAH，

∴∠ANM=∠AEB，

∴∠AEB=∠AEF=∠ANM；故②正确；BM、DN、MN满足等式BM2+DN2=MN2，而非BM+DN=MN，故③错误.故答案为①②④.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各性质并利用旋转变换作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．15、．【分析】根据概率公式计算概率即可．【详解】∵在正方体骰子中，朝上的数字共有6种，为奇数的情况有3种，分别是：1，3，5，∴朝上的数字为奇数的概率是＝；故答案为：．【点睛】此题考查的是求概率问题,掌握概率公式是解决此题的关键．16、1【分析】利用平行线分线段长比例定理得到=1，即AF=FD，所以EF为△ADC的中位线，则EF=CD=BD，再利用EF∥BD得到，所以DG=2FG=2，然后计算FD，从而得到AD的长．【详解】解：∵△ABC的两条中线AD，BE交于点G，∴BD＝CD，AE＝CE，∵EF∥CD，∴＝1，即AF＝FD，∴EF为△ADC的中位线，∴EF＝CD，∴EF＝BD，∵EF∥BD，∴，∴DG＝2FG＝2，∴FD＝2+1＝3，∴AD＝2FD＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形中位线性质和平行线分线段成比例定理．17、2【分析】先连接OC，在Rt△ODC中，根据勾股定理得出OC的长，即可求得答案．【详解】连接OC，如图，

∵CD=4，OD=3，，

在Rt△ODC中，

∴，∵，∴．故答案为：．【点睛】此题考查了圆的认识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18、x=4【解析】根据函数值相等的点到抛物线对称轴的距离相等，可由点A（1，-4）和点B（6，-4）都在抛物线y=ax²+bx+c的图象上，得到其对称轴为x==1．故答案为x=4.三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）先根据已知证明，从而得出，再通过等量代换得出，从而结论可证；（2）由得出，再由得出，从而有，再加上则可证明，从而结论可证.【详解】（1）证明：，，，，，又，，即，.（2），，，，，，，，.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键.20、（1）56,15；（2）555；（3）【分析】（1）根据C基地的调查人数和所在的百分比即可求出调查总人数，再乘调查A基地人数所占的百分比即可求出m，用调查D基地的人数除以调查总人数即可求出n；（2）先求出调查B基地人数所占的百分比，再乘1500即可；（3）根据题意，列出表格，然后利用概率公式求概率即可.【详解】（1）调查总人数为：40÷20%=200（人）则m=200×28%=56（人）n%=30÷200×100%=15%∴n=15.故答案为：56；15（2）（人）答：选择基地的学生人数为555人.（3）根据题意列表如下：男1男2男3男4女1女2男1（男1，男2）（男1，男3）（男1，男4）（男1，女1）（男1，女2）男2（男2，男1）（男2，男3）（男2，男4）（男2，女1）（男2，女2）男3（男3，男1）（男3，男2）（男3，男4）（男3，女1）（男3，女2）男4（男4，男1）（男4，男2）（男4，男3）（男4，女1）（男4，女2）女1（女1，男1）（女1，男2）（女1，男3）（女1，男4）（女1，女2）女2（女2，男1）（女2，男2）（女2，男3）（女2，男4）（女2，女1）由上表可知，共有30种等可能的结果，其中“1男1女”的结果有16种.所以：（1男1女）.【点睛】此题考查的是条形统计图、扇形统计图和求概率问题，掌握结合条形统计图和扇形统计图得出有用信息和利用列表法求概率是解决此题的关键.21、；【分析】（1）根据因式分解法即可求解；（2）根据特殊角的三角函数值即可求解.【详解】∴x-2=0或2x-6=0解得；===1.【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解及特殊角的三角函数值的运算，解题的关键是熟知方程的解法及特殊角的三角函数值.22、（1）1；（2）①y=﹣x2+3x（0＜x＜12）；②x=6时，y有最大值为9；（3）S=【分析】(1)由EF∥BC,可得,由此即可解决问题;(2)①先根据点E为AB上一点得出自变量x的取值范围,根据30度的直角三角形的性质求出EF和AF的长,在在Rt△ACB中,根据三角函数求出AC的长,计算FC的长,利用矩形的面积公式可求得S的函数关系式;②把二次函数的关系式配方可以得结论;(3)分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°，∴BC=AB=6，AC=BC=6，∵四边形EFPQ是矩形，∴EF∥BC，∴=，∴=，∴EF=1．（2）①∵AB=12，AE=x，点E与点A、点B均不重合，∴0＜x＜12，∵四边形CDEF是矩形，∴EF∥BC，∠CFE=90°，∴∠AFE=90°，在Rt△AFE中，∠A=30°，∴EF=x，AF=cos30°•AE=x，在Rt△ACB中，AB=12，∴cos30°=，∴AC=12×=6，∴FC=AC﹣AF=6﹣x，∴y=FC•EF=x（6﹣x）=﹣x2+3x（0＜x＜12）；②y=x（12﹣x）=﹣（x﹣6）2+9，当x=6时，S有最大值为9；（3）①当0≤t＜3时，如图1中，重叠部分是五边形MFPQN，S=S矩形EFPQ﹣S△EMN=9﹣t2=﹣t2+9．②当3≤t≤6时，重叠部分是△PBN，S=（6﹣t）2，综上所述，S=【点睛】本题考查二次函数与三角形综合的知识，难度较大，需综合运用所学知识求解.23、（1）点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（1，0），顶点坐标为（1，）．（2）PQ的最大值=，此时，点P的坐标为（1，3）【分析】（1）令y=0可求得x的值，可知点A、点B的坐标，运用配方法可求抛物线的顶点坐标；（2）先求出直线BC的表达式，再设点Q的坐标为（m，）则点E的坐标为（m，－m+1），得QE=－（－m+1）=，求出QE的最大值即可解决问题．【详解】（1）把y=0代入中得：解得：x1=－2，x2=1∴点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为（1，0）．∵∴抛物线W的顶点坐标为（1，）．（2）过点Q作QF⊥x轴，垂足为F，交线段BC于点E．当x=0时，代入得：y=1，∴点C的坐标为（0，1），∵点B的坐标为（1，0）．∴OC=OB=1，∴∠OBC=15°．设QC的表达式为y=kx+b，把C（0，1），B（1，0）代入解析式得，，解得，，∴直线BC的表达式为y=－x+1．∵QF⊥x轴，PQ⊥BC，∴∠PQE=15°．在Rt△PQE中，∠PQE=∠PEQ=15°，∴当QE最大时，PQ的长也最大．设点Q的坐标为（m，）则点E的坐标为（m，－m+1）．∴QE=－（－m+1）=．∵a=－＜0，∴QE有最大值为：当m=2时，QE最大值为2．∴PQ的最大值=QE·．此时，点P的坐标为（1，3）【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，正确表示出QE的长度是关键．24、（1）；（2）见解析，.【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）利用列表法展示所有12种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团D的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）小明从中随