2023-2024学年北京市第一零九中学高二下学期期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市第一零九中学高二下学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A63+A.65 B.160 C.165 D.2102.已知函数fx=2x+1x，设f′x是函数fxA.1 B.2 C.3 D.43.在二项式2−x6的展开式中，x4的系数为(

)A.−60 B.60 C.−30 D.304.已知PB|A=12，PAA.56 B.910 C.3105.将ABCDEF六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中A,B分配到同一所学校，则不同的分配方法共有(

)A.12种 B.18种 C.36种 D.54种6.设f′x是函数fx的导函数，y=f′x的图象如图所示，则y=fx的图象最有可能的是(

)A. B.

C. D.7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以A1，A2表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以B表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则PAA.823 B.623 C.17408.已知函数f(x)=3x−2x−1，则不等式f(x)<0的解集是A.0,1 B.0,+∞

C.−∞,0 D.−∞,09.某校一场小型文艺晩会有6个节目，类型为：2个舞蹈类､2个歌唱类､1个小品类､1个相声类.现确定节目的演出顺序，要求第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，则不同的排法总数有(

)A.336种 B.360种 C.408种 D.480种10.已知定义域为R的函数fx，其导函数为f′x，且满足f′x−2fx<0A.e2f−1<1 B.f1>二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.x+3x312.已知(2x−3)7=a0+a13.从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为

．14.将五个学生代表名额分配到四个班级，每班至少有一人，则有

种不同的分配方案．(用数字作答)15.设某学校有甲、乙两个校区和A,B两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为0.7和0.3；在某次调查中发现住在甲校区的学生在A食堂吃饭的概率为0.7，而住在乙校区的学生在A食堂吃饭的概率为0.5，则任意调查一位同学是在A食堂吃饭的概率为

.如果该同学在A食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为

.(结果用分数表示)三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X．(1)求PX=1(2)求随机变量X的分布列和数学期望．17.(本小题12分)已知函数fx(1)求函数fx的图象在点0,1(2)求函数fx的单调区间．18.(本小题12分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面A1ACC(1)求证：A1C//平面(2)若A1C⊥AB，求二面角D−A19.(本小题12分)已知函数fx(1)若曲线y=fx在点e,fe处的切线斜率为1，求实数(2)当a=0时，求证：fx(3)若函数fx在区间1,+∞上存在极值点，求实数a的取值范围．20.(本小题12分)已知椭圆G:x2a2+(1)求椭圆G的方程；(2)设O为原点．直线l与椭圆G交于C,D两点(C,D不是椭圆的顶点)，l与直线x=2交于点E，直线AC,AD分别与直线OE交于点M,N.求证：OM=ON21.(本小题12分)已知函数fx(1)求fx(2)若fx>0对x∈0,+∞(3)证明：若fx在区间0,+∞上存在唯一零点x0，则x0答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.B

6.C

7.A

8.A

9.C

10.D

11.252

12.−1

13.48

14.4

15.1625；4916.(1)根据题意可知，“X=1”指事件“取出的2个球中，恰有1个白球”，所以P(X=1)=C(2)根据题意可知，X的可能取值为：0,1,2．P(X=0)=C30C5所以随机变量X的分布列为：X012P5153则X的数学期望E(X)=0×517.【详解】(1)解：由函数fx=x+1ex因为切点为0,1，所以切线方程为y−1=2(x−0)，即2x−y+1=0．(2)解：由函数fx=x+1ex当x<−2时，f′x<0，则fx当x>−2时，f′x>0，则fx所以函数fx的单调递减区间为(−∞,−2)，单调递增区间为(−2,+∞)18.【详解】(1)如图，连接A1B，设A1因为在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形因为D为BC的中点，所以DE//A又因为A1C⊄平面AB1D所以A1C//平面(2)因为AB⊥A1C又A1C∩AC=C，A1C⊂平面A1所以AB⊥平面A1ACC1，又因AA又AA1⊥AC，所以AB，AC，A则A0,0,0，B12,0,2，D所以AB1=设平面AB1D的法间量为m=令x=−1，则y=1，z=1于是m=因为AC⊥平面A1ABB1，所以所以cosm由题设，二面角D−AB所以二面角D−AB1−19.【详解】解：(1)因为fx所以f′x由题知f′e解得a=0．(2)当a=0时，fx所以f′x当x∈0,1时，f′x<0，f当x∈1,+∞时，f′x>0，f所以f1=0是fx所以fx(3)由(1)知，f′x若a≥0，则当x∈1,+∞时，f′x>0，f此时无极值．若a<0，令gx则g′x因为当x∈1,+∞时，g′x>0，所以g因为g1而ge所以存在x0∈1,f′x和fx1,xxf′−0+f↘极小值↗因此，当x=x0时，fx综上，a的取值范围是(−∞,0)．20.【详解】(1)由题意可得a=2ca=所以椭圆G的方程为x2(2)由题意可知直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m．则E2,2k+m，直线OE的方程为y=由y=kx+m3x2由Δ=484k2设Cx1,直线AC的方程为y=y联立直线AC和OE得y1解得xM同理可得xN所以xM因为k=2km=2km所以xM+xN=0，即点M所以OM=．21.解：(1)因为f(x)=e2x−ax−1(x∈R)，所以f′(x)=2e2x−a．

 ①若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在区间(−∞,+∞)上单调递增．

 ②若a>0，令f′(x)=0，得x=12lna2．

当x∈(−∞,12lna2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(−∞,12lna2)上单调递减;

当x∈(12lna2,+∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(12lna2,+∞)上单调递增．

综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(−∞,+∞);

当a>0时，f(x)的单调递减区间为(−∞,12lna2)，