人教A版高中数学选择性必修第一册同步练习21倾斜角与斜率同步练习

倾斜角与斜率同步练习

一、选择题

1.直线/绕它与X轴的交点逆时针旋转争得到直线Wx+y-3=0,则直线I的直线

方程()

A.x—V3y—1=0B.V3x—y—3=0

C.x+V3y—1=0D.>/3x—y—1=0

2.直线y=x—百的倾斜角为()

A.45°B,60°C.120°D,135°

3.直线y-2=W(x+l)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()

A.60°,2B.60°,2+V3C.120°,2+V5D.120°,2

4.过点4(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角a的范围是G，¥)，则实数机的取值范围是()

44

A.0<m<2B.0<m<4

C.2<m<4D.0<m<2或2VTH<4

5.已知直线/过点4(—1,遮)，B(2,m)两点，若直线/的倾斜角是号，则m=()

A.-2V3B.0C.2显D.4V3

6.下列说法中，正确的有()

A.过点P(l,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0

B.直线y=3久—2在。轴上的截距为一2

C.直线x-V3y+1=0的倾斜角为60°

D.过点(5,4)并且倾斜角为90。的直线方程为y-4=0

7.已知直线=：x+2,直线1是直线。绕点P(—2,1)逆时针旋转45。形成的直线，

则直线办的方程是()

13一

A.y=x—1B.y=/+gC.y=—3x+7D.y=3%+7

22

8.如图，在椭圆器+3=1中，设点A,B为长轴的两个端点直线PA,PB相交于点

P,且平尸4依的斜率之积为-白，则椭圆的焦距为()

16

A.V7B.2夕C.3D.6

9.已知两点4(2,-1),5(-5,-3),直线/：ax+y—a—l=0与线段相交，则直

线/的斜率取值范围是()

A.(-oo,-2]0[|,+~)B.[-2,|]

C.[-|,2]D.(—8,—|]U[2,+8)

10.直线tan210°x-y+1=0的倾斜角为()

A.210°B,30°C.150°D.60°

11.直线式+y=1的斜率是()

—

A.1B.13C.0D.~47t

12.已知点P(%,y)在圆/+y2-4%+3=0上运动，则£的最大值是()

A.涯B.3C.3D.它

4433

13.已知两点4(2,—1),B(-5,-3),直线/：a—1=0与线段相交，则直线/

的斜率取值范围是()

A.(-co,-2]U[|,-K»)B.[-2311

C.D.(-oo,-|]u[2,4-00)

MJ

二、填空题

14.已知直线/的一个方向向量为Z=(3,-4)，则直线/的斜率为.

15.已知4(一1,2)、B(2,0)、C(x,3),且A、B、C三点共线，贝卜=.

16.已知实数久,y满足方程(％-2)2+『=1,则掷取值范围是.

17.已知直线—ay-2a—3=0,则直线/过定点；若直线/的倾斜角为%则

a=.

三、解答题

18.已知实数X,y满足4%2+y2-4=0.

(1)求2%+y的取值范围；

(2)求％2+(y—日/的取值范围；

(3)求的取值范围.

19.已知圆C：%2+y2+2%_4y+1=0.

(1)已知点P(x,y)为圆上的点，求含的范围;

(2)已知点P(x,y)为圆上的点，求z=3—1)2+/的取值范围.

20.已知平面内两点4(8,—6),B(2,2).

(1)求AB的中垂线方程；

(2)求过点P(2,-3)且与直线AB平行的直线/的方程；

(3)一束光线从B点射向(2)中的直线/,若反射光线过点A,求反射光线所在直线

的方程.

2222

21.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Ci*+g=1与的曝+a=1(0＜匕＜6)的

离心率相等.椭圆6的右焦点为R过点尸的直线与椭圆G交于A,B两点,射线

OB与椭圆交于点C,椭圆C2的右顶点为D.

⑴求椭圆的标准方程;

(2)若AAB。的面积为VTU,求直线AB的方程;

(3)若4尸=2BF,求证：四边形AOCD是平行四边形.

答案和解析

l.B

解：直线直线Ex+y—3=0的斜率等于—旧，设倾斜角等于仇即。=:，

绕它与尤轴的交点(百,0)顺时针旋转半

所得到的直线/的倾斜角等于。-p故所求直线/的斜率为tan(竽-9=百，

故所求的直线方程为y—0=百(%—g)，即日万—y—3=0,

故选：B.

2.A

解：•直线y=x—8的斜率为1,

•,・直线y=%-旧的倾斜角为45。，

3.B

解：由y—2=百(％+1)的可知斜率k=百，故倾斜角60。，

令x=0可得在y轴上的截距2+V3.

4.B

解：由直线的倾斜角a的范围是爷,

得直线的斜率存在时，有k<-1或k>1.

当加72时，施B=E=总

二总<T或总>1,

解得0vmv2或2<mV4.

当直线的斜率不存在时，血=2符合题意,

综上，实数机的取值范围是(0,4).

故选：B.

5.A

解：设直线/的斜率为左，则仁寡Utan詈=-痔

故m=-2V3.

故选：A.

6.B

解：对A过点P(l,2)且在x,y轴截距相等的直线方程，

要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，

当直线过原点时，直线方程为2尤-y=0;

当直线不过原点时，设直线方程为2+

直线经过P(l,2),故：+:=1,解得a=3,即彳+；=1

所以直线方程为x+y—3=0,所以A错误.

对3：直线y=3%-2在y轴上的截距，令l=0,得y=-2,

所以直线y=3%-2在y轴上的截距为—2,所以3正确.

对C:直线X-V3y+1=0的斜率为g,设倾斜角为a,

则tana=g,a€[0。,180。)，所以a=30。，所以C错误.

对D：过点(5,4)并且倾斜角为90。，斜率不存在，

所以直线方程为x=5,即x—5=0,所以。错误.

故选B.

7.D

解：根据题意可知P(-2,1)在直线人上，

设直线匕的倾斜角为a,直线%的倾斜角为6，则£=(a+45。),

由tana=

,ctana+tan4507+1«

•*,tCLTlp——j=3,

l-tanatan451——xl

2

即直线4的斜率为3,

所以y—1=3(x+2),即y=3x+7,

故选D

8.B

解:由椭圆的方程知点4(-4,0),点8(4,0),设点P(m.n),

kpA,kpB=----------------=---------，16712=9(7712―16),

%m+4m-416vJ

22

•••点尸在椭圆上，，卷■+晟=1,16n2+m2b2=16b2

•••b2=9,=合一/=7,・•.c=V7，，焦距为：2c=2A/7-

故选艮

9.A

解：直线/：ax+y—a—1=0,即矶%—1)+y-1=0,

令口之,解得d

可得直线/经过定点P(l,l).

kpA=yr=—2，kpB==|.

直线/：a%+y-a-1=0与线段A3相交，

则直线/的斜率取值范围是(-8,-2]U[|,+8).

故选：A.

10.B

解：直线1211210%-37+1=0的斜率为：1211210°=1211(：180°+30°)=121130°=圣

设直线的倾斜角为a,

则tana=g,因为倾斜角的范围为[0。,180。)

a=30°.

故选艮

11.A

解：直线x+y=1的斜率是—1.

故选：A.

直线ax+by+c=0的斜率为k=—£.

12.A

解：设喜=x：(：)=k,贝琳表示点P(x,y)与点M(T,0)连线的斜率.

把圆的方程/+V一4%+3=0化为标准方程得(x-2/+V=1,

故圆心坐标为(2,0),半径r=l,

可知当直线依一y+k=0与圆相切时，k取得最值.

由黯=1,解得卜=+业，则出的最大值是坦，

Vfc2+1—4%+14

故选人

13.A

解：直线/：ax+y—a—1=0,即以%—1)+y—1=0,

令对之，解得

可得直线/经过定点

直线/：a%+y-a-1=0与线段A3相交，

则直线/的斜率取值范围是(-8,-2]U[|,+8).

故选：A.

14.-^

解：由于直线/的一个方向向量为9=(3,—4),

则直线的斜率为-%

j15--2

解:已知4(一1,2)、8(2,0)、C(x,3),且A、B、。三点共线,

所以七B=

7/1八Ats2-(-1)=--3=kB几C=—x-2,

解得：%=-|，

故_|.

16卜今耳

17.(3,—2),1

解：直线士%—ay—2a—3=0,

整理得：(%—3)—a(y+2)=0,

故直线经过定点(3,-2),

又直线/的斜率为二

a

则i=tan[=1,

a4

解得：a=1.

故答案为(3,-2),1.

18.解：由题可知椭圆的方程为％2+艺=1,令X=cosa,y=2sina.

4

(1)2%+y=2cosa+2sina=2V2sin(a+匀E[—2y/2,2^/2],

则可知2%+y的取值范围为[-2VX2VI|；

22

(2)x2+(y—V3)=cos2a+(2sina—V3)=3sin2a—4V3sina+4,sinaG[—1,1].

☆t=sina€[-1,1],则y=3/-4V^+4,tE[-1J]

开口向上，对称轴t=[―1,1],

"min=7-4V3,ymax=7+4V3.

则/+(y—百)2的取值范围为[7-4V3,7+4V3]；

(3)设鬻=鼠贝Uy+2=k(x+3),即直线与椭圆有交点.

仅+2=fc(x+3)

则有7y2t=(4+/c2)x2+2fc(3fc—2)%+(3fc—2)2—4=0,

H——=1'

4

即4=4k2(3k-2)2-4(4+fc2)[(3/c-2)2-4]>0,

解得：04k4|,

即鬻中,J

19.解:⑴圆C的标准方程为(x+I)2+(y-2尸=4,

圆心为(-1,2),半径为2,二表示圆上动点(x,y)与定点M(L-1)连线的斜率，

点M在圆外，过点M的直线x=1恰为圆的切线，设过点M的斜率存在的切线方程为

y+l=fc(x-l),由点到直线的距离得到与豁=2,解得k=—卷，

如下图所示，”的取值范围是(-0-卷]；

(2)设Q(l,0),则|PQ|=JO—1)2+*,

则Zmax=(IQC|+2)2=(2V2+2)2=12+8V2,

zmin=(|QC|-2)2=(2V2-2)2=12-8V2,

故可得12-8V2<z<12+8近，

所以z的取值范围是[12—8位,12+8V2].

20.解：⑴等=5,等=-2,.MB的中点坐标为(5,-2),

—6—24

k7AB=-=

MB的中垂线斜率为:，

••・由点斜式可得y+2=|(%-5),

28的中垂线方程为3%-4y-23=0.

(2)由(1)知题B=-£

则由点斜式得y+3=-1(x-2),

•・・直线I的方程4x+3y+l=0.

⑶设8(2,2)关于直线/的对称点

rn-2_3

由点斜式可得y+6=-g(x-8),整理得11%+27y+74=0

•••反射光线所在的直线方程为11久+27y+74=0.

21.解：(1)由题意知，椭圆C］的长轴长2al=6,短轴长2瓦=2遍,

焦距2cl=2,讲—b：=4,

椭圆C2的长轴长2a2=12,短轴长2b,焦距2c2=2,36—炉.

因为椭圆C1与的离心率相等，所以最=器即|="空

因为0<b<6,所以匕2=20,

所以椭圆。2的标准方程为，+/=L

(2)因为椭圆G右焦点为尸(2,0),且A,O,B三点不共线,

22

设直线”的方程为久=my+2,联立卷+W=1,

消了得(5m2+9)y2+20my-25=0.

设4(久i，yi),8(%2，丫2)，4=(20m)2+100(5m2+9)>0,

昕以_-20m±J(20m)2-4(5?n2+9)x(-25

所^1,2=2(5m2+9)

_-20m±30Vm2+l

—2(5m2+9)’

Rn.20m-25

即%+%=—wy，2=R.

(方法一)因为SMB。=SAAOF+SABOF=lOF\yi\+^OF\y2\

1

=^OF\y1-y2\=|yi-y2l

=〃%+%)2-4月力=J(*2+黑=VlO,

化简得257n4=9,所以7n=+虎，

-5

所以直线AB的方程为1=土誓y+2,即5%土V15y—10=0.

22

(方法二)48=V(x1-x2)+(y1-y2)=1(1+77^)171—y21

\(当一如

2

=Jl+m\y1-y2\.

因为点D到直线AB的距离为d=

Vl+m2

AB

所以SMBO=l-d=|yi-y2l.

以下同方法一.

（3）（方法一）因为AF=28F,所以羽=2丽.

因为S（x2,y2）,尸（2,0）,所以（2一修,一为）=2（犯一2,火），

*二◎①，

所以

因为4（%1，%），B（%2,丫2）在椭圆=1上，

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