概率的基本性质（第1课时）高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册+

10.1随机事件与概率10.1.4概率的性质

第1课时回顾与引入

在上一节中，我们学习了概率的定义以及一种重要的概率模型

——

古典概型，试回顾一下些方面的知识：

(1)事件的概率：对随机事件发生可能性大小的度量.

(2)古典概型的特点:

①有限性:②等可能性:样本空间的样本点只有有限个;每个样本点发生的可能性相等.(3)古典概型概率计算公式：n(A),

n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω所含的样本点个数.(4)求解古典概型问题的一般思路:

①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号

(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(必要时可借助图、表);

②根据实际问题情境判断样本点的等可能性，确定试验是古典概型;

③计算样本点总个数及某事件包含的样本点个数，求出事件的概率.

一般而言,给出了一个数学对象的定义,就可以从定义出发研究这个数学对象的性质.

例如,在给出指数函数的定义后,我们从定义出发研究了指数函数的定义域、值域、单调性、特殊点的函数值等性质,这些性质在解决问题时可以发挥很大的作用.

类似地,在给出了概率的定义后,我们来研究概率的基本性质.由于在研究概率的基本性质的过程中要涉及到事件的运算和关系，

因此，首先请大家再回忆一下事件的运算和关系：事件的关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生AUB或A+B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或

AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B=Φ互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B=Φ且AUB=Ω知识探究问题1：

你认为可以从哪些角度研究概率的性质?

概率的取值范围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系；等等

问题2：

我们知道，“事件的概率是对随机事件发生可能性大小的度量”，由此，你能得出概率的什么的性质?(1)概率的取值范围

对任意的事件A，都有0≤

P(A)≤1.性质1:

(2)特殊事件的概率性质2:

必然事件的概率为1，

不可能事件的概率为0,即

P(Ω)=1，P(Φ)=0.

问题3：设事件A与事件B

互斥，那么和事件A∪B

的概率与事件A、B

的概率之间具有怎样的关系?

试以P234例6来探讨这个问题.

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2

个红色球(标号为1和2)，2

个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.R=“两次都摸到红球”，G=“两次都摸到绿球”.思考(2):

P(R)

,P(G

),P(

R∪G)各是多少,它们之间有何关系？

试验的样本空间可表示为

Ω={(1,2),(1,3),(1,4),

(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}n(Ω)=12事件R

与G

互斥，R∪G=“两次摸到球颜色相同”.

思考(1):

事件R

与G

是什么关系，事件

R∪G

的含义是什么？∵R={(1,2),(2,1)},G={(3,4),(4,3)}∴

R∪G={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}即

n(R)=2，n(G)=2，n(R∪G)=4

一般地，若事件A、B互斥，则A与B不含有相同的样本点，

所以n(A∪B)=n(A)+n(B),

这等价于

P(A∪B)=P(A)+P(B).性质3:如果事件A

与事件B

互斥，那么

P(A∪B)=P(A)＋P(B).

即两个互斥事件的和事件的概率等于这两个事件的概率之和.

我们把这个公式叫互斥事件的概率加法公式.

推广：

如果事件A1,A2,…,Am两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m

个事件分别发生的概率之和，即

P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).

问题4:

若事件A

和事件B

互为对立事件，则它们的概率有什么关系?

你能举例说明吗？∵事件A和事件B互为对立事件，∴A∪B=是必然事件，即P(A∪B)=1.又∵P(A∪B)=P(A)+P(B)∴P(A)+P(B)=1即对立事件的概率和为1

例如，在掷一枚骰子的试验中，设A=“得到3点”，B=“得不到3点”，

则A，B对立.且

P(A)=1/6,P(B)=5/6。

∴P(A)+P(B)=1性质4:如果事件A

与事件B

互对立，那么P(A)+P(B)=1,即

P(B)＝1－P(A)，P(A)=1－P(B).

问题5：在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么P(A)与P(B)有什么关系？

你能举例说明吗？∵A⊆B，∴

n(A)≤

n(B)，性质5:

如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)

例如，在掷一枚骰子的试验中，设A=“得到3点”，B=“得到奇数点”，

则A⊆B.且

P(A)=1/6,P(B)=3/6。

∴P(A)≤P(B)=1

即若事件A

发生，则事件B

一定发生，则事件A

的概率不超过事件B

的概率.我们也把这个性质称为概率的单调性.

问题5：在P234例6中，R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”,“两个球中有红球”=R1∪R2，那么P(R1∪R2)和P(R1)+P(R2)

相等吗?

如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2).∵

R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},

R2={

(2,1),(3,1),(4,1),

(1,2),(3,2),(4,2)},∴

n(Ω)=12，n(R1)=n(R2)=6，n(R1∪R2)=10.

这是因为R1∩R2={(1,2),(2,1)}≠Ø，即事件R1和R2不互斥.事实上，由集合的知识知性质6:

设A，B是一个随机试验中的两个(任意)事件，则有

P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB).概率的性质性质1

对任意的事件A，都有

0≤

P(A)≤1.性质2

必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(Ø)=0性质3

如果事件A与事件B互斥，那么性质4

如果事件A与事件B互为对立事件，那么

P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).即性质5

如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).性质6

设A、B是一个随机试验中的两个(任意)事件，则有推论

如果事件A1,A2,…,Am两两互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A)+P(B)=1P(A∪B)=P(A)+P(B)－

P(A∩B)P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am)其中性质4

是性质3的特殊情况，性质3是性质6的特殊情况.返回练习

1.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3.

(1)如果B⊆A，那么P(A∪B)=_____，P(AB)=______;

(2)如果A,B互斥，那么P(A∪B)=_____，P(AB)=_____.2.指出下列表述中的错误:

(1)某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5;

(2)如果事件A与事件B互斥，那么一定有P(A)+P(B)=1.简析:(1)∵B⊆A，∴

A∪B=A,A∩B=B∴

P(A∪B)=P(A)，P(AB)=P(B)(2)∵

A,B互斥，

∴

P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8

P(AB)=P(Ø)=0(1)∵明天下雨与明天不下雨是对立事件,

∴明天不下雨的概率为1-0.4=0.6.

(2)∵互斥事件不一定不对立，

∴不一定有P(A)+P(B)=1.简析:

3.在学校运动会开幕式上，100名学生组成一个方阵进行表演，他们按照性别(M(男)、F(女))及年级(G1(高一)、G2(高二)、G3(高三))分类统计的人数如下表:G1G2G3M182014F17247

若从这100名学生中随机选一名学生，求下列概率:

P(M)=______，

P(F)=______，

P(M∪F)=______，

P(MF)=______，

P(G1)=______，

P(M∪G2)=_______，

P(FG3)=______.0.520.48100.350.760.07简析:例析

例1.从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张,设事件A=“抽到红心”,事件B=“抽到方片”,

P(A)=P(B)=0.25.那么

（1）C=“抽到红花色”，求P(C);

（2）D=“抽到黑花色”，求P(D).解:(1)由题意得

C=A∪B,且A与B是互斥事件，∴.根据互斥事件的概率加法公式得，

P(C)=P(A)＋P(B)=0.25＋0.25=0.5(2)由题意得，

C与D互为对立事件.

∴P(D)=1－P(C)=1－0.5=0.5.

思考(1)：从题意来看，对于甲，下棋的结果有几种？三种：甲胜(乙输)，甲乙下和，甲输(乙胜)。“甲获胜“的对立事件是“甲不获胜“，即“甲与乙下和“或“甲输(乙胜)“。

思考(2)：直接求“甲获胜”的概率不太容易，我们可以先求“甲获胜”对立事件的概率，那么是什么“甲获胜”对立事件是什么？思考(3)：如何才能简洁规范地表达各个事件及其概率？一般应先将事件用字母表示出来

解:(1)

设事件A=“甲获胜”,事件B=“甲与乙下和”,事件C=“甲输(乙获胜)”，则A,B,C

两两互斥，且

解:(2)

设事件D=“甲不输”，则D=A∪B思考(4)：你还有别的解法吗？设事件D=“甲不输”，则由“甲不输”的对立

事件为“甲输(乙获胜)”，即思考(5)：根据以过程，你能说说解决此类问题的一般步骤吗？

首先将各个事件表示出来(一般用字母)，并明确各个事件的关系；

接下来分别求出各个事件的概率；

最后根据事件间的关系计算出所求的概率。

思考(6)：对于事件A的概率，如果直接计算比较困难，我们一般采取怎样的策略？正难则反.

思考(7)：在利用互斥（或对立事件）的概率公式计算概率时，要注意什么问题？

先判断两个事件是否满足性质和公式的的使用条件，如是否互斥，是否对立，满足条件时才能用相应的性质和公式.计算事件概率的一般步骤返回

试计算在同一时期内，这条河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率：

(1)[10，16)；(2)[8，12)；(3)[14，18).练习

年最高水位(m)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16)[16,18)概率0.10.280.380.160.08

设该河流这一处的年最高水位在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18)分别为事件A，B，C，D，E，则

A，B，C，D，E

彼此互斥，且

P(A)=0.1,P(B)=0.28,P(C)=0.38,P(D)=0.16,P(E)=0.16

(1)P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)

＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82.

(2)P(A∪B)