方程的应用与实际问题解决技巧分享

方程的应用与实际问题解决技巧分享一、方程的概念与基本性质方程的定义：含有未知数的等式称为方程。方程的基本性质：两边同时加减同一个数，方程的解不变；两边同时乘除同一个数（0除外），方程的解不变；交换方程两边的未知数位置，方程的解不变；方程两边同时乘以或除以同一个数（0除外），方程的解不变。二、一元一次方程的解法移项：将方程中的未知数移到等式的一边，常数移到等式的另一边；合并同类项：将方程中的同类项合并；化简：将方程化简，使其更容易求解；解未知数：求出未知数的值；验根：将求出的未知数代入原方程，检验是否满足等式。三、二元一次方程组的解法代入法：将一个方程的未知数表示成另一个方程的未知数的函数，然后代入求解；消元法：通过加减乘除运算，消去一个未知数，然后求解另一个未知数；矩阵法：将方程组写成矩阵形式，利用矩阵的性质求解；图解法：将方程组表示成平面直角坐标系中的直线，通过观察图像求解。四、方程在实际问题中的应用长度、面积、体积的计算：利用方程求解实际问题中的长度、面积、体积等；比例问题：利用方程解决比例问题，如速度、路程、时间的关系；利润问题：利用方程计算商品的进价、售价、利润等；浓度问题：利用方程计算溶液的浓度、溶质、溶剂等；人口问题：利用方程预测人口增长、出生率、死亡率等。五、方程解决实际问题的技巧正确列出方程：根据实际问题，找出未知数和已知数，列出相应的方程；化简方程：将方程化简，使其更容易求解；求解未知数：利用适当的解法求解未知数；验根：将求出的未知数代入原方程，检验是否满足等式；合理选择解题方法：根据实际问题的特点，选择合适的解题方法。通过学习方程的概念、性质和解法，以及方程在实际问题中的应用技巧，学生可以更好地理解和运用方程，提高解决实际问题的能力。在解题过程中，要注意正确列出方程、化简方程、求解未知数、验根和合理选择解题方法。习题及方法：一、一元一次方程的习题习题：已知某数的3倍加上5等于14，求这个数。方程：3x+5=14移项：3x=14-5合并同类项：3x=9化简：x=9/3解未知数：x=3验根：3*3+5=14，满足等式。习题：某数减去5等于它的2倍，求这个数。方程：x-5=2x移项：-5=2x-x合并同类项：-5=x化简：x=-5解未知数：x=-5验根：-5-5=2*(-5)，满足等式。二、二元一次方程组的习题习题：已知两个人同时开始工作，A每天做5件工作，B每天做7件工作。他们一起工作了8天，总共完成了76件工作。求A和B各自工作了多少天。设A工作了x天，B工作了y天5x+7y=76x+y=8用第二个方程解出x=8-y代入第一个方程：5(8-y)+7y=76化简：40-5y+7y=76合并同类项：2y=36解未知数：y=18代入第二个方程：x+18=8解未知数：x=-10验根：5(-10)+7(18)=76，满足等式。习题：一个长方形的长是宽的两倍，如果长方形的周长是36厘米，求长方形的长和宽。设长为x厘米，宽为y厘米x=2y2x+2y=36用第二个方程解出x=18-y代入第一个方程：18-y=2y化简：18=3y解未知数：y=6代入第一个方程：x=2*6解未知数：x=12验根：2*12+2*6=36，满足等式。三、方程在实际问题中的应用习题习题：一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了1.5小时后，因故障停下修理了20分钟。修好后，汽车以80公里/小时的速度继续行驶。问汽车总共行驶了多少公里？设汽车继续行驶了x小时60*1.5+80*x=总行驶公里数计算第一段行驶的公里数：60*1.5=90代入方程：90+80*x=总行驶公里数由于20分钟是1/3小时，所以汽车修理前行驶的时间为1.5+1/3=2小时代入方程：90+80*(2-1.5)=总行驶公里数化简：90+80*0.5=总行驶公里数解未知数：总行驶公里数=90+40=130验根：60*1.5+80*0.5=其他相关知识及习题：一、一元二次方程的解法习题：已知一个数的平方减去这个数加上5等于0，求这个数。方程：x^2-x+5=0移项：x^2-x=-5配方：(x-1/2)^2=1/4-5开方：x-1/2=±√(-19/4)解未知数：x=1/2±i√19/2习题：某数的平方减去3倍的该数加上2等于10，求这个数。方程：x^2-3x+2=10移项：x^2-3x-8=0分解因式：(x-4)(x+2)=0解未知数：x=4或x=-2二、函数与方程的关系习题：已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)等于0时的x值。方程：f(x)=0令f(x)=0：x^2-4x+3=0分解因式：(x-1)(x-3)=0解未知数：x=1或x=3习题：已知函数g(x)=2x-5，求g(x)等于3时的x值。方程：g(x)=3令g(x)=3：2x-5=3移项：2x=8解未知数：x=4三、不等式与方程的关系习题：已知不等式2x+3>7，求解该不等式。移项：2x>4解未知数：x>2习题：已知不等式x^2-5x+6>0，求解该不等式。分解因式：(x-2)(x-3)>0解不等式：x<2或x>3四、线性方程组的应用习题：已知两个人同时开始工作，A每天做5件工作，B每天做7件工作。他们一起工作了8天，总共完成了76件工作。求A和B各自工作了多少天。设A工作了x天，B工作了y天5x+7y=76x+y=8用第二个方程解出x=8-y代入第一个方程：5(8-y)+7y=76化简：40-5y+7y=76合并同类项：2y=36解未知数：y=18代入第二个方程：x+18=8解未知数：x=-10验根：5(-10)+7(18)=76