高中数学湘教版选修2-3

高中数学湘教版选修2-3

8.2.7离散型随机变量的方差教学设计

福建省寿宁县第一中学吴世朗

一、教学内容解析

1、教材的地位和作用

(1)方差是紧接着均值学习之后又一个度量离散型随机变量的特征数。通过实例使学

生理解取有限值离散型随机变量方差的含义：随机变量的方差刻画了随机变量取值的稳定

性。离散型随机变量的均值刻画了它的平均水平，而方差则是从另一个侧面刻画了随机变量

的取值特点。

(2)利用方差解决实际问题。在一些决策问题中，会有很多可供选择方案，那么如何

科学地选择好的方案？在随机变量均值相同的情况下比较方差是其中一种方法。

2、教学重点与难点

重点：离散型随机变量方差的概念及应用。

难点：如何利用均值与方差在实际问题中作出科学的决策。

二、教学目标设置

［知识与技能目标］

通过实例，让学生理解离散型随机变量方差的概念，了解其实际含义。

会计算简单的离散型随机变量的方差，并解决一些实际问题。

［过程与方法目标］

经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会类比思想，培养学生归纳、概括等合情

推理能力。

通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意

识。

［情感与态度目标］

通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。在学生分析问题、

解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。

三、学生评价及教学策略分析

1、评价学生学习过程

本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，

在教学中注意观察学生是否置身与数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，

并愿意与老师、同伴交流自己的想法。

2、评价学生的基础知识，基本技能和发现问题、解决问题的能力

教学中通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，

教师根据反馈适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑,

并抓住学生在语言、思想等方面的两点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上。

四、教具准备：多媒体、实物投影仪

五、课时安排2

教学问题设计意图师生活动

环节

1•.数学期望：一般地，若离散型随机变量温故而知新，教师让学生完成问题，

f的概率分布为为方差的定义与性检验学生掌握情况

・・・・・・贡给出铺垫。

X\X2Xn

・・・•・・

复PPiAPn

习

引则称E百=MP]+x2p2+—+xnpn+•••

入

为f的数学期望，简称期望.

互2.数学期望是离散型随机变量的一个特征

动

数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

3.期望的一个性质：E(a^+b)=aE^+b

4、如果随机变量X服从两点分，即X〜B

(1,p)E€=p

5、如果随机变量X服从二项分布，即X〜B

(n,p),则EX=np

n

6.若X〜H(N,M,n),则E(X)=­M

N

要从甲、乙两同学中挑选出一名，代表班级参给出引例让学生感教师启发学生分析引例

建构加射击比赛.根据以往的成绩记录，甲、乙同受到离散型随机变中的''分析"，从而引发

概念学在同一条件下射击，所得环数XI,X2分布量的数字特征均值对离散型随机变量特征

列如下：只是刻画它特点的的深度思考.

一个量，而还有一些

8910特征无法刻画出来，

(1)P0.20.60.2为方差的给出提供

引事实依据。

例

X?

探8910

究

P0.40.20.4

请问应该派哪名同学参赛？

解]=9,以=9

两人水平相当

通让学生经历概念教师启发学生看到从样

2的建构过程，并为离本到总体的变化过程

样本方差s=-小―X7+.•.+£—初

n散型随机变量方差中，量发生的变化，从

概念的自然得出提而通过类比得出一般离

(2)供可能并类比得出散型随机变量方差的公

离散型随机DX=p仙-EX)2+…+p„(x„-EX)2

概离散型随机变量方式。

念变量方差差的定义。

得类比是数学中的一

出种很重要的能力，此

处通过类比让学生

体验到知识迁移的

过程，为学生能力的

升华提供可能。

加深公式记忆

方差定义DX=A&-EX1+…+pn(x„-EX^

标准差定义依=J5f

随机变量的方差与标准差都反映了随机变

量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越

小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，

即越集中于均值。用它们可以指导人们的生产

实践活动.

例1：已知随机变量X的分布歹।如下：弄清和理解数学概师生互动，合作探讨，

(3)X01234念是学生学好数学解决问题

概P0.10.20.40.20.1的基础和前提。为了

念求OX和oX.(3X=1.2,0%=71^=1.095)加深学生对公式的

理理解与记忆设置了

解道例题。

(4)弄清两种特殊分布师生互动，合作探讨，

(1)+b)=a2D^；

拓的公式，为了加深学解决问题

展(2)若X服从两点分布，则DX=p(l-p)。生对公式的理解与

提(3)若X〜庾〃，p),贝！JDX=〃〃(1一2).运用，设置了2道例

升例2、已知〃=3。+，,且。。=13,则=_题。

8

方则3、某厂一批产品的合格率是98%,检验单位

差从中有放回地随机抽取10件，计算：

的(1)抽出的10件产品中平均有多少件正品；

性(2)计算抽出的10件产品中正品数的方差和

质标准差。

解：(1)利用二项分布的期望公式得到E(X)

=10X0.98=9.8,因此平均有9.8件正品.

(2)X的方差D(X)=10X0.98X0.02=0.196,标

准差个DXg0.44

(5)例4(引例解决)、要从甲、乙两同学中挑选出通过引例再探，让学师生互动，合作探讨，

实际一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成生体会到实际问题得出结论。

应用绩记录，甲、乙同学在同一条件下射击，所得的复杂性，引导学生

环数XI,X2分布列如下：全面客观地分析问

引题，并且让学生体会

例8910到科学的决策需要

再P0.20.60.2全面的理论支持。

探所设置的三个问题

将学生的注意力转

X

28910而集中到对方差概

念的应用及理解上，

p0.40.20.4也就是在均值相同

试用击中环数的期望与方差分析比较两的情况下利用另一

名射手的射击水平。个数字特征方差来

作出决策；

问题1:如果你是教练，你会派谁参加比

赛呢？

问题2：如果其他对手的射击成绩都在8

环左右，应派哪一名选手参赛？

问题3：如果其他对手的射击成绩都在9

环左右，应派哪一名选手参赛？

角军;,=9,EX2=9

DX}=0.4,DX2=0.8

例5、根据以往经验，一辆从北京开往天津的实例应用----赢利师生互动，合作探讨，

(6)长途汽车在无雨天赢利230元，小雨天赢利问题，数学的生活中得出结论。

实163元，中雨天赢利90元。根据根据天气预实际应用。

例报，明天无雨的概率是0.2,有小雨的概率是

应0.3,有中雨的概率是0.5,问明天发一辆长

用途车期望赢利多少元？方差和标准差各是多

少？

解：用X表示明天发一辆长途车的赢利。

则X的可能取值为230,163,90。

所以P(X=230)=0.2,P(X=163)=0.3,

P(X=90)=0.5。

则E(x)

=230x0.2+163x0.3+90x0.5=139.9

(元)

于是明天发一辆长途车期望赢利139.9元。

方差为：

D(X)=(230-139.9)2x0.2+(163-13).9)2x0.3+(90-13119)2x0.5

=3028.69

标准差b=JO(X)=V3028.69«55

通过均值与方差的师生互动，合作探讨，

(7)计算学生发现工资得出结论。

实例6、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能的平均水平相同，方

践获得如下信息：差的差距很大，所以

操甲单位不同1200140016001800学生在解决这个问

作职位月工资题时会有不同的看

>X1/元法。所以本题以开放

巩获得相应职0.40.30.20.1题的形式让学生自

固己设计问题。通过问

位的概率2

提题设计，引发学生的

升认识冲突，让学生的

乙单位不同1000140018002200全面认识和解决问

职位月工资题能力有一个升华。

X?/元在设计问题的过程

获得相应职0.40.30.20.1中让他们明白个人

实力的重要性。

位的概率

生活中蕴含数学知

根据工资待遇的差异情况，请你设计出几个不识，数学知识又能解

同的问题来分别选择甲或乙单位决生活中的问题。两

道例题与生活密切

EX,=1400,0%,=40000;EX2=14«),DX2=160000

联系，让学生感受数

学在生活及社会各

个领域中的广泛应

用。

你有哪些收获？让学生知道理解概

(8)念是关键，掌握公式

归是前提，实际应用是

纳深化。

总小结除了注重知识，

结还应注重引导学生

对解题思路和方法

的总结，可切实提高

学生分析问题，解决

问题的能力，并让学

生养成良好的学习

数学的方法和习惯。

作

业作业课后习题及校本练习

六、板书设计

七、课后反思

⑴求离散型随机变量f的方差、标准差的步骤：

①理解f的意义，写出f可能取的全部值；

②求<取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列“由期望的定义求出

④根据方差、标准差的定义求出bg.若g〜B5,M，则不必写出分布列，

直接用公式计算即可.

⑵对于两个随机变量乙和&，在和七么相等或很接近时，比较和。42,可

以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要.

离散型随机变量的方差教案

一、三维目标：

1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分

布列求出方差或标准差。

2、过程与方法：了解方差公式“〃(a*8)=/%”，以及“若B5,P),则〃§=即(1

一面”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与

人文价值。

二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差.

三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题.

四、教学过程：

2.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水

平.

3.期望的一个性质：E(a占+b)=aE占+b

4、如果随机变量X服从两点分布为E&=np

5、如果随机变量X服从二项分布，即X〜B(n,p),则EX=np

(二)、讲解新课：

1、互动探索

引例：要从甲、乙两同学中挑选出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,

甲、乙同学在同一条件下射击，所得环数XI,X2分布列如下:

XI8910

X28910

P0.20.60.2

P0.40.20.4

请问应该派哪名同学参赛？

解依।=9,%=9

2、离散型随机变量取值的方差的定义:

设离散型随机变量X的分布为：

•・・・・・

X\X2Xn

・・・・・・

P0RPn

1.方差：对于离散型随机变量f,如果它所有可能取的值是占，x2,Xn，'

且取这些值的概率分别是外，…，〃〃，…，那么，

0=(再一EJ)2.Pl+(%2-砥2•P2+•“+(X“-E&)2.Pn+…

称为随机变量f的均方差，简称为方差，式中的是随机变量f的期望.

则(x「EX)2描述了x；(i=l,2,…n)相对于均值EX的偏离程度，而

2

DX=£(%,.-EX)A

/=|

为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度。我们称DX

为随机变量X的方差，其算术平方根J而叫做随机变量才的标准差.

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的

值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

例1、已知随机变量X的分布

X01234

P0.10.20.40.20.1

求DX和4DX

解：£X=0x0.14-1x0.2+2x0.4+3x0.2+4x0.1=2

DX=(0—2)2x0.1+(l—2尸x0.2+(2—2尸x0.4+(3—2尸x0.2+(4—2)2x0.1=12

y[DX=VL2a1.095

(四)、方差的性质

(1)D(a^+b)=a2D^

(2)=E$-(魅＞；

(3)若X服从两点分布,则DX=p(l-p)。

(4)若X〜夕(〃，p),贝UDX二即(1一2).

例2、已知〃=3占+工，且。4=13,则。〃=_

8

解得：117

例3、某厂一批产品的合格率是98%,检验单位从中有放回地随机抽取10件，计算：

(1)抽出的10件产品中平均有多少件正品；

(2)计算抽出的10件产品中正品数的方差和标准差。

解：用X表示抽得的正品数，由于是有放回地随机抽样，所以X服从二项分布B(10,

0.98)

(1)利用二项分布的期望公式得到E(X)=10X0.98=9.8,因此平均有9.8件正品.

(2)X的方差D(X)=10X0.98X0.02=0.196,标准差4DX-0.44

(四)、方差的应用

例4：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数XI,X2分布列如下:

X28910

P0.40.20.4

XI8910

P0.20.60.2

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

解;反¥।=9,£¥,=9DXt=0.4,DX2=0.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常

发挥比较稳定，多数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8—10环。

问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？

问题2：如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？

问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？

例5、根据以往经验，一辆从北京开往天津的长途汽车在无雨天赢利230元，小雨天赢

利163元，中雨天赢利90元。根据根据天气预报，明天无雨的概率是0.2,有小雨的概率

是0.3,有中雨的概率是0.5。问明天发一辆长途车期望赢利多少元？方差和标准差各是多

少？

解：用X表示明天发一辆长途车的赢利。则X的可能取值为230,163,90。

所以P(X=230)=0.2,P(X=163)=0.3,P(X=90)=0.5。X的分布列如下表

X23016390

P0.20.30.5

则E(x)=230x0.2+163x0.3+90x0.5=139.9(元)

于是明天发一辆长途车期望赢利139.9元。

方差为：

D(X)=(230-139,9)2x0.2+(163-139.9)2x0.3+(90-139,9)2x0.5

=3028.69

标准差cr=j£)(X)=73028.69®55。

(五)巩固练习

例6.有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息:

甲单位不同职位月工资XM元1200140016001800

获得相应职位的概率P.