三角函数学案 (二)

专题17三角函数的概念

一.弧度制

i.角度与弧度的转化：万弧度=；1弧度=.

2.弧长公式和扇形面积公式：设扇形的半径为「，圆心角为a,则弧长/=

扇形的面积S=.

二.角的概念的推广:终边相同角、象限角

与角a有相同终边的角的集合为：.

例1.下列各个角中属于第二象限角的是（）

77

①1230°②n③--%④-10

62

A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

三.三角函数的定义

1.任意角三角函数的的定义：以角tz顶点为原点。，始边

为x轴的非负半轴建立直角坐标系.在角a的终边上任

取不同于原点。的一点P（x,y），设P点与原点。的距

离为r（r>0）,则角a的六个三角函数依次为：

sina=,cosa=，tana=

csca=,seca=,cota=

例2.已知角。的终边经过点（一1,一2）,贝!!sina=,cosa=

tan__________

例3.已知角。是第二象限的角，且其终边经过点P（x,占），若cosa贝Usina的

4

值为________

2.三角函数的定义域与值域:

定义域值域

sina

cosa

tana

3.特殊角的三角函数值

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°

a

sina

cosa

tanaXX

4.三角函数值符号的判断:

当。为第象限角时，sincr>0；当a为第一象限角时，sincr<0；

当a为第象限角时，coscr>0；当a为第一象限角时，cosa<0；

当。为第.象限角时，tanor>0；当a为第.一象限角时，tancr<0.

例4.若&=■—71,则()

7

A.sincr>0,且cosa>0

B.sincr>0,且cosa<0

C.sin<0,且cosa>0

D.sincr<0,且cosa<0

例5.若sin。•cos。>0,则。是（）

A.第一、二象限角

B.第一、三象限角

C.第一、四象限角

D.第二、四象限角

四.三角函数线

如左图，角。的终边与单位圆交于点尸，过点尸

作X轴的垂线，垂足为A/,则有向线段为角（7

的F摩缱，有向线段OM为角0的余攀缱；

过点4（1,0）作x轴的垂线交角a的终边或角a

终边的反向延长线于T,则有向线段AT为角a的

亚切奔

例6.若一<a<—,贝Usina,cosa和tana大小关系是（）

42

A.tana>sina>cosa

B.tana>cosa>sina

C.sina>cosa>tana

D.cosa>sina>tana

五.同角三角函数基本关系式

sina.2

----=,sin2a+cosa=

cosa

1.根据角的一个三角函数值，求这个角的其他三角函数值.

例7.已知sina=2^5,—<a<7i,则tana=

52

例8.已知tana=」，。是第三象限角，则cosa=.

12

2.三角函数式的化简，变形.

例9.计算tanl5o+cotl5。的值是

例10.若sinscosa=-,且一＜a＜一,贝!Jcosa—sina的值为

842

例11.已知tanc=1,求下列各式的值.

2

sin。-3cosasi.n2a+si•nacosa

©②(3)sin2。+sinacosa.

sina+cosisin2a+2cos2a

例12.已知sin6+cose=(,夕w(0,〃)，求cot。的值.

六.诱导公式

sin（2A7r+6z）=______cos（2^+a）=______

2k兀+a

tan（2上"+a）=______

sin（一。）=__________cos（-or）=_________

-a

tan（-6z）=__________

sin（4-a）=________cos（万一a）=________

7i-a

tan（万一a）=________

sin万+a）=________cos（万+q）=_________

71+a

tan[乃+o）=________

sin（2"一a）=________cos（2乃一a）=________

2TT-a

tan（2〃-a）=________

4]—

sin二cos

71

----a

2IM

tan

sin=cos—

71、2J

---FCC

2

tan

(3万(3冗

sin-----a=cos

3»<2）管）

------a

2(3兀

tanI。）=_

'包+a(3兀

sinj=____cos卜一

3兀<2

-----FCL

2’3冗

tan1=——

例13.求值.

①cos330=.

②sin210°=.

③sin600°+tan240°=

例14.根据给定的条件，求三角函数值.

137c兀

①已知cosa=-,—<a<27i,则cos——\-a

322

②已知sin(7T+a)=-3,则cosa=

sin(〃-a).sin[；+a

-H-17C、

例15.右*coscc——，月.—<a<0,求^的值.

32万+c)-cos［。万一0

sin(

专题18两角和与差的三角函数

一.两角和与差的三角函数

1.sin(tz±/?)=_____________________________________________

基本公式2.cos(a±/?)=_____________________________________________

3.tan(o±尸)=_________________________________

asinx+bcosx=____________________________________

辅助角公式

例i.填空.

①cos80°-cos200+cos10°-sin20°=

②cos43°cos770+sin43°cos167°=.

(3)cos75°=___________________

④若coso=],ael0,-1,则cos[a+§J=

71sincr=1,贝Itan[a+?)等于—

⑤已知5"

例2.将下列三角函数式化为Asin(s+0)的形式.

①sinor+cosa；②sina-cosa；

%na+且cos-

(3)sina-cosa；④

22

⑤sina+石cosa；⑥cosa一bsina.

2

例3.已知sina='=，且a,4都是锐角，则a+,等于()

A.45°

B.60°

C.135°

D.45。或135。

4

例4.已知sin6=—且。是第二象限角，若tan(8+a)=l,求tanc的值.

5

夕为锐角，且cosa=g,

例5.已知a，COS（6f+/?）=---，求COS尸的值.

二.二倍角公式

1.sin2a=

基本公式2.cos2a=—一

3.tan2a=___________

变形

例6.计算.

①若cosa=——，则cos2a=

5

7i.n

②计算|cos--sin—cos----1-sin——

I12121212

③若角a的终边经过点P（L-2）,则tan2a的值为

(y

④若tan—=2,则tana=tan«+—

2I4

⑤若cosO=-L—<3<3JT,贝!Jsirjg=

522

⑥已知sin2。=—sina,—<a<7T,则tan。等于

⑦已知sin。=cos2a,—<a<〃，则tana等于

34

例7.已知a为第二象限的角，sincr=1,尸为第三象限的角，tan^=-.

①求tan(a+£)的值；②求cos(2o-⑶的值.

例8.已知tana=2,求：

—sin2a+cos?(万一a)

①tan[a+?)的值;②----------------■的值.

口八、几(71)3口5471!、.sin2x-2sin2x

例9.设cos—+x=—，且——<x<—，求-------------

(4J5441-tanx

专题19三角函数的图像

一.正弦、余弦、正切函数的图像:

二.三角函数的图像变换(以正弦函数为例)

y=sinxy=sin%y=sinx

J

y=Asinxy=sincoxy=sin(x+0)

=图象上各Wy=sinx图象上各将y=sinx的图象

点横坐标保持不变，纵坐标点纵坐标保持不变，横坐标向右(_________)或向

拉伸(_________)或压缩(_________)或左(_________)平移

压缩(_________)为原来的拉伸(_________)为原来的_____个单位得到.

_______倍得到._______倍得到.

函数y=Asin(<yx+0)(Ao>0,Awl)的图象可以看作是由函数y=sinx的

图象分别经过下面的两种方法得到：

①将丫=5皿X的图象向左(____________)或向右

(____________)平移——个单位，可得到函

y=sin%

数丁=5近(％+0)图象；

一相位•变观->y=sin(%+夕)②将得到图象点的纵坐标保持不变，横坐标压缩

(____________)或拉伸(____________)为原来

-周期变换>y=sin(6y%+0)

的_______倍，得到函数丁=sin(ox+0)图象；

③将新图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸

—强幅•变换》y=Asin(5+0)

(____________)或压缩(____________)为原来

的_______倍，可得函数y=Asin(〃，x+0)图

象.

①将、=5皿％图象点纵坐标保持不变，横坐标压

缩(_________)或拉伸(____________)为原

y=sinx来的——倍，可以得到函数、=sinox图象；

②将得到的图象向左(____________)或向右

则变曼-y=Sins

(____________)平移_______个单位就得到函

—相位变换>y=sin(ty%+同

数丁=5111(。兀+0)图象；

—强崛变的一》y=Asin(ox+°)③将新的图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸

(____________)或压缩(____________)为原来

的______倍，可得函数丁=Asin(〃zr+0)的图

象.

三.五点作图法：

利用五点作图可画出形如y=Asin(ox+0)的函数图像，即根据ox+夕分别取0、1、

34

71>—>21时对应的％与y的值描点作出y=Asin(〃zx+o)的图像.

例1.为了得到函数y=sin2x-鼻的图象，可以将函数y=sin2x的图象()

A.向右平移2个长度单位

6

B.向左平移至个长度单位

6

C.向右平移生个长度单位

3

D.向左平移三个长度单位

3

例2.要得到函数y=sin2x的图象，可以将函数y=sin(2x-2]的图象(

)

A.向左平移出个单位

8

B.向右平移工个单位

8

C.向左平移工个单位

4

D.向右平移出个单位

4

例3.函数尸sin[2x-在区间的简图是()

CD

例4.已知函数丁=$1!1（（0X+5）［co>0,0<（pV'|J,且此函数的图象如图所示，则点（3,（p）

的坐标是（）

C/40

例5.用“五点法”作出函数y=2sin［2x+（］的简图，并说明它是由函数y=sinx的图

象作怎么样的变形得到的.

专题20三角函数的性质

一.周期性问题

1.正弦函数y=sinx的最小正周期是,余弦函数y=cos%的最小正周期

是，正切函数丁=tanx的最小正周期是.

2.函数y=Asin(〃次+0)的最小正周期是,函数y=Acos(s+°)的最小

正周期是，函数y=Atan(G%十0)的最小正周期是.

例1.分别写出下列函数的最小正周期.

(JFY7C1

①y=sin-----1——；②y=sin2xcos2%；

(3)y=2cos2%；④/(x)=cos2x-2若sinxcosx.

二.定义域问题

^sinfx+—

例2.已知函数〃x)=--------~~旦出

sinx

(I)求函数的定义域;(II)若〃%)=2,求sin2%的值.

三.值域（最值）问题

函数正弦函数余弦函数正切函数

名称y=sinxy=cosxy=tanx

值域[-1,1][T,l]R

当X=__________________时，当X=__________________时，

y=sin%最大值是_____y=cos%最大值是____

最值

当X=__________________时，当％=_____________时，

y=sin%最小值是_____y=cosx最小值是____

例3.求下列函数的值域.

①j=3sinx-2；②y=sin2x-sinx；

712万

(3)y=cos2x-sinx；④y=sinx---<x<——

33

⑤y=sin(0<x<^)；©y=sinf2x-^0<x<^

例4.已知函数/(x)=2cos2x+sin2x.

国的值;

(I)求/(II)求的最大值和最小值.

例5.已知函数/(x)=cos2%-2sin%-cos%—sin2%.

(I)求〃x)的最小正周期;

(II)若xe0,y,求/(x)的最大值、最小值.

四.奇偶性(对称)问题

函数正弦函数余弦函数正切函数

名称y=sinxy=cosxy=tanx

奇偶性

对称轴

对称

中心

例6.已知函数/(x)=xsinx,则函数/(x)()

A.是奇函数但不是偶函数

B.是偶函数但不是奇函数

C.是奇函数也是偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数

例7.函数/(x)=sin2[x+5]+cos2[x-5]-l是()

A.周期为万的奇函数

B.周期为万的偶函数

C.周期为2万的奇函数

D.周期为2万的偶函数

例8.已知函数/(x)=sin]ox+£|(0>O)的最小正周期为万，则函数/⑺的图象()

A.关于点(go]对称

B.关于直线％=四对称

4

C.关于点[二,0〕对称

D.关于直线彳=四对称

3

五.单调性问题

数

函正弦函数余弦函数正切函数

称

名

y=sinxy=cosxy=tanx

增区间

减区间

例9.使函数丁=sin光递减且丁=cosx递增的区间是（

A.卜肛2〃

B.2k7i—兀,2k7i—三GZ)

C.2k兀+%,2卜兀+兀，kGZ）

D.2k兀一三,2k兀）（左£Z）

例10.已知函数/(x)=gcos2九一sinxcosx-gsin?了.

(I)求〃1）的最小正周期;

（II）求〃力函数图像的对称轴方程;

（III）求/（力的单调区间.

专题21解三角形

在AABC中，角A、5、C所对的边分别为a、b、c,

在一个三角形中，各边和他所对角的正弦的比都相等，且等于该三角形

正弦

定理外接圆的直径，即：—=—=—=2R

sinAsinBsinC

三角形任意一边的平方等于其他两边的平方和，减去这两边与它们夹角

的余弦的积的两倍.即：a2=b2+C1-2bccosA

b1=/+/-2cacosB

余弦

定理c2=a2-\-b2-labcosC

推论：

,b1+C1-a1八a1+C1-b1_a1+b2-c2

cosA=--------------；cosB=---------------；cosC=---------------；

2bc2aclab

A+B+C=rt,A+B=TT-C,^-^=—

222

sin（A+B）=sinC；cos（A+B）=-cosC；tan（A+B）=-tanC

.A+BCA+B,CA+