高中数学《7. 4 二项分布与超几何分布》同步练习

《7.4二项分布与超几何分布》同步练习

一、单选题

3

1.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是雨的事

件为（）

A.恰有1个是坏的

B.4个全是好的

C.恰有2个是好的

D.至多有2个是坏的

2.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X<2）

等于（）

78

A.—B.—

1515

14

C.—D.1

15

3.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于慨

的是（）

A.至少有1个深度贫困村B.有1个或2个深度贫困村

C.有2个或3个深度贫困村D.恰有2个深度贫困村

4.在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为

（）

,5c4八19,8

A.B.—C.D.—

42354221

5.荷花池中，有一只青蛙在成''品"字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片

荷叶跳到另一片荷叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所

示.假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是（）

23_

A.—C.—D.

3B-737

(

6.已知随机变量4服从二项分布4,-,则2。=3)=()

13)

3216248

A.—B.—C.--D.

81818181

7.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品

的次数，则P（X42）=（）

A—B.Uc.±D,1

81458

3

8.经检测有一批产品合格率为;，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为

4

乙则尸七=3取得最大值时k的值为（）

A.2B.3C.4D.5

二、多选题

9.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为0.5和0.4,且互不影响，现甲、乙两人

各射击一次，下列说法正确的是（）

A.目标恰好被命中一次的概率为0.5+0.4

B.目标恰好被命中两次的概率为0.5X0.4

C.目标被命中的概率为0.5X0.6+0.5X0.4

D.目标被命中的概率为1—0.5X0.6

10.下列叙述正确的是（）

A.某人射击1次，“射中7环"与“射中8环”是互斥事件

B.甲、乙两人各射击1次，"至少有1人射中目标“与“没有人射中目标''是对立事件

C.抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于3

D.抛掷一枚硬币4次，恰出现2次正面向上的概率为!

11.如城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如

城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是（）

243

A.这5个家庭均有小汽车的概率为二"

1024

27

B.这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为::

64

C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车

D.这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为工

12.设火箭发射失败的概率为0.01,若发射10次，其中失败的次数为X，则下列结论正

确的是()

A.E(X)=O.lB.P(X=k)=0.01*xO.9910-*

C.V(X)=0.99D.P(X=k)=C1x0.0Vx0.99i°M

三、填空题

13.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则P(X=2)=

14.李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，

李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才

能入选.则李明入选的概率为.

15.3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知

识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答

对得2分，答错得。分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得。分，其余4人

可得2分，3名男生每人得2分的概率均为现选择2名女生和3名男生，每人答一

题，则该班所选队员得分之和为6分的概率

4

16.甲、乙两名运动员进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为二；乙第

一次射击的命中率为7三，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为3亍，

84

如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为g.乙若射中，则不再继续射击.则

甲三次射击命中次数的期望为,乙射中的概率为.

四、解答题

17.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为々，乙、丙做

对该题的概率分别为加，”(加＞〃)，且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生

中做对该题的人数，其分布列为：

X0123

£1

Pab

336

(1)求加，♦的值;

(2)求X的数学期望.

18.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3

件.求：

(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；

(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.

19.某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各

项技术指标达标与否互不影响.若A项技术指标达标的概率为;，B项技术指标达标的概

4

O

率为按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.

(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；

(2)任意依次抽取该种零件4个，设&表示其中合格品的个数，求&分布列及£(4).

20.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.

(D求所选3人中恰有一名男生的概率

(2)求所选3人中男生人数&的分布列及数学期望

21.为了比较传统粮食。与新型粮食力的产量是否有差别，研究人员在若干亩土地上分

别种植了传统粮食a与新型粮食尸，并收集统计了月的亩产量，所得数据如下图所示.

(I)通过计算比较传统粮食a与新型粮食4的平均亩产量的大小关系；

(2)以频率估计概率，若在4块不同的1亩的土地上播种新型粮食用，记亩产量不低于

785公斤的土地块数为X，求X的分布列以及数学期望石(X).

22.全国中小学生的体质健康调研最新数据表明我国小学生近视眼发病率为22.78%,初中

生为55.22%,高中生为70.34以影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要

原因是环境因素.学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时

间很容易引起近视.除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体

育活动，都是造成近视情况日益严重的原因.为了解情况，现从某地区随机抽取16名学

生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位

数字为茎，小数点后的一位数字为叶），如图：

____________________学生视力测试结果________________

435666777~8~8~9~

S0112

（1）写出这组数据的众数和中位数；

（2）若视力测试结果不低于5.0,则称为“好视力”.

①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；

②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率.若从该地

区学生（人数较多）中任选3名，记X表示抽到“好视力”学生的人数，求X的分布列

及数学期望.

答案解析

一、单选题

3

1.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是雨的事

件为（）

A.恰有1个是坏的

B.4个全是好的

C.恰有2个是好的

D.至多有2个是坏的

【答案】C

【解析】

概率为辱=；C4，.对于选项C,概率为

对于选项A,.对于选项B,概率为—

Jo乙do6

C汨3

==.对于选项D,包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项,

13

恰好有一个坏的概率已经是5＞元，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.

2.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)

等于()

【答案】C

【解析】

由题意，知X取0,1,2,X服从超几何分布，

它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式,

d7C'­C'7G=_L

即P(X=0)=T=—,P(X=1)=,=—,P(X=2)

G：15喘15比15

7714

于是P(X<2)=P(X=0)+P(X=l)=w+j^=w

故选C

3.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于尚

的是()

A.至少有1个深度贫困村B.有1个或2个深度贫困村

C.有2个或3个深度贫困村D.恰有2个深度贫困村

【答案】B

【解析】

用X表示这3个村庄中深度贫困村数，X服从超几何分布,

故p(X=A)=

/C3C04

所以P(X=O)=岩*

P(x=i)=晋卷

C：C；_12

P(X=2)

~CT~35

P（X=1）+P（X=2）=*

故选：B

4.在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为

（）

A5「419n8

A.B.—C.D.—

42354221

【答案】A

【解析】

分析：根据超几何分布，可知共有种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两

种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。

详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，

G=_L

由超几何分布的概率可知,当0个正品4个次品时「=

品210

当1个正品3个次品时「=六±=56=数

LJO41.U

所以正品数比次品数少的概率为1六+£4=・5

所以选A

5.荷花池中，有一只青蛙在成“品”字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一片

荷叶跳到另一片荷叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所

示.假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是（）

3_

c.D.

34

【答案】C

【解析】

设按照顺时针跳的概率为P，则逆时针方向跳的概率为2p,则p+2P=3p=l,

112

解得P=§，即按照顺时针跳的概率为§，则逆时针方向跳的概率为

若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，

则满足3次逆时针或者3次顺时针，

222X

①若先按逆时针开始从A-B,则对应的概率为kX-X-=—,

33327

②若先按顺时针开始从A-C,则对应的概率为工X二X二二」二，

33327

则概率为'

2727273

故选：C.

6.已知随机变量S服从二项分布J~B4,-,则P(4=3)=().

8

8?

【答案】D

【解析】

CB4亏表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为

2

3

7.有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次(每次1件)，若X表示取得次品

的次数，则P(XV2)=()

31347

A.-B.—C.-D.一

81458

【答案】1)

【解析】

41

因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为三=彳.从中取3次，X为取

o2

得次品的次数，则X〜B、，!)，

P(X<2)=P(X=2)+P(X=l)+P(X=0)=C；x]£|xg+呢)+叫)=(

，选择D答案.

3

8.经检测有一批产品合格率为现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为

4

乙则2七=口取得最大值时女的值为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

由题意，随机变量.•.Pe=Z)=C；，C)*・(：)5Y,

若尸C=Z)取得最大值时，贝IJ：

P^=k)..P^=k+1)

P(D..P(i—l)

则：4J+；4'解得3.5球45,keN*,则左=4.

—X—>--------X—

[k46-k4

故选：C.

二、多选题

9.甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为0.5和0.4,且互不影响，现甲、乙两人

各射击一次，下列说法正确的是()

A.目标恰好被命中一次的概率为0.5+0.4

B.目标恰好被命中两次的概率为0.5X0.4

C.目标被命中的概率为0.5X0.6+0.5X0.4

I).目标被命中的概率为1—0.5X0.6

【答案】BD

【解析】

由题意，甲、乙两人射击是否命中相互独立，

目标恰好被命中一次的概率为0.5x(l-0.4)+0.4x(l-0.5)=0.5x0.6+0.4x0.5,即A

错误；

目标恰好被命中两次的概率为0.5x04,即B正确；

目标被命中包含恰好命中一次和恰好命中两次，即目标被命中的概率为

(0.5x0.6+0.4x0.5)+0.5x0.4,即C错误；

两人都没有命中的概率为(1-65)(1-0.4),则目标被命中的概率又可以表示为

1-(1-0.5)(l-0.4)=1-0.5x0.6,即D正确.

故选：BD.

10.下列叙述正确的是()

A.某人射击1次，'‘射中7环"与"射中8环''是互斥事件

B.甲、乙两人各射击1次，"至少有1人射中目标“与”没有人射中目标”是对立事件

C.抛掷一枚硬币，连续出现4次正面向上，则第5次出现反面向上的概率大于g

D.抛掷一枚硬币4次，恰出现2次正面向上的概率为g

【答案】AB

【解析】

A.某人射击1次，“射中7环”和“射中8环”是两个不可能同时发生的事件，所以是互

斥事件，故A正确；

B.甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”包含“1人射中，1人没有射中”和

“2人都射中目标”，所以根据对立事件的定义可知，”至少有1人射中目标''与"没有人

射中目标”是对立事件，故B正确；

C.抛掷一枚硬币，属于独立重复事件，每次出现正面向上的概率都是g,每次出现反面向

上的概率也是工，故C不正确；

2

D.抛掷一枚硬币，恰出现2次正面向上的概率P==-,故D不正确.

⑶8

故选：AB

11.如城镇小汽车的普及率为75%,即平均每100个家庭有75个家庭拥有小汽车，若从如

城镇中任意选出5个家庭，则下列结论成立的是()

A.这5个家庭均有小汽车的概率为布或

B-这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为百

C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车

Q1

D.这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为前

【答案】ACD

【解析】

3

由题得小汽车的普及率为

4

3<243

A.这5个家庭均有小汽车的概率为(t)5==,所以该命题是真命题；

41024

31

B.这5个家庭中，恰有三个家庭拥有小汽车的概率为C；(1)3(w)2=m，所以该命题是

假命题；

C.这5个家庭平均有3.75个家庭拥有小汽车，是真命题;

仁色)40)+6=

D.这5个家庭中，四个家庭以上(含四个家庭)拥有小汽车的概率为

Q1

M•，所以该命题是真命题.

128

故选：ACD.

12.设火箭发射失败的概率为0.01,若发射10次，其中失败的次数为X，则下列结论正

确的是()

A.=0.1B.P(X=X:)=().01*x0.99'0-4

C.V(X)=0.99D.P(X=k)=C^xQ.Q\kxQ.99'0~k

【答案】AD

【解析】

,,,X~5(10,0.01),

：.£(X)=10x0.01=0.1,V(X)=10x0.01x0.99=0.099.

P(X=k)=xO.Ofx0.9严.

故选：AD

三、填空题

13.在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品数，则p(X=2)=

3

【答案】历

【解析】

C2C23

X满足超几何分布，所以P（X=2）=-^=G.

Go

3

故答案为：—

14.李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，

李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才

能入选.则李明入选的概率为.

2

【答案】y

【解析】

设所选3题中李明能答对的题数为X,则X服从参数为N=10,M=6,〃=3的超几何分

布，且尸（X=X=-h^-（左=0,123）,

Cie

故所求概率为「（乂22）=2（*=2）+「（*=3）=萼+岑=黑+言=：,

।QV.✓|Q1,4UJL乙UD

2

故答案为：—.

15.3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知

识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答

对得2分，答错得。分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得。分，其余4人

可得2分，3名男生每人得2分的概率均为现选择2名女生和3名男生，每人答一

题，则该班所选队员得分之和为6分的概率.

43

【答案】商

【解析】

依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A,

则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件A”女生得2分男生得4分，设为

事件A?；女生得4分男生得2分，设为事件A3,

P(A)=*XC；刖£]=蒜小

43

P(A)=P(A)+尸(&)+「(4)=商.

43

故答案为：

4

16.甲、乙两名运动员进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为二；乙第

一次射击的命中率为7工，若第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率3为:，

84

如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为3.乙若射中，则不再继续射击.则

2

甲三次射击命中次数的期望为,乙射中的概率为.

【答案】言善

564

【解析】

4

甲、乙两名运动员进行射击比赛，每人各射击三次，甲三次射击命中率均为二，

(4、

则甲击中的次数乂~83,-,

\5

A1?

...甲三次射击命中次数的期望为E(X)=3x-=y,

乙第一次射击的命中率为《7，

O

3

第一次未射中，则乙进行第二次射击，射击的命中率为

如果又未中，则乙进行第三次射击，射击的命中率为!，

乙若射中，则不再继续射击，

则乙射中的概率为：^=7+^x7+ix7x^=77-

88484264

故答案为：■—,—.

564

四、解答题

17.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为:，乙、丙做

对该题的概率分别为加，n(m>n),且三位学生能否做对相互独立，设X为这三位学生

中做对该题的人数，其分布列为:

X0123

21

Pab

336

(1)求加，〃的值;

(2)求X的数学期望.

【答案】⑴相=；,〃=?

(2)E(X)=Oxl+lx—+2x—+3x—=—.

39363612

【解析】

分析：(1)根据已知列方程组解之即得m,n的值.(2)先计算出a,b的值再求X的数学

期望.

详解：(1)由题意，得八)

又加>〃，解得加=1，n=—.

34

1232132214

(2)由题意,a=-x—x--1——X—x——|——X—X—=—.

3343343349

1417

Z?=1-P（X=O）-P（X=1）-P（X=3）=1----

3636

所以E（X）=0xl+lx-+2x—+3x—=

v739363612

点睛：本题第1问，可能部分学生找方程比较困难，要注意观察已知的图表信息.表中说明

1(1A1

三个都没有做对的概率是W,所以1-1(1一〃。(1-〃)=1.表中说明三个都做对的概

313

率是上，所以:6"=』.

36336

18.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品.从这10件产品中任取3

件.求：

（1）取出的3件产品中一等品件数X的分布列；

（2）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.

【答案】（1）详见解析；（2）壬31.

120

【解析】

（1）题意知X的所有可能取值为0,1，2.3,且X服从参数为N=1O,

M—3,n—3的超几何分布，

因此P（X=Z）=^-（Z=O,1,2,3）.

Jo

r°C3357

所以P（X=0）==二—=一;

''C°：Jo12024

P（X=1）=等C'C26321

120-40

P"=2）=詈喘磊

C©_1

P（X=3）

C,o-120

“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A?,

由于事件A,A,a彼此互斥，且A=4+4+A3,

而尸（4）=审C1C2=.，P（4）=P（x=2）=京7，尸（4）=p（x=3）=击1，

所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为:

P（A）=P（A）+P（A,）+P（A）=—+—+—=—

-'储vv74040120120

19.某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各

3

项技术指标达标与否互不影响.若A项技术指标达标的概率为二，B项技术指标达标的概

4

O

率为3，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.

（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；

（2）任意依次抽取该种零件4个，设S表示其中合格品的个数，求J分布列及6偌）.

【答案】⑴—;（2）分布列见解析，

363

【解析】

（1）设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，

则而：A,B都不达标；

_1145

故尸（加）=1一尸（而）=1一屋石,

所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为3三5；

36

□Q9

（2）依题意两项技术指标都达标的概率为；*工=;，

493

（2、

所以J〜84,可，

3)=呜11

8

3

故？的期望值为5.

20.从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.

(1)求所选3人中恰有一名男生的概率

(2)求所选3人中男生人数&的分布列及数学期望

【答案】(1)?；(2)见解析.

21

【解析】

(1)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人，共有=84种，

所选3人中恰有一名男生，有C；C：=40种，

故所选3人中恰有一名男生的概率为患=当；

(2)随机变量J的可能取值有0、1、2、3,

「32l

P偿=0)=V=25,P(J=1)=^CC10p(“2)=4=25

,)C；42\'C；21\)C；14

3

P(J=3)=MC=_1L.

')Cl21

所以，随机变量彳的分布列如下表所示:

g0123

51051

p

422121

因此，随机变量&的数学期望为EJ=Ox亳+lx^+2x亮+3x(=g.

21.为了比较传统粮食。与新型粮食月的产量是否有差别，研究人员在若干亩土地上分

别种植了传统粮食a与新型粮食耳，并收集统计了户的亩产量，所得数据如下图所示.

已知传统粮食a的产量约为760公斤/亩.

(I)通过计算比较传统粮食a与新型粮食户的平均亩产量的大小关系;

（2）以频率估计概率，若在4块不同的1亩的土地上播种新型粮食广，记亩产量不低于

785公斤的土地块数为X，求X的分布列以及数学期望石（X）.

【答案】（1）传统粮食。的平均亩产量低于新型粮食夕的平均亩产量；（2）分布列见解

Q

析；期望为

【解析】

（1）依题意，所求新型粮食户的平均亩产量为

750x0.05+760x0.1+7