平面机构的运动分析课件

平面机构的运动分析§3－1机构运动分析的目的与方法§3－2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用§3－3用矢量方程图解法作机构速度和加速度

分析§3－4综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复

杂机构进行速度分析§3－5用解析法作机构的运动分析青岛科技大学专用潘存云教授研制

所谓机构运动分析，就是不考虑引起机构的外力、构件变形、运动副中的间隙等因素，仅从几何的角度研究已知原动件的运动规律时，如何求其他构件的运动参数，如点的轨迹、构件位置、速度和加速度等。§3－1机构运动分析的目的与方法

设计任何新的机械，都必须进行运动分析工作。以确定机械是否满足工作要求。1.位置分析分析内容：位置分析、速度分析和加速度分析。青岛科技大学专用潘存云教授研制①确定机构的位置（位形），绘制机构位置图。②确定构件的运动空间，判断是否发生干涉。50分③确定构件(活塞)行程，找出上下极限位置。④确定点的轨迹（连杆曲线），如鹤式吊。2.速度分析①通过分析，了解从动件的速度变化规律是否满足工作要求。如牛头刨②为加速度分析作准备。ACBEDHDHE青岛科技大学专用潘存云教授研制3.加速度分析的目的是为确定惯性力作准备。方法：

图解法－简单、直观、精度低、求系列位置时繁琐。解析法－正好与以上相反。实验法－试凑法，配合连杆曲线图册，用于解决实现预定轨迹问题。青岛科技大学专用潘存云教授研制12A2(A1)B2(B1)§3－2速度瞬心及其在机构速度分析中的应用

机构速度分析的图解法有：速度瞬心法、相对运动法、线图法。瞬心法尤其适合于简单机构的运动分析。一、速度瞬心绝对瞬心－重合点绝对速度为零。P21相对瞬心－重合点绝对速度不为零。

VA2A1VB2B1Vp2=Vp1≠0

Vp2=Vp1=0

两个作平面运动构件上速度相同的一对重合点，在某一瞬时两构件相对于该点作相对转动，该点称瞬时速度中心。青岛科技大学专用潘存云教授研制特点：

①该点涉及两个构件。

②绝对速度相同，相对速度为零。

③相对回转中心。二、瞬心数目

∵每两个构件就有一个瞬心

∴根据排列组合有P12P23P13构件数4568瞬心数6101528123若机构中有n个构件，则N＝n(n-1)/2青岛科技大学专用潘存云教授研制121212tt12三、机构瞬心位置的确定1.直接观察法

适用于求通过运动副直接相联的两构件瞬心位置。nnP12P12P12∞2.三心定律V12定义：三个彼此作平面运动的构件共有三个瞬心，且它们位于同一条直线上。此法特别适用于两构件不直接相联的场合。青岛科技大学专用潘存云教授研制123P21P31E3D3VE3VD3A2B2VA2VB2A’2E’3P32结论：P21、P31、P32

位于同一条直线上。青岛科技大学专用潘存云教授研制举例：求曲柄滑块机构的速度瞬心。∞P1432141234P12P34P13P24P23解：瞬心数为：N＝n(n-1)/2＝6n=41.作瞬心多边形圆2.直接观察求瞬心3.三心定律求瞬心青岛科技大学专用潘存云教授研制123456123465P23P34∞P16∞P56P45P14P24P13P15P25P26P35举例：求图示六杆机构的速度瞬心。解：瞬心数为：N＝n(n-1)/2＝15n=61.作瞬心多边形圆2.直接观察求瞬心3.三心定律求瞬心P12P46P36青岛科技大学专用潘存云教授研制四、速度瞬心在机构速度分析中的应用1.求线速度。已知凸轮转速ω1，求推杆的速度。P23∞解：①直接观察求瞬心P13、P23

。V2③求瞬心P12的速度。123ω1

V2＝VP12＝μl(P13P12)·ω1长度P13P12直接从图上量取。100分钟nnP12P13②根据三心定律和公法线

n－n求瞬心的位置P12

。青岛科技大学专用潘存云教授研制2.求角速度。解：①瞬心数为6个②直接观察能求出4个余下的2个用三心定律求出。P24P13③求瞬心P24的速度。VP24＝μl(P24P14)·ω4

ω4

＝ω2·

(P24P12)/P24P14a)铰链机构已知构件2的转速ω2，求构件4的角速度ω4

。2341ω2ω4

VP24＝μl(P24P12)·ω2VP24P12P23P34P14方向:

CW,

与ω2相同。相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧，两构件转向相同青岛科技大学专用潘存云教授研制b)高副机构已知构件2的转速ω2，求构件3的角速度ω3

。12ω23P23nn解:用三心定律求出P23

。求瞬心P23的速度

:VP23＝μl(P23P13)·ω3

∴ω3＝ω2·(P13P23/P12P23)ω3P12P13方向:CCW,与ω2相反。VP23VP23＝μl(P23P12)·ω2相对瞬心位于两绝对瞬心之间，两构件转向相反。青岛科技大学专用潘存云教授研制123P23P12P133.求传动比定义：两构件角速度之比传动比。ω3/ω2

＝P12P23

/

P13P23推广到一般：

ωi/ωj

＝P1jPij/

P1iPij结论:①两构件的角速度之比等于绝对瞬心至相对瞬心的距离之反比。②角速度的方向为：ω2ω3相对瞬心位于两绝对瞬心的同一侧时，两构件转向相同。相对瞬心位于两绝对瞬心之间时，两构件转向相反。青岛科技大学专用潘存云教授研制4.用瞬心法解题步骤①绘制机构运动简图；②求瞬心的位置；③求出相对瞬心的速度;瞬心法的优缺点：①适合于求简单机构的速度，机构复杂时因瞬心数急剧增加而求解过程复杂。②有时瞬心点落在纸面外。③仅适于求速度V,使应用有一定局限性。④求构件绝对速度V或角速度ω。青岛科技大学专用潘存云教授研制CD§3－3用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析一、基本原理和方法1.矢量方程图解法因每一个矢量具有大小和方向两个参数，根据已知条件的不同，上述方程有以下四种情况：设有矢量方程：D＝A+B+CD＝A+B+C大小：√？？√方向：√√√√DABCAB

D＝A+B+C大小：？√√√方向：？√√√青岛科技大学专用潘存云教授研制CDBCB

D＝A+B+C大小：√

√√√方向：√√？

？D＝A+B+C大小：√？√√方向：√√？√DAA青岛科技大学专用潘存云教授研制2.同一构件上两点速度和加速度之间的关系1)速度之间的关系选速度比例尺μvm/s/mm，在任意点p作图使VA＝μvpa，ab同理有：

VC＝VA+VCA大小：?√?方向：?√⊥CA相对速度为：VBA＝μvabABCVB＝VA+VBA按图解法得：VB＝μvpb,不可解！p设已知大小：方向：⊥BA√√?√

?青岛科技大学专用潘存云教授研制capb同理有：

VC＝VB+VCB大小：?√?方向：?√⊥CBABC

VC＝VA+VCA＝VB+VCB大小：?√?√?方向：?√⊥CA√⊥CB不可解！联立方程有：作图得：VC＝μvpcVCA＝μvacVCB＝μvbc方向：p→c方向：

a

→c方向：

b

→c青岛科技大学专用潘存云教授研制ABCω＝VBA/LBA＝μvab/μlAB同理：ω＝μvca/μlCA，

ω＝μvcb/μlCB，acb称pabc为速度多边形（或速度图解)p为极点。得：ab/AB＝bc/BC＝ca/CA∴△abc∽△ABC

ω方向：CWp强调用相对速度求青岛科技大学专用潘存云教授研制速度多边形的性质:①联接p点和任一点的向量代表该点在机构图中同名点的绝对速度，指向为p→该点。②联接任意两点的向量代表该两点在机构图中同名点的相对速度，指向与速度的下标相反。如bc代表VCB而不是VBC

，常用相对速度来求构件的角速度。AaCcBb③∵△abc∽△ABC，称abc为ABC的速度影象，两者相似且字母顺序一致。前者沿ω方向转过90°。称pabc为PABC的速度影象。AaCcBbω特别注意：影象与构件相似而不是与机构位形相似！pP④极点p代表机构中所有速度为零的点－绝对瞬心的影象。Pp青岛科技大学专用潘存云教授研制速度多边形的用途：由两点的速度求任意点的速度。AaCcBb例如，求BC中间点E的速度VE时，bc上中间点e为E点的影象，联接pe就是VEEeωp思考题：两连架杆的速度影像在何处？青岛科技大学专用潘存云教授研制2)加速度关系ABC求得：aB＝μap’b’选加速度比例尺μam/s2/mm，在任意点p’作图使aA＝μap’a’b”设已知角速度ω，A点加速度和aB的方向a’aAaBb’AB两点间加速度之间的关系有：

aB＝aA

+anBA+atBAωatBA＝μab”b’方向:b”→b’p’aBA＝μab’a’方向:a’→b’

大小：方向：?⊥BA?√√√B→Aω2lAB青岛科技大学专用潘存云教授研制b”b’c’c”c”’

aC＝aA

+anCA+atCA

＝aB

+anCB+atCB同理：aC＝aB

+anCB+atCB大小：?√ω2lCB?方向：?√C→B⊥CB不可解！联立方程：同理：aC＝aA

+anCA+atCA

大小：?√ω2lCA?方向：?√C→A⊥CA不可解！a’p’ABCaAaBω作图得：

aC＝μap’c’atCA＝μac”’c’atCB＝μac’c”方向：c”’→c’

方向：c”→c’

方向：p’→c’

大小：方向：??

√√?√√?√√√√√√青岛科技大学专用潘存云教授研制角加速度：α＝atBA/

lAB得：a’b’/lAB＝b’c’/lBC＝

a’c’/lCAp’a’b’c’－加速度多边形（或速度图解），p’－极点∴△a’b’c’∽△ABCABCb”aAaBb’c’c”c”’ω加速度多边形的特性：①联接p’点和任一点的向量代表该点在机构图中同名点的绝对加速度，指向为p’→该点。aBA＝(atBA)2+(anBA)2＝lAB

α2+ω

4＝μaa’b’aCA＝(atCA)2+(anCA)2＝lCA

α2+ω

4＝μaa’c’aCB＝(atCB)2+(anCB)2＝lCB

α2+ω

4＝μab’c’α方向：CWa’p’＝μab”b’/μlAB青岛科技大学专用潘存云教授研制②联接任意两点的向量代表该两点在机构图中同名点的相对加速度，指向与速度的下标相反。如a’b’代表aBA而不aAB

，常用相对切向加速度来求构件的角加速度。③∵△a’b’c’∽△ABC，称a’b’c’为ABC的加速度影象，称p’a’b’c’为PABC的加速度影象，两者相似且字母顺序一致。④极点p’代表机构中所有加速度为零的点。特别注意：影象与构件相似而不是与机构位形相似！b”p’aAaBABCa’b’c’c”c”’ωABCa’b’c’用途：根据相似性原理由两点的加速度求任意点的加速度。例如，求BC中间点E的加速度aE时，b’c’上中间点e’为E点的影象，联接p’e’就是aE。c’Eα青岛科技大学专用潘存云教授研制B122.两构件重合点的速度及加速度的关系

1)回转副①速度关系

VB1=VB2aB1=aB212B公共点VB1≠VB2aB1≠aB2具体情况由其他已知条件决定仅考虑移动副2)高副和移动副VB3＝VB2+VB3B2pb2b3

VB3B2的方向:b2

→b3

ω3=μvpb3/lCBω1Bω3132AC大小：方向：?√√√?∥BC青岛科技大学专用潘存云教授研制②加速度关系

图解得：aB3=μap’b3’,结论：当两构件构成移动副时，重合点的加速度不相等，且移动副有转动分量时，必然存在哥氏加速度分量。pb2b3Bω1ω313

aB3=anB3+atB3=aB2+arB3B2+akB3B2

大小：方向：ACb’2k’b’3p’b”3α3ak

B3B22方向：VB3B2顺ω3转过90°。

α3＝atB3/lBC＝μab3’’b3’/lBCarB3B2=μak’b3’

B→C??ω23lBC

B→C?√l1ω21B→A?∥BC2VB3B2ω3

√青岛科技大学专用潘存云教授研制二、用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析已知摆式运输机运动简图、各构件尺寸、ω2，求：解：1)速度分析

VB＝LABω2，μV＝VB/pb

图解上式得pbc：VCB＝μVbc,

VC＝VB+VCB

大小：?√?

方向：⊥CD√⊥BCABCDEF123456pb①VF、aF、ω3、ω4、ω5、α3、α4、α5②构件3、4、5中任一速度为Vx的点X3、X4、X5的位置③构件3、5上速度为零的点I3、I5④构件3、5上加速度为零的点Q3、Q5⑤点I3、I5的加速度。I3Q5cω2ω3ω4VC＝μVpb,ω3＝VCB/lCB方向：CWω4＝VC/lCD方向：CCW青岛科技大学专用潘存云教授研制

利用速度影象与构件相似的原理，可求得影象点e。图解上式得pef：VF＝μv

pf,

VF＝VE+VFE

大小：?√?

方向：√√⊥EFbCABDEF123456pc求构件6的速度：ef加速度分析：

aC

=anC+atC

=aB

+anCB+atCBP’c”’b’c’c”ω5ω3ω4大小：方向：??ω24lCDC→D?√√√ω23lCB

√?⊥BC

VFE＝μv

ef,

e→f，方向：p→f，ω5＝VFE/lFE方向：CW青岛科技大学专用潘存云教授研制图解上式得p’c’b’：aC

=μap’c’bCABDEF123456pe’e求构件6的加速度：f

aF

=aE

+anFE

+atFE

大小：?√√?

方向：√√‖FE⊥FE

其中：anFE＝ω25lFEP’c”’b’c’c”利用影象法求得p’c’e’aE

=μap’e’cf’求得:aF

=μap’f’ω5ω3ω4α4α3atFE

=μaf”f’f”α5α5=atFE/lFE方向：CCWα4=atC

/

lCDα3

=atCB/

lCB方向：CCW方向：CCW青岛科技大学专用潘存云教授研制bCABDEF123456pefc利用速度影象和加速度影象求特殊点的速度和加速度：②求构件3、4、5中任一速度为Vx的X3、X4、X5点的位置。ω4α4α3x3x4xx5ω3ω5利用影象法求特殊点的运动参数：求作△bcx∽△BCX3得X3I3I5α5③构件3、5上速度为零的点I3、I5

△cex∽△CEX4得X4

△efx∽△EFX5得X5求作△bcp∽△BCI3得I3

△efp∽△EFI5得I5青岛科技大学专用潘存云教授研制Q3e’p’c”’b’c’c”cf’ABDEF123456ω5ω3ω4α4α3④构件3、5上加速度为零的点Q3、Q5⑤点I3、I5的加速度aI3、aQ5CQ5i3’i5’I3I5求得：aI3=μa

p’i3’

aI5=μa

p’i5’α5求作△b’c’p’∽△BCQ3得Q3

△e’f’p’∽△EFQ5得Q5求作△b’c’i3’∽△BCI3

△e’f’p’∽△EFQ5青岛科技大学专用潘存云教授研制ABCDGωH解题关键：1.以作平面运动的构件为突破口，基准点和重合点都应选取该构件上的铰接点，否则已知条件不足而使无法求解。EF如：VE=VF+VEF

如选取铰链点作为基点时，所列方程仍不能求解，则此时应联立方程求解。如：VG=VB+VGB

大小：?√?

方向：?√

√

VC=VB+VCB

?√?

√√√VC+VGC=VG√??√√?＝大小:???方向：??√青岛科技大学专用潘存云教授研制ABCD4321重合点的选取原则，选已知参数较多的点（一般为铰链点）ABCD1234应将构件扩大至包含B点！不可解！此机构，重合点应选在何处？B点!VB4=VB3+VB4B3?√?√√√如：VC3=VC4+VC3C4大小：???方向：?√

√下图中取C为重合点，有:

VC3=VC4+VC3C4大小：?？

?方向：?√

√当取B点为重合点时:

VB4=VB3+VB4B3

大小：?√?

方向：√

√

√方程可解。tttt1ABC234构件3上C、B的关系：=VB3+VC3B3√?√√青岛科技大学专用潘存云教授研制2.正确判哥式加速度的存在及其方向B123B123B123B1231B23B123B123B123无ak

无ak

有ak

有ak

有ak

有ak

有ak

有ak

②动坐标平动时，无ak

。判断下列几种情况取B点为重合点时有无ak

当两构件构成移动副：①且动坐标含有转动分量时，存在ak

；青岛科技大学专用潘存云教授研制ABCDEFG123456§3－4综合运用瞬心法和矢量方程图解法对复杂机构进行速度分析

对于某些复杂机构，单独运用瞬心法或矢量方程图解法解题时，都很困难，但将两者结合起来用，将使问题的到简化。如图示Ⅲ级机构中，已知机构尺寸和ω2，进行运动分析。不可解！

VC=VB+VCB大小：?√?方向：?√

√若用瞬心法确定C点的方向后，则有：I4tt

VC=VB+VCB大小：?√?方向：√

√

√

可解！此方法常用于Ⅲ级机构的运动分析。青岛科技大学专用潘存云教授研制§3－5用解析法作机构的运动分析图解法的缺点：1.分析结果精度低；随着计算机应用的普及，解析法得到了广泛的应用。2.作图繁琐、费时，不适用于一个运动周期的分析。方法：复数矢量法、矩阵法、杆组法等。3.不便于把机构分析与综合问题联系起来。思路：由机构的几何条件，建立机构的位置方程，然后就位置方程对时间求一阶导数，得速度方程，求二阶导数得到机构的加速度方程。

由机构的几何条件，建立机构的位置方程，然后就位置方程对时间求一阶导数，得速度方程，求二阶导数得到机构的加速度方程。青岛科技大学专用潘存云教授研制jiyx一、矢量方程解析法1.矢量分析基本知识其中：l－矢量的模，θ－幅角，各幺矢量为：e－矢量L的幺矢量，en－法向幺矢量，et－切向幺矢量i－x轴的幺矢量etθLenij则任意平面矢量的可表示为：幺矢量单位矢量j－y轴的幺矢量e青岛科技大学专用潘存云教授研制jiyxθeijej幺矢量的点积运算：e

·

i

e

·

je

·

e

=e2e1·

e2te1·

e2ne1·

e2ei

=ei

＝

cosθ=ej

＝

sinθjiyxθ2θ1e2e1=-

sin(θ2

－θ1)=-cos(θ2

－θ1)=cos(θ2

－θ1)e

·

etet=0＝

1e2ne2te

·

en=en－1青岛科技大学专用潘存云教授研制求一阶导数有：求二阶导数有：vrLθaranak哥式加速度ak对于同一个构件，l为常数,有：L离心(相对)加速度arar=0ak=0离心(相对)速度vrvtvr=0切向加速度at

at切向速度vt向心加速度an青岛科技大学专用潘存云教授研制2.平面机构的运动分析一、位置分析将各构件用杆矢量表示，则有：

已知图示四杆机构的各构件尺寸和ω1,求θ2、θ3、ω2、ω3、α2、α2

。DxyABC1234θ1θ2θ3ω1

L1+L2＝L3+L4

大小：√√√√方向√θ2?θ3?√移项得：L2＝L3+L4

－L1

(1)化成直角坐标形式有：

l2cosθ2＝l3cosθ3+l4cosθ4－l1cosθ1

(2)l2sinθ2＝l3sinθ3+l4sinθ4－l1sinθ1

(3)(2)、(3)平方后相加得：l22＝l23+l24+l21＋2l3l4cosθ3―2l1l3(cosθ3cosθ1-sinθ3sinθ1)―2l1l4cosθ1青岛科技大学专用潘存云教授研制整理后得：Asinθ3+Bcosθ3+C=0(4)其中：A=2l1l3sinθ1B=2l3(l1cosθ1-l4)C=l22－l23－l24－l21＋2l1l4cosθ1

解三角方程得：

tg(θ3/2)=[A±sqrt(A2+B2－C2)]/(B－C)由连续性确定同理，为了求解θ2

，可将矢量方程写成如下形式：

L3＝L1+L2

－L4

(5)

化成直角坐标形式：

l3cosθ3＝l1cosθ1+l2cosθ2－l4

(6)

l3sinθ3＝l1sinθ1+l2sinθ2－0

(7)(6)、(7)平方后相加得：l23＝l21+l22+l24＋2l1l2cosθ1―2l1l4(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)―2l1l2cosθ1青岛科技大学专用潘存云教授研制整理后得：Dsinθ2+Ecosθ2+F=0(8)其中：D=2l1l2sinθ1E=2l2(l1cosθ1-l4)F=l21+l22+l24－l23-2l1l4cosθ1

解三角方程得：

tg(θ2/2)=[D±sqrt(D2+E2－F2)]/(E－F)二、速度分析将L3＝L1+L2

－L4对时间求导得：

l3θ3e3t=l1θ1e1t+

l2θ2e2t

(9)

用e2点积(9)式，可得：

l3θ3e3t·e2=l1θ1e1t·e2

(10)ω3l3sin(θ3

－θ2)=ω1l1sin(θ1

－θ2)ω3=ω1l1sin(θ1

－θ2)/l3sin(θ3

－θ2)

用e3点积(9)式，可得：

-l2θ2e2t·e3=l1θ1e1t·e3

(11)青岛科技大学专用潘存云教授研制-ω2l2sin(θ2

－θ3)=ω1l1sin(θ1

－θ3)ω2=-

ω1l1sin(θ1

－θ3)/l2sin(θ2－θ3)三、加速度分析将（9）式对时间求导得：l3θ32

e3n+l3θ3e3t=l1θ12e1n+

l2θ22

e2n

+

l2θ2e2t

(12)acnactaBaCBnaCBtl3ω32

e3n·e2+l3α3

e3t·e2=l1ω12e1n·e2

+

l2ω22

e2n

·e2

上式中只有两个未知量-ω32

l3cos(θ3

－θ2)-α3l3sin(θ3

－θ2)=-

ω12

l1cos(θ1

－θ2)-

ω22

l2α3=ω12

l1cos(θ1

-

θ2)+

ω22

l2-ω32

l3cos(θ3

-

θ2)/l3sin(θ3

－θ2)

用e3点积(12)式，整理后可得：α2=ω12

l1cos(θ1

-

θ3)+

ω32

l3-ω22

l2cos(θ2

-

θ3)/l2sin(θ2

－θ3)，用e2点积(12)式，可得：速度方程:l3θ3e3t=l1θ1e1t+

l2θ2e2t

(9)aCBt＝0青岛科技大学专用潘存云教授研制二、矩阵法思路：在直角坐标系中建立机构的位置方程，然后将位置方程对时间求一阶导数，得到机构的速度方程。求二阶导数便得到机构加速度方程。1.位置分析改写成直角坐标的形式：L1+L2＝L3+L4，或L2－L3＝L4－L1

已知图示四杆机构的各构件尺寸和ω1,求:θ2、θ3、ω2、ω3、α2、α2

、xp、yp、vp

、

ap

。DxyABC1234θ1θ2θ3ω1abP连杆上P点的坐标为：l2cosθ2－l3cosθ3＝

l4

－l1cosθ1l2sinθ2－l3sinθ3＝－l1sinθ1(13)xp

＝

l1cosθ1+acosθ2+bcos(90º+θ2)yp

＝l1sinθ1+asinθ2+bsin(90º+θ2)(14)青岛科技大学专用潘存云教授研制2.速度分析将（13）式对时间求导得：l2sinθ2ω2

－l3sinθ3ω3

＝ω1l1sinθ1l2cosθ2ω2

－l3cosθ3ω3

＝－ω1l1cosθ1(15)写成矩阵形式：-l2sinθ2l3sinθ3

ω2

l1sinθ1l2cosθ2-l3cosθ3

ω3

-l1cosθ1(16)＝ω1从动件的位置参数矩阵[A]从动件的角速度列阵{ω}原动件的角速度ω1原动件的位置参数矩阵[B]l2cosθ2－l3cosθ3＝

l4

－l1cosθ1l2sinθ2－l3sinθ3＝－l1sinθ1(13)重写位置方程组青岛科技大学专用潘存云教授研制将（14）式对时间求导得：(17)vpxvpyxp

-l1sinθ1-asinθ2－bsin(90º+θ2)yp

l1cosθ1

acosθ2＋bcos(90º+θ2)＝＝ω1ω2速度合成：

vp

＝

v2px＋

v2py

αpv＝tg-1(vpy

/

vpx

)xp

＝

l1cosθ1+acosθ2+bcos(90º+θ2)yp

＝l1sinθ1+asinθ2+bsin(90º+θ2)(14)重写P点位置方程组青岛科技大学专用潘存云教授研制3.加速度分析将（15）式对时间求导得以下矩阵方程：l1

ω1sinθ1l1

ω3cosθ1＝ω2ω3-

l2sinθ2l3sinθ3

l2cosθ2-l3cosθ3α2

α3-

l2

ω2cosθ2

l3

ω3co