2023-2024学年四川省广安二中高一（下）第二次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年四川省广安二中高一（下）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.化简AB−CB+CDA.DA B.CA C.AC D.AD2.若复数z满足zi=2−i，则z在复平面内对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a=2,b=1,A=45°，B=A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′//y′轴，B′C′//x′轴，A′B′=1，B′C′=3，则△ABC中，AC=(

)A.2

B.5

C.4

D.5.在矩形ABCD中，AB=22，AD=2，E为线段BC的中点，F为线段CD上靠近C的四等分点，则AE⋅AFA.4 B.8 C.92 D.6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是棱CA.105 B.155 C.7.中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒(cuán)尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧棱长为421m，侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ=30°，则下列结论正确的是A.正四棱锥的底面边长为48m B.正四棱锥的高为4m

C.正四棱锥的体积为7683m38.已知△ABC所在平面上的动点M满足2AM⋅BC= AC2 −ABA.内心 B.垂心 C.重心 D.外心二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(−2,1)，b=(−1,t)，则下列说法正确的是(

)A.若a⊥b，则t的值为−2

B.若a//b，则t的值为12

C.若0<t<2，则a与b的夹角为锐角

10.α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中错误的是(

)A.若m⊥n，m⊄α，n⊂α，则m⊥α

B.若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m/​/n

C.若α⊥β，n⊂α，则n⊥β

D.若m⊥α，n⊂α，则m⊥n11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱B1CA.三棱锥B1−EFG的体积为定值

B.线段A1D上存在点G，使A1C⊥平面EFG

C.线段A1D上存在点G，使平面EFG/​/平面ACD1

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若一个圆锥的母线长为23，且底面面积为4π，则此圆锥的高为______．13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinA=3acosC，a+b=42，14.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，且AB⊥BC，球心O到平面ABC的距离为2，若球O的表面积为12π，则三棱锥O−ABC体积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC，过D的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点(E,F两点不重合)．

(1)用AB，AC表示AD；

(2)若AE=λAB，AF16.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin(π−x)sin(π2−x)+cos2x．

(1)求函数f(x)的最小正周期和对称轴．

(2)设函数g(x)=f(x)−12，若g(x)在(0,α)上恰有2个不同的零点x1，17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，BC/​/AD，AD=2AB=2BC，E是PD中点.求证：

(1)CE/​/平面PAB；

(2)AC⊥PD．18.(本小题17分)

如图正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是线段AA1的中点，平面α过点D1、C、E．

(1)画出平面α截正方体所得的截面，并简要叙述理由或作图步骤；19.(本小题17分)

十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔⋅德⋅费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：“当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120°；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.”在费马问题中所求的点称为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cos(B+C)(B−C)−cos2A=1．

(1)求A；

(2)若bc=2，设点P为△ABC的费马点，求PA⋅PB+PB⋅PC+PC⋅PA；

(3)设点P答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.B

6.A

7.C

8.D

9.AB

10.ABC

11.ABD

12.213.214.215.解：(1)因为BD=2DC，所以AD−AB=2AC−2AD，

化简得AD=13AB+23AC；

(2)因为AE=λAB，AF=μAC，AD=13AB+23AC，

所以AD=116.解：(1)f(x)=sin(π−x)sin(π2−x)+cos2x=sinxcosx+cos2x

=12sin2x+12cos2x+12=22sin(2x+π4)+12，

所以函数f(x)的最小正周期T=π；

令2x+π4=kπ+π2,x=kπ2+π8,k∈Z

对称轴为x=kπ2+π8,k∈Z；

(2)①函数g(x)=f(x)−12=22sin(2x+π4)，

由g(x)=0，得sin17.证明：(1)取线段AP的中点F，连接EF，BF，

因为E，F分别为PD，AP中点，

所以EF/​/AD，EF=12AD，

又BC/​/AD，BC=12AD，

所以EF/​/BC，EF=BC，

所以四边形BCEF为平行四边形，所以CE/​/BF，

因为BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，

所以CE/​/平面PAB；

(2)因为PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以PC⊥AC，

取线段AD的中点M，连接CM，则AM/​/BC，AM=BC，

又AB=BC，AB⊥AD，所以四边形ABCM为正方形，

设AD=2，则AB=BC=CM=AM=DM=1，

AC=AB2+BC2=2，CD=CM2+DM2=2，

所以AC2+CD218.解：(1)如图，取AB的中点F，连接EF、A1B、CF．

因为E是AA1的中点，所以EF//A1B.

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，A1D1/​/BC，A1D1=BC，

所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B/​/D1C，所以EF/​/D1C，

所以E、F、C、D1四点共面．

因为E、C、D1三点不共线，所以E、F、C、D1四点共面于平面α，

所以面EFCD1即为平面α截正方体所得的截面；

(2)由(1)可知，截面EFCD1为梯形，EF=AE2+AF2=1+1=2，

CD1=CD2+DD12=4+4=22，D1E=A1D12+A1E2=4+1=5，

同理可得CF=5，19.解：(1)因为cos2B+cos2C−cos2A=1，

所以1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A=1，

所以sin2A=sin2B+sin2C，

由正弦定理得a2=b2+c2，

所以ΔABC直角三角形，且A=π2；

(2)由(1)可得A=π2，所以三角形ABC的三个角都小于120°，

则由费马点定义可知