高中数学第八章第1节《基本立体图形》提高训练题 (44)(含答案解析)

第八章第1节《基本立体图形》提高训练题（44）

一、单项选择题（本大题共16小题，共80.（）分）

1.在四面体a-BCD中，棱AB=V5,其余各条棱长均为2,则四面体力-BC。外接球的表面积是

（）

A527rB257r257r口137T

•99369

2.设三棱锥P-ABC的每个顶点都在球。的球面上，APAB是面积为b的等边三角形，乙4cB=

45。，则当三棱锥P-ABC的体积最大时，球。的表面积为（）

A.T7rB.10TTC.兰兀D.127r

33

3.已知在正方体中，点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（）

①/PC/一定是锐角；

②G。，平面4BD1；

③存在点P,使AP〃Ci。；

④存在点尸，使QP〃平面AB/.

A.①②

B.②③

C.③④

D.①③

AB

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三

视图，则该三棱锥的外接球的半径为（）

5.如图，正方体4BCD-aB1GD1中，E是棱441的中点，若三棱锥E-BaD外接球的半径R等

于也，则正方体4BC。一公&/£）1的棱长为（）

4

A.1B.2C.2V2D.5企

6.在三棱锥4-BCD中，△ABD与ACBD均为边长为2的等边三角形，且二面角力一BD-C的平

面角为120。，则该三棱锥的外接球的表面积为

A.7TtB.87rC.学D.等

33

7.已知平面a截一球面得圆AL过圆心M且与a成60。二面角的平面0截该球面得圆N.若该球面的

半径为4,圆M的面积为4兀，则圆N的面积为（）

A.77TB.97rC.117TD.13兀

8.已知三棱锥P-4BC中，PA=6,AB=AC=2百，BC=6,PA_L平面ABC,则此三棱锥P-ABC

的外接球的表面积为（）

A.487rB.847rC.1927TD.228兀

9.已知梯形ABC。中，ADIIBC,AB1BC,BC=4,CD=2,AD=3,AD=3AP.以BE为折

痕将△ABE折起，使点A到达点P的位置，且平面PBE_L平面EBCD,则四棱锥P-EBCO外接

球的表面积为（）

A.等B.C.127rD.16兀

10.如图，棱长为2的正方体4BC0-4当口/中，E为CG的中点，点

P,。分别为面AiBiGDi和线段BiC上动点，则^PEQ周长的最小值

为

A.2V2

B.710

C.VTT

D.V12

11.棱长为1的正方体力BCD-&B1GD1中，P为正方体表面上的一个动点，且总有PCIBDi，则

动点P的轨迹的长度为

.3

A.-7TB.47rC.3V2D.4V2

12.在四面体A-BCD中，梭AB=W，其余各条棱长均为2,则四面体A-BCD外接球的表面积是

()

A527rB等257r

A•丁c玄D.罟

13.在三棱锥4-BCD中，△48。与4CB。均为边长为2的等边三角形，且二面角4-BD-C的平面

角为120。，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

167r

A.77rB.8兀c-VD.等

14.在四面体4BC。中，AB=AC=BC=BD=CD=2,AD=遍，则四面体ABC。的外接球的表

面积为（）

A16九

A--B.5TTC.207rD.等

15.在四面体ABC。中，AB=AC=BC=BD=CD=2,力。=乃，则四面体ABC。的外接球的表

面积为（）

A167r

A•亏B.57rC.207rD.等

16.在平面四边形A3CD中，AB1BD,ABCD=60°,3AB2+4BD2=24,若将△4BD沿8。折起

成直二面角4-B0—C,则三棱锥4-B0C外接球的表面积是（）

A.47rB.57rC.67rD.8?r

二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

17.已知正三棱柱ABC-AiBiG的六个顶点都在球。的球面上，AB=2,441=4,则球。的表面

积为

18.如图三棱锥P-ABC中，平面24cJ_平面ABC,AB1BC,AB=BC=2,

PA=PC=3,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为.

19.如图，在正方体48C。中，点P在线段8cl上运动，则下列判断中正确的是

①平面PBi。，平面4C£）i；

②&P〃平面ACDi；

③异面直线4P与4D1所成角的范围是（0,5；

④三棱锥Di-4PC的体积不变.

20.如图，圆柱形容器高为18cm,底面周长为24a”，在杯内壁离杯底4c"?

的点8处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与

蜂蜜相对的点4处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为

__cm.

21.己知平面四边形ABC。由以BQ为共同底边的两个三角形组成.其中，AB=AD=3V2.CB=

CD=2,且CB1CD.若以BD为折痕，将AABD折起，使得平面ABDJL平面BCD.此时，三棱锥

A-BDC的四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为.

22.已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为百的球面上，若月4,PB,PC两两垂直，

则球心到截面ABC的距离为.

23.阅读以下问题和解题过程，指出第一次出现错误之处为（用序号表示）.

在某圆镀中方在4条两两互相垂直的母线求母线与底面所成角的余弦值

错解如图，设底面半径是r,母线长是/,因为4条母线以，VB,VC,V。两两互相垂直，所

以---⑸---，所以48=V2r,VA=>/2AB=2r,

n_OA_l

设母线与底面所成的角是。，所以cose产

⑤

24.在三棱锥S-ABC中，SAABC,4B1AC.若S4=4,三棱

锥S-4BC外接球的表面积为116兀，贝IJS-BS+S*cs+S“BC的最

大值为.

25.在长方体/BCD-4B1C15中,底面ABCD是边长为我的正方形,

=3,E是441的中点，过点G作QF_L平面BQE交平面48&久于点F,则CF与平面ABCQ

所成角的正切值为.

26.如图，在矩形A8CO中，E为边A力的中点，AB=1,BC=2,分别以

4D为圆心，1为半径作圆弧EB,EC,若由两圆弧EB,EC及边BC所围

成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的表面积为

三、多空题（本大题共2小题，共8.0分）

27.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,

但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以

上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面

体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2,则该半正多面体共

有_（1）_个面，其棱长为一（2）一（本题第一空2分，第二空3分.）

图1图2

28.如图，在四棱锥P—4BC0中，底面A8C。为正方形，AB=2AP=4,Z.PAB=^LPAD=60°,

则/PAC=_(1)_；四棱锥P-4BC0的外接球的表面积为_(2)_.

P

四、解答题(本大题共2小题，共24.0分)

(1)设数列｛an｝的前"项和为右，已知又=2%则｛an｝的通项公式为.

(2)若a>0,b>0,lga+Igb=lg(a+b),则a+b的最小值为.

(3)用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1：4,截去的小

圆锥的母线长是3sb则圆台的母线长为_。九

(4)己知三棱柱ABC-&B1G的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球。

的表面上，且三棱柱的体积为：，则球。的表面积为____.

4

29.如图，已知80为圆锥A。底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上=B。=4。2,4BDC=%

o

AE=ED,F是AC上一点，且平面BFE_L平面ABD.

(I)求证：AD1BF；

(II)求多面体BCDEF的体积.

【答案与解析】

1.答案：A

解析：

本题主要考查了球的表面积公式，考查了棱锥的结构特征，属于中档题.

设E、尸分别是AB,CD的中点，证EF是线段AB,CO的公垂线段，得到球心大概位置，利用勾股

定理求出EF,设。E=x,则。F='-x，利用勾股定理求出x,可得。上，然后利用球的表面积公

式计算可得答案

解：如图，设E、F分别是AB,CD的中点，连接E凡

由题得AC=AD=BC=BD=CD=2

所以BF1CD,AF1CD,

又4FC\BF=F,

所以C。，平面AFB

从而CD1EF

又可以求得4F=BF=V3

所以EFJ.4B,

即EF是线段A3,8的公垂线段，球心O在线段EF上

可以求得EF=>JAF2-AE2=|.

设OE=x,则OF=|-x,

所以。A?=AE2+OE2=x2+(y)2=/+:,

OC2=OF2+FC2=(|-x)2+1.

于是/+：=(|-乃2+1,解得X=|

。弟=/+；||=甘

于是四面体4-BCD外接球的表面积是4兀xf=胃

99

故选A.

2.答案：A

解析：

本题考查三棱锥的体积与球体的表面积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.

当CA=CB且平面P4B1底面A8C时，分别求出4。48和44BC的外接圆半径，利用勾股定理即可

求得外接球的半径.

解：如图，由题意得更4”=遮，解得48=2.

4

三角形ABC的面积为S=-ACxBCsin45°=—ACxBC,

24

又由余弦定理知底="C2+BC2-4,

22ACBC

得"2+BC2_4=五AC-BC>2ACFC-4.

即AC-BC<240,

当且仅当。4=CB时取等，

此时三角形ABC的面积取得最大值，

当平面PAB1底面ABC时，三棱锥的高最大，

所以当CA=CB且平面P4B_L底面ABC时，三棱锥P-ABC的体积最大.

分别过△。48和4ABC的外心作对应三角形所在平面的垂线，

垂线的交点即球心0,设AP/IB和AABC的外接圆半径分别为3七，

球。的半径为R,则「1=专，七=：x=V2.

故/?2=域+($)=2+鸿,

球0的表面积为4TTR2=gm

故选A.

解析：

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，是中档题.

根据空间中线线、线面间的位置关系对①②③④逐一进行判断即可.

解：在①中，当点P运动到点B时，点P,G，B,三点共线，故①错误；

在②中，由正方体的性质可得的。14。，GDlCDi，

因为4。〃&心,CD、〃A\B,

所以G。1141B,

又4也门4/=4,u平面&BD1，

所以G。J•平面4BD1，故②正确；

在③中，•••C1/V/4B1，所以当点P运动到4道与AB】的交点时，AP//CrD,故③正确；

在④中，■.,点。€平面A3Q.点Pg平面.43。卜

.•・GP与平面ABD相交，故④错误.

故选：B.

4.答案：B

解析：

本题考查的知识点是球的体积和表面积，球内接多面体，简单几何体的三视图，难度不大，属于中

档题.

由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球球心。在过CD的中点E且垂直于平面

BC。的直线/上，利用勾股定理，进而得到答案.

解：由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥4-BCD,产为8。的中点，外接球球心。在过C。

的中点E且垂直于平面BC。的直线/上，

又点。到A,B,。的距离相等，

二。又在过左边正方体一对棱的中点M,N所在直线上，

在AOEN中，由霁=黑，即|=焉得0E=3,

MEOE3OE

••・三棱锥力-BCD外接球的球半径R='OE?+BE2=心+(⑨2=g

故选艮

5.答案：B

解析：

本题考查空间几何体的结构特征及线面垂直的判定，考查空间想象能力及计算能力，属于中档题.

根据儿何体的结构特征，确定三棱锥E-8B1D外接球的球心位置，然后运用勾股定理即可解题.

解：设当0中点为尸，易证BOJ.BB1，岳?_1_平面881。.

所以三棱锥E-8当0外接球的球心在EF上,

设正方体棱长为m球心为O,

则。片+陶=OBl，

...("豹+弓药口2

解得a=2.

故选艮

6.答案：D

解析：

本题考查了球的表面积公式的应用，重点考查球的球心位置的判定.属于中档题.

首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最后确定球的表面积.

解：如图所示：

因为△48。与48CD是边长为2的等边三角形且二面角4-BD-C为120。,

取△力BD和aBCD的中心F,E,取BO的中点记为G,连接EG,FG,

所以NEGF=120°,

则球心。为过△BCD的中心的垂线的交点,

在四边形OEG中可计算得：OE=OF=1,又因为E0=2,

3

利用勾股定理得：球的半径「=]#+(争2=亨，

则外接球的表面积S=4兀♦£=等.

故选。.

7.答案：D

解析:

本题考查球的结构和特征，考查圆的面积公式，属中档题.

由条件求出圆N的半径，即可求出答案.

由题意可知4AMN=60°,设球心为。，连接ON、。例、OB、OC,则ON1CD,OM1AB,且OB=4,

OC=4.

在圆M中，n-MB2=4TT,

•••MB=2.

在小OMB中，OB=4,

OM=2V3.

在△MN。中，OM=2曲,NNM。=90°-60°=30°,

ON=V3.

在ACN。中，ON=6，OC=4,CN=V13.

S=TT-CN2=137r.

故选D.

8.答案：B

解析:

本题考查了三棱锥的外接球表面积与计算能力的应用问题，确定三棱锥的外接球半径是解题的关键,

属于基础题.

根据已知求出△A8C外接圆的半径，从而求出该三棱锥外接球的半径和三棱锥的外接球表面积.

解：,••底面AABC中，AB=AC=2V3，BC=6,

AB2+AC2-BC2

・•・cosZ.BAC=

-2-AB-AC-

12+12-361

-----------------—―,

2x26x262

・・Z8/C是三角形中的内角,

L.BAC=120°,

••・sin/B4c=3

设△ABC的外接圆半径为r,

ABC的外接圆半径丁=3*专=2修

2

设三棱锥外接球的半径为R,

R2=r2+(y)2=(2遮尸+32=21.

所以三棱锥P-力BC外接球的表面积S=4兀/?2=847r.

故选：B.

9.答案：D

解析：

本题考查球表面积以及空间中的距离，题目难度较大.

通过计算各线段长度，确定四棱锥P—EBCD外接球的球心为BC的中点是解题的关键.

解：由题意，作出示意图，如图所示：

取线段BC的中点0,过E作EF1BC于凡过,P作PH工BE于H,过。作DG10C于G,连接

OH,OP,0D,OE,

由题意可知，481BC,DG1BC,故。G〃4B,故四边形A8G。为矩形，则BG=AD=3,GC=1,

故DG=V22—I2=V3，

在梯形48co中，由于且4B_LBC,故4BAE=90。，即乙BPE=90。，

由于荷=3荏，则有AE=1,即PE=1,故BE=JI2+(代尸=2,则四边形BECC为等腰梯

形.

在4OCG中，由于OC=2,CG=1且Z0GC=90°,故NOCG=LEBO=60°.

在AEB。中，BE=B0=2,故△E3。为等边三角形，则有。E=2,同理0D=2.

在ZkPBE中，因为Z_EBO=60°,则NPBE=90°—60°=30°,则ZEPH=30°,故HE=TPE=%

BH=2--=-.PH=—

222

在△BH。中，由余弦定理可得，

Q•>11♦)

OH2=BH2+BO2—1BHBO-cos6(F=2s+(x)2-2x2x-xi=—.

'2224

由于PH1BE且平面PBE1平面EBCD,平面PBEC平面EBCD=BE,故PH1平面EBCD,由于H。u

平面E8C£>,则PHIHO,

则在△PH。中，OP=y/PH2+OH2=*+—=2.

故四棱锥P—3EC〃的外接球球心为点。，该球的半径r=OB=2,表面积为S=4乃/=16兀.

故选O.

10.答案：B

解析:

本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查运算求解能力，考查化归与转

化思想，属于较难题.

由题意得：APEQ周长取最小值时，P在BiG上，在平面B1QCB上，设E关于BiC的对称点为

关于BiG的对称点为N,求出MN,即可得到^PEQ周长的最小值.

解：由题意得可画下图：

△PEQ周长取最小值时，P在BiQ上，

在平面Bi/CB上，设E关于BiC的对称点为M,关于BiG的对称点为M

连接MM当与BiG的交点为P,MN与&C的交点为。时，

则MN是KPEQ周长的最小值，

EM=V2,EN=2,4MEN=135°,

MN=J4+2-2X2X\/2X(-y)=V10>

PEQ周长的最小值为g.

故选B.

11.答案：C

解析：

本题考查直线与平面垂直的判定和性质的应用，考查空间想象能力、推理能力，属中档题.

根据正方体的结构特征，易证BO1，平面只要P在平面平面4B1C内总有PC_LBDi,则P的轨

迹为图中的三角形481c除去C点，即可解答.

解：如图：连接&C,AC,AB1，

正方体ABC。一4B1GD1中，由ACJL平面B&Di。，则力

由B]C1平面4BGD1，则BiC_LBDi，

所以BD11平面AB]C,

只要P在平面平面4&C内总有PC1B%

P为正方体表面上的一个动点，所以P的轨迹为图中的三角形Z&C除去C点，

由正方体的棱长为1,所以4C=夜，三角形4&C的周长为3VL

故选C.

12.答案：A

解析：

本题考查几何体与球，以及球的表面积，属于中档题.

设E、尸分别是AB,CD的中点，由已知可得EF是线段AB,CZ）的公垂线段，得EF=yjAF2-AE2=|,

再求出球的半径，即可求解.

解：如图，

A

设E、F分别是A8,CO的中点，易证EF是线段AB,。的公垂线段，得EF=-汨=|.

问题转化为：EF上是否存在一点O,使得04=0C即可.

设。E=x,则。F=x,0A2=AE2+0E2=x2+(y)2=x2+;>

OC2=OF2+FC2=(|-x)2+1.

于是/+[=(|—x)2+1,

解得x=f.

o

OA2=x24--=~.

4369

于是四面体A-BCO外接球的表面积是4兀X孩=等.

故选A.

13.答案：D

解析:

本题考查了球的表面积公式的应用，重点考查球的球心位置的判定.属于中档题.

首先确定球心的位置，进一步确定球的半径，最后确定球的表面积.

解：如图所示：

因为△48。与4BCD是边长为2的等边三角形且二面角4-BD-C为120。,

取和△BC。的中心F,E,取3。的中点记为G,连接AG,CG,

则力G1BD,CG1BD,

所以乙4GC=120°,即/EGF=120°,

过点尸作平面4B。的垂线，过点E作平面BCD的垂直，两垂线相交于点0,则点。即为该三棱锥

的外接球球心，

由题可得AG=CG=V3.EG=FG=9，乙EOF=60°,

在四边形。EGF中可计算得：0E=0F=l,又因为E0=2,

3

则球的半径r=+(怜2=”，

则外接球的表面积S=4兀♦£=等.

故选D

14.答案：D

解析：

本题考查简单组合体及其结构特征，球的表面积和体积，考查空间想象能力和逻辑推理能力和计算

能力，属于中档题.

由题意，取BC的中点E,连接AE,ED,判断面A8C与面BCD垂直，设△ABC外接圆的圆心为。2,

△BCD外接圆的圆心为01，四面体ABC。的外接球的球心为。，则四边形。OzEOi是正方形，可得

。。1=争。m=等，由/?2=。0苫+0。=£利用球的表面积公式可得结论.

解：由题意，取BC的中点E,连接AE,ED,•­•AB=AC=BC=BD=CD=2,AD=V6,

AE=DE=V3,AE2+DE2=AD2,■■■AE1BC,AE1ED,BCC\ED=E,AE10BCD,

乂AEu面ABC,：.^ABC_L面BCD,

设A/IBC外接圆的圆心为。2，△BCO外接圆的圆心为。i，四面体ABCQ的外接球的球心为O,

则四边形。。2后。1是正方形，可得0。］=3。］。=也，由产=。0"。道2

333

二四面体ABCD的外接球的表面积为4兀/?2=47rx合等.

故选£).

A

15.答案：D

解析:

本题考查简单组合体及其结构特征，球的表面积，考查空间想象能力和逻辑推理能力和计算能力，

属于中档题.

由题意，取8c的中点E,连接AE,ED,判断面ABC与面BCD垂直，设△4BC外接圆的圆心为。2,

△BC。外接圆的圆心为01，四面体A8C。的外接球的球心为O,则四边形。。2E0］是正方形，可得

。。1=苧，。山=等，由/?2=。0：+0］。2=|,利用球的表面积公式可得结论.

解：由题意，取8c的中点E,连接AE,ED,"AB=AC=BC=BD=CD=2,AD=瓜，

•••AE=DE=V3>+DE2=AD2,•-AE±BC,AE1ED,BCnED=E,•••AE±51BCD,

又4Eu面ABC,.♦.面4BC1面BCD,

设A/IBC外接圆的圆心为。2，ABC。外接圆的圆心为0i，四面体ABCQ的外接球的球心为。，半径

为R，

则四边形OOzEOi是正方形，可得00]=3，0]。=也，由辟=。货+。诅2=|,

333

四面体ABCD的外接球的表面积为4TTR2=4〃x;=等.

故选O.

16.答案：D

解析：

本题考查求平面四边形折叠为三棱锥的外接球的表面积，求出球的半径是本题的核心问题，仔细分

析，灵活解题，属于中档题.

先找出平面ABZ)与BOC的外心，从而可以确定球心，据此作答即可.

解：取AD,BD中点E,F,设4BCD的外心为M,连MB,MF,EF,则MF1BD,4BMF=2MB=

/.BCD=60°,BD=V3BM=2BF.

分别过E,M作例尺EF的平行线，交于。点，即。E〃MF,0M//EF.

•••BDLAB,：-E为448。的外心，AB_L平面BCD.

■：EF//AB,FFBCD,：.OMBCD.

因为MF1BD,4-8。一。为直二面角，；.时「1平面/18£),；.。后_1平面480,

.•.E,M分别为△ABD,△BCD外心，二。为三棱锥的外接球的球心，OB为其半径，OB?=BM?

+0M2=-BD2+EF2=-BD2+-AB2=2.S砂=4兀XOB2=87r.

334球

故选。.

解析:

本题考查球的截面的性质，考查球与正三棱柱的关系，考查球的表面积运算，属于中档题.

根据对称性，可得球心。到正三棱柱的底面的距离为1,球心。在底面ABC上的射影为底面的中心

0,,求出0'4由球的截面的性质，求得半径。4再由球面。的表面积公式，计算即可得到.

解：根据对称性，可得球心0到正三棱柱的底面的距离为2,

球心。在底面ABC上的射影为底面的中心。'，

则OZ=?x渔X2=2，

323

由球的截面的性质，可得，0A2=00,2+OrA2,

则有%=口1=看

则球面。的表面积为47r•。"=等

故答案为等.

18.答案：手

解析：

本题考查面面垂直的性质定理，三棱锥的外接球的表面积的计算，属于中档题.

取AC中点为。，连接08、0P,由面面垂直，得到P01平面A8C,故球心在上,

进而求出外接球的半径，求得球的表面积.

解：取4C中点为0,连接08、0P,

B

因为481BC,。为AC中点，所以04=OB=0c.又24=PC,所以P01AC,平面P4CABC,

又平面PACCl平面ABC=AC,POu平面PAC,

所以PO工平面ABC,故球心在P。上，设球心为O',半径为R,则ON=O'P=O'C=R,所以球心

O'为4PAC的外心，因为4c=\IAB2+BC2=2痘，COSZ.APC=

AP2AP-cpC=舞I=?sinUPC=Jl-g)2=等sin〃pc=2R=零，解得R=嘉故球的

表面积S=4冗R2-手.

故答案为等.

19.答案：①②④

解析：

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解

能力，是中档题.

在①中，由BiO_L4C,B10J.4D1，得到_L平面AC/,从而平面P/D1平面力在②中，

由4DJ/BC1，AB皿,得&P〃平面4。么；在③中，当尸为中点时，异面直线&P与4劣所

成角为》在④中，由8G〃平面ADiC,得三棱锥4-CDiP的体积不变.

解：在①中，•••昂。1AC,BrDl.AD1,ACCtAD1=A,1平面ACQ,

：当。u平面PBi。，.•.平面P8i。1平面AC。],故①正确；

在②中，«AD\"BCi，A1B//CD1,ADrnCDX=g,CDXu平面"Bg,ArB<t平面AC%

•••BG〃平面AC。1，&B〃平面4CD】，又BgCA[B=B,

平面AC。1〃平面u平面4]BCi，4尸〃平面ZCDi，故②正确；

在③中，=ArB,AD1//BC1,

・•・当P为BQ中点时，异面直线41P与所成角为:，故③错误；

在④中，「BCi〃平面4。传，•••上任意一点到平面4。传的距离相等，

二三棱锥4-CDiP的体积不变，故④正确.

故选答案为①②④.

20.答案：20

解析:

本题考查空间几何体表面上两点间的距离的求法，属于简单题.

利用圆柱的侧面展开图，勾股定理求解.

解：把圆柱的侧面沿过A的母线剪开，展开成一个平面图形，由于蚂蚁需要从内壁爬行到外壁,

如图所示，

则爬行的最短路径为A、8两点间的直线距离,

AB='(18+2-4.+122=20,

故答案为20.

21.答案：7T

4

解析：

本题考查球的表面积的计算问题，属于中档题.

由题意知△BCD为等腰直角三角形，因此△BCD的外接圆的圆心为8。的中点M.连接AM,CM.根据

平面48。1平面BCD可以知道AM1面BC。，因此该三棱锥的外接球球心。在AM上.继而在Rt△

OMC中，有产=(4M-r)2+CM2,解出外接球半径「，继而可得结果.

解析：

解：如图，因为三棱锥的底面8C。为等腰直角三角形，所以ABCD的外接圆的圆心为的中点M.

连接4例，CM.

由题意可知该三棱锥的外接球球心。在AM上，

AM=J(3必2_(伪2=4，CM=yX2=V2.

设球O的半径为r,

在Rt△OMC中，利用勾股定理可得"=-r)2+CM2,

即产=(4-r)2+(近＞，解得r=*

所以三棱锥A—BCD的外接球表面积为S=432

22.答案：立

3

解析：

本题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其相互转化，棱柱的儿何特征，球的几何特征，

点到面的距离问题的解决技巧，有一定难度，本题也可以运用法向量的投影解决，属中档题.

先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求距离转化

为正方体中，中心到截面的距离问题，利用等体积法可实现此计算.

解：,••正三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两垂直，

.••此正三棱锥的外接球即以PA,PB,PC为三边的正方体的外接球0,

••,球。的半径为百，

.•.正方体的边长为2,即PA=PB=PC=2

球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离

设尸到截面48c的距离为九则正三棱锥P-ABC的体积1/=:S"BCxh=|SAPABXPC=|X|X2X

2X2=-

3

△ABC为边长为2近的正三角形，SAABC=手x(202=273

.3V273

・•・h=---------=——,

S^ABC3

.••正方体中心0到截面ABC的距离为遮一手=?

故答案为四.

3

23.答案：①

解析：

本题主要考察几何体的性质，属于中档题。

解：

①圆锥中不可能存在4条两两互相垂直的母线.

24.答案：20企+25

解析：

本题考查简单多面体及其结构特征，球的表面积和体积，基本不等式，考查运算化简的能力，属于

中档题.

设球。的半径为R,AB=x,AC=y,由题意得/+y2=如。，

由SUBS+S^ACS+S—BC

=+\xy=2(X+y)+|xy,利用基本不等式可得.

解：设球。的半径为R,AB=x,AC=y,

由4兀/?2=1167T,得4R2=116,

又/+y2+42=(2R)2,X2+y2=100,

由SMBS+S^ACS+SAABC

=|4x+|4y+|xy=2(x+y)+|xy,

x2+y2>2xy,得xyS50,当且仅当x=y=5四时取等号；

由(x+y)2=x2+2xy+y2<2(x2+y2),得x+y4IOA/2,

当且仅当x=y=5e时取等号，

综上，SAABS+S^ACS+SA4BC420V2+-x50=20>/2+25.

故答案为20a+25.

25.答案：；

O

解析:

本题考查线面所成的角及面面垂直的性质，同时考查长方体的结构特征，利用面面垂直的性质，判

断下的位置是解题的关键，属于较难题.

先证明尸€直线A41，则tan〃CF=*,结合相似三角形即可求出答案.

解：设AC,2。交于点0,连接E0,如下图，

因为ABC。为正方形，且4411底面ABC。，BDu底面ABC£>,

AA11BD,又BD14C,AA^AC是平面/CG4内两相交直线,

所以BD_L平面4CG41，又BOu平面BDE,

所以平面BOE_L平面4CG4,又平面BOEn平面4"出=E0,

所以当GFJ.E0时，C】F1平面BOE,

又因为尸C平面4BB14,

所以F€直线A&=平面4BB遇1n平面4CG&,

则乙4CF为直线CF与平面ABCD所成的角，

在矩形ACCiAi中，△GHIFSAEH。，

因为41cl=2AO=yf2AB=2,AE=|,

所以4/=p

则4F=I，

所以tanzjlCF=第=|.

故答案为"

6

26.答案：8TT

解析：

解：图中由两圆弧EB,EC及边BC所围成的平面图形绕AD旋转一周

得到的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，

本题主要考查旋转体的表面积，要求熟练掌握常见几何体的表面枳公式.比较基础.

由旋转一周得到的几何体为圆柱去掉两个半径为1的半球，利用圆柱和球的表面积公式进行计算即

可.

两个半球的表面积为：2*卜4n*12=4兀.

圆柱的底面半径为1,高为2,

・••圆柱的侧面积为27rx1x2=4/r,

；・该几何体的表面积为47r+4兀=87r.

故答案为：8兀

27.答案：26

2(V2-1)

解析：

本题考查了几何体的内接多面体，属中档题.

中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，上层是有8+1个面，下层也有8+1个面，故共有26个面;

中间层正八棱柱的棱长加上两个棱长的赵倍等于正方体的棱长.

2

解：该半正多面体中间层是一个正八棱柱，有8个侧面，故该半正多面体共有8+8+8+2=26个

面；

设其棱长为x,因为每个顶点都在边长为2的正方体上,

则x+［无+］*=2,解得+=2（二—1）.

故答案为26；2（近一1）.

28.答案：;

407r

解析：

本题考查球的表面积的求法，四棱锥及其结构特征，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.

作PE1平面4BCC,过E作EHJ.4B,连结PH,则可推出PE和EH,进而在RtAPE〃求解即可得

NP4C的值；取M为AC中点，设该四棱锥的外接球的球心为O,半径为R,设。例=d,作PF1OM,

由题意，可得关于R和"的方程组，求出R，则可得外接球的表面积.

解：作PE1平面4BC。，由4PAB=4P4D=60°知点后在线段AC上，

过E作EH14B,连结P”，

因为48JL1PE,EHCIPE=E,故AB1平面PEH,故4B1PH,

在RtAPA月中，AH=1,PH=y/3；

在RtAEA〃中，AE=y/2,EH=1;

在RtAPE〃中，PE=y/2,因此tan"4E=1,故NPAE=%

取M为AC中点，设该四棱锥的外接球的球心为O,半径为R,OM_L平面ABC。，设OM=d,作PF1

OM,易知四边形PFME为正方形，

则有［广广晨2,,解制