高教社杯全国大学生数学建模竞赛

学生宿舍设计方案的综合量化评价摘要本文的主要工作是对学生宿舍设计方案进行综合量化评价与比较。本文应用层次分析法，结合实际情况及图纸宿舍结构与数据，将方案的评定分为经济性、舒适性和安全性构成准则层，具体设施情况构成子准则层，绘制层次结构图。首先，考虑实际情况和图纸数据，判断子准则层的一些因素，运用层次分析法，得到子准则层的各因素在各种方案中的权重。其次，根据各种方案不同的住宿布局，用层次分析法得到各种方案在经济性、舒适性和安全性的组合权向量，得到方案一为最佳方案。最后，为验证模型的可行性，我们根据主观意识确定经济性、舒适性和安全性在某一个方案中的权重，求出的权重与相应的总权重向相乘，得到三方面的终极权重，而结果在一次验证上面结论的准确性，方案一为最佳方案。关键词：权重；层次分析法；综合量化评定问题重述背景资料与条件学生在校的住宿环境直接或间接的影响着学生的生活、学习和健康成长。学校所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平对宿舍的建筑成本、收费标准及学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等都有着影响。宿舍的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理,还必须考虑经济性包括（建设成本、运行成本和收费标准等）、舒适性（包括人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等）和安全性（人员疏散和防盗等性等）问题。需要解决的问题附件是四种比较典型的学生宿舍的设计方案。用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较。问题分析随着经济的发展，学生的生活水平和住宿条件也在逐渐改善。学校在建设宿舍时不仅要考虑建筑成本，也要考虑如何设计才能让学生生活舒适，怎样的布局才更加合理，要配置哪些设施。对于这些问题，往往容易只考虑一两个方面的内容。要对四个方案进行综合量化的评价，等到较好的方案。通过层次分析法，考虑四种方案的经济性、舒适性、安全性中的各个因素，建立了三个层次的结构模型。计算同层次所有因素相对上层次的权重，再进行一次性检验，最后将四种方案进行综合评定。基本假设每种宿舍每平方米的建筑成本都相等。运营成本与其建筑面积之间的关系最大。采光和通风只与门窗的位置有关，不考虑其建造方位。防盗方面与宿舍所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。本文引用数据、资料均真实可靠。符号说明C.I.：一致性指标；R.I.：随机一致性指标；CR：一致性比例；：第个准则层的第个因素的权重向量；：第个设计方案的第个影响因素的总权重值；：第个设计方案在某一因素中所占的权重值；

：建筑成本和电梯成本的权重值；：影响舒适性的一个小因素的权重值；：影响安全性的一个小因素的权重值；：经济性、舒适性和安全性所得的权重值；：第个设计方案的第个影响因素的终极权重值；P：最终目标，综合评价所得的设计方案模型的建立与求解5.1建立层次模型根据题目意思及附表给出的数据，我们将四种方案对比，考虑其经济性、舒适性、安全性及其各方面的因素，等到下面三个层次的结构模型。子准则层准则层目标层综合比较层舒适性子准则层准则层目标层综合比较舒适性安全性经济性占用寝室的面积客厅浴室和盥洗室厨房垃圾房餐厅开水房夜间自习室和活动室卫生间寝室人员的相互影响阳台通风楼梯个数经济发展水平文化习俗电梯成本建筑成本5.2构造判断矩阵首先，根据题目附表的4个设计方案列出了14个因素（即子准则层里的因素），对其进行权重，得到其正互反矩阵：⑴电梯成本的正互反矩阵为：权重14340.54551/314/34/30.18181/43/4110.13641/43/4110.1364用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量：=(0.5455,0.1818,0.1364,0.1364)，在其运行程序中，得到这个矩阵的最大特征值是4.5随即一致性指标的数值1234567891011000.580.901.121.241.321.411.451.491.51则计算其一致性指标：，计算一致性比例：即，该矩阵一致性较好。同理可得，⑵～⒁中不同的因素的正互反矩阵及其权重向量，在附表二，经检验各个矩阵一直性均较好。其次，我们对准则层中每一个因素的子准则层进行权重，得到准则层的正互反矩阵如下：经济性的正互反矩阵：权重11/20.3333210.6667用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.3333,0.6667}，在其运行程序中，得到这个矩阵的最大特征值是2.0则计算其一致性指标：计算一致性比例：即，该矩阵一致性较好⒃舒适性的正互反矩阵：权重12/97/94/93/98/96/91/95/90.03939/217/223/2431/25/20.17679/72/714/73/78/76/71/75/70.05059/41/27/413/423/21/45/40.080432/37/34/318/321/35/30.11789/81/47/81/23/813/41/85/80.04423/21/37/62/31/24/311/65/60.05899274386150.35359/52/57/54/53/58/56/51/510.0707用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量：={0.0393,0.1767,0.0505,0.0804,0.1178,0.0442,0.0589,0.3535,0.0707},在其运行程序中，得到这个矩阵的最大特征值是9.000则计算其一致性指标：计算一致性比例：即，该矩阵一致性较好⒄安全性的正互反矩阵：权重1230.54551/213/20.27271/32/310.1818用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.5455,0.2727,0.1818},在其运行程序中，得到这个矩阵的最大特征值是3.000则计算其一致性指标：计算一致性比例：即，该矩阵一致性较好最后，求解出各方案的三个重要因素的总的权重值对于方案一：经济性的总权重值为=0.66670.5455+0.33330.4800=0.5237舒适性的总权重值为=0.03930.4800+0.17670.3077+0.5050.16+0.08040.3871+0.11780.3077+0.04420.48+0.05890.48+0.35350.3871+0.07070.24=0.4247安全性的总权重值为=0.54550.48+0.27270.48+0.18180.3529=0.4569对于方案二：经济性的总权重值为=0.6670.1816+0.3330.18=0.1811舒适性的总权重值为=0.03930.16+0.17670.3077+0.05050.24+0.08040.0968+0.11780.0769+0.04420.12+0.05890.18+0.35350.0968+0.07070.12=0.1482安全性的总权重值为=0.54550.12+0.27270.12+0.18180.1765=0.1303对于方案三：经济性的总权重值为=0.33330.24+0.66670.1364=0.1709舒适性的总权重值为=0.03930.24+0.17670.3077+0.05050.48+0.08040.129+0.11780.3077+0.04420.16+0.05890.24+0.35350.129+0.07070.16=0.2128安全性的总权重值为=0.54550.16+0.27270.24+0.18180.16=0.1818对于方案四：经济性的总权重值为=0.33330.16+0.66670.1364=0.1443舒适性的总权重值为=0.03930.12+0.17670.0769+0.05050.12+0.08040.3871+0.11780.3077+0.04420.24+0.05890.12+0.35350.3871+0.07070.48=0.1006安全性的总权重值为=0.54550.16+0.27270.24+0.18180.16=0.18185.3综合评定由于各种方案的总的权重值不具有明显的差距，即无法对其它们的经济性、舒适性和安全性作出综合量化评价和比较，因此，我们在对每一种方案的经济性、舒适性和安全性三个重要因素做出自己主观上的评定，得到如下正互反矩阵：方案一的正互反矩阵权重11/32/30.18183120.54543/21/210.2727方案二的正互反矩阵权重13/21/20.27272/311/30.18182310.5454方案三的正互反矩阵权重12/31/30.18183/211/20.27273210.5454方案四的正互反矩阵权重1320.54541/312/3.018181/23/210.2727对此四个矩阵一致性检验我们参考表⒄安全性的正互反矩阵，它们的三个权重值的数值一样，则根据MATLAB软件可得它们的最大最大特征值是一样的，即矩阵的一致性都较好。最终，算出各个方案的三个影响因素的终极权重值第一个方案：经济性的终极权重值为=0.52370.1818=0.0952舒适性的终极权重值为=0.42470.5454=0.2316安全性的终极权重值为=0.45690.2727=0.1246第二个方案：经济性的终极权重值为=0.18110.2727=0.0494舒适性的终极权重值为=0.14820.1818=0.0269安全性的终极权重值为=0.13030.5454=0.0711第三个方案：经济性的终极权重值为=0.17090.1818=0.0311舒适性的终极权重值为=0.21280.2727=0.0580安全性的终极权重值为=0.18180.5454=0.0992第四个方案：经济性的终极权重值为=0.14430.5454=0.0787舒适性的终极权重值为=0.10060.1818=0.0183安全性的终极权重值为=0.18180.2727=0.0496各个方案的终极权重值如下表：方案一方案二方案三方案四经济性0.09520.04940.03110.0787舒适性0.23160.02690.05800.0183安全性0.12460.07110.09920.0496所以综上所述：方案一的各项因素的权重值都比较大，则综合评定设计方案一最为合理。六、模型的评价与推广6.1模型的评价优点：1.运用层次分析法建立多层次因素综合评价方案，将定性指标定量化，能更好评价各个指标，使之具有可比较性，有说服力。2.对复杂的问题进行分解，逐层突破，且每一层运用常规思维，这样就将复杂问题简单化，逐层分解思维值得推广；3.将繁杂的图表信息转化为简单的数字信息，使之具有很好的可操作性；4.本文运用一些数学软件使之计算量大大减少，同时也提高了灵敏度，具有很好的现实意义。缺点：由于主观指标是反映人们主观差异和变化的指标，是软指标，这些差异和变化的内涵和外延不是很明确，以致在一些需要具有专业知识进行评估的方面，例如建筑成本，即存在一定的偏差。6.2模型的推广我们的模型充分考虑影响选择方案的各个因素，并对其根据所给的设计方案进行对比，整合，最终确定其比重，能够很好的用于建筑行业，在对设计方案的选择问题上能够有一定可行性，也具有很好的现实意义；同时，对设计院而言，我们的模型能够给他们做一定的参考，使之设计的方案更加合理，更加优秀。与此同时，它能运用于整个交通运输行业，在对路线的选择的出问题上也能有一定的实际意义，综上所述，我们的模型能广泛的应用于国家的基础建设设施的选择问题上，即，具有很好的利用价值。致谢在此对各位评委老师致以崇高的敬意和中心的感谢参考文献：[1]姜启源谢金星叶俊，数学模型：第228页，北京：高等教育出版社，2003.8；[2]赵东方，数学模型与计算：第304页，北京：科学出版社，2007附录附录一⑵～⒂中不同的因素的正互反矩阵及其权重向量⑵寝室面积的正互反矩阵为权重13240.48001/312/34/30.16001/23/2120.24001/43/41/210.1200用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.4800,0.1600,0.2400,0.1200}⑶客厅的正互反矩阵为权重11140.307711140.307711140.30771/41/41/410.0769用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.3077,0.3077,0.3077,0.0769}⑷沐浴室和盥洗室的正反互矩阵为权重12/31/34/30.16003/211/220.240032140.48003/41/21/410.1200用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.1600,0.2400,0.4800,0.1200}⑸餐厅、厨房、垃圾房和开水房的正互反矩阵为权重14310.38711/413/41/40.09681/34/311/30.129014310.3871用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.3871,0.0968,0.1290,0.3871}⑹夜间自习室和活动室的正互反矩阵为权重14110.30771/411/41/40.076914110.307714110.3077用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.3077,0.0769,0.3077,0.3077}⑺卫生间的正互反矩阵为权重14320.48001/413/41/20.12001/34/312/30.16001/223/210.2400用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.4800,0.1200,0.1600,0.2400}⑻阳台的正互反矩阵为权重14310.38711/413/41/40.09681/34/311/30.129014310.3871用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.3871,0.0968,0.1290,0.3871}⑼楼梯的正互反矩阵为权重123/23/20.35291/413/43/40.17652/34/3110.23532/34/3110.2353用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.3529,0.1765,0.2353,0.2353}⑽楼层建设成本的正互反矩阵为权重13240.48001/312/34/30.16001/23/2120.24001/43/41/210.1200用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.4800,0.1600,0.2400,0.1200}⑾通风的正互反矩阵为权重123/21/20.24001/213/41/40.12002/33/411/30.160024310.4800用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.2400,0.1200,0.1600,0.4800}⑿经济发展水平的正互反矩阵为权重14320.48001/413/41/20.12001/33/412/30.16001/223/210.2400用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.4800,0.1200,0.1600,0.2400}⒀文化习俗的正互反矩阵为权重14230.48001/411/23/40.12001/2213/20.24001/34/32/310.1600用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.4800,0.1200,0.2400,0.1600}⒁互不干扰的正互反矩阵为权重13240.48001/312/34/30.16001/23/2120.2401/43/41/210.1200用MATLAB对该矩阵进行求解，其权重向量={0.4800,0.1600,0.2400,0.1200}附录二各种因素的矩阵的求解程序Matlab中的m文件程序1：A=[11/41/23/4;4123;1/2213/2;4/31/32/31];[v,s]=eig(A)sum=v(1,1)+v(2,1)+v(3,1)+v(4,1);B=[v(1,1)/sum;v(2,1)/sum;v(3,1)/sum;v(4,1)/sum]运行结果v=Columns1through3-0.1897-0.12150.3313-0.1550i-0.7589-0.48590.3313-0.1550i-0.56920.8503-0.8159-0.2530-0.1620-0.0082+0.2583iColumn40.3313+0.1550i0.3313+0.1550i-0.8159-0.0082-0.2583is=Columns1through34.5000000-0.50000000.0000+0.0000i000Column40000.0000-0.0000iv=Columns1through3-0.1897-0.12150.3313-0.1550i-0.7589-0.48590.3313-0.1550i-0.56920.8503-0.8159-0.2530-0.1620-0.0082+0.2583iColumn40.3313+0.1550i0.3313+0.1550i-0.8159-0.0082-0.2583is=Columns1through34.5000000-0.50000000.0000+0.0000i000Column40000.0000-0.0000iB=0.10710.42860.32140.1429程序3A=[1324;1/312/34/3;1/23/212;1/43/41/21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.83810.82040.97730.10860.27940.3041-0.10860.16290.4191-0.4331-0.16290.08140.2095-0.2166-0.0814s=000004.00000000-0.00000000-0.0000B=0.48000.16000.24000.1200程序4[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.90200.5714-0.71090.90200.30070.57140.7033-0.30070.30070.57140.0038-0.30070.07520.14290.0009-0.0752s=000004.000000000.000000000.0000B=0.30770.30770.30770.0769程序5A=[12/31/34/3;3/211/22;3214;3/41/21/41];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.65760.27940.6576-0.65760.32880.4191-0.32880.32880.65760.8381-0.65760.65760.16440.2095-0.16440.1644s=000004.000000000.000000000.0000B=0.16000.24000.48000.1200程序6A=[1431;1/413/41/4;1/34/311/3;1431];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.94060.6783-0.4299-0.20780.07840.1696-0.4697-0.06020.10450.22610.61420.44000.31350.67830.4662-0.8715s=-0.000000004.00000000-0.000000000.0000B=0.38710.09680.12900.3871程序7A=[1411;1/411/41/4;1411;1411];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.90200.5714-0.97070.90200.07520.14290.2401-0.07520.30070.57140.0052-0.30070.30070.57140.0052-0.3007s=000004.000000000.000000000.0000B=0.30770.07690.30770.3077程序8A=[1432;1/413/41/2;1/34/312/3;1/223/21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.8381-0.4699-0.31680.08140.2095-0.5134-0.09180.10860.27940.67130.67080.16290.41910.2548-0.6643s=-0.000000004.00000000-0.000000000.0000B=0.48000.12000.16000.2400程序9A=[1431;1/413/41/4;1/34/311/3;1431];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.94060.6783-0.4299-0.20780.07840.1696-0.4697-0.06020.10450.22610.61420.44000.31350.67830.4662-0.8715s=-0.000000004.00000000-0.000000000.0000B=0.38710.09680.12900.3871程序10A=[123/23/2;1/213/43/4;2/34/311;2/34/311];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.94220.68380.9422-0.90370.15700.3419-0.1570-0.00240.20940.4558-0.20940.30280.20940.4558-0.20940.3028s=000004.00000000-0.000000000.0000B=0.35290.17650.23530.2353程序11A=[1324;1/312/34/3;1/23/212;1/43/41/21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.83810.82040.97730.10860.27940.3041-0.10860.16290.4191-0.4331-0.16290.08140.2095-0.2166-0.0814s=000004.00000000-0.00000000-0.0000B=0.48000.16000.24000.1200程序12A=[123/21/2;1/213/41/4;2/34/311/3;2431];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.81070.4191-0.2316-0.10560.13510.2095-0.5061-0.06120.18020.27940.66170.44740.54050.83810.5023-0.8860s=-0.000000004.00000000-0.000000000.0000B=0.24000.12000.16000.4800程序13A=[1432;1/413/41/2;1/34/312/3;1/223/21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.8381-0.4699-0.31680.08140.2095-0.5134-0.09180.10860.27940.67130.67080.16290.41910.2548-0.6643s=-0.000000004.00000000-0.000000000.0000B=0.48000.12000.16000.2400程序14A=[1423;1/411/23/4;1/2213/2;1/34/32/31];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.8381-0.0573-0.53220.08140.2095-0.1178-0.48100.16290.4191-0.73450.25650.10860.27940.66590.6478s=-0.000000004.000000000.00000000-0.0000B=0.48000.12000.24000.1600程序15A=[1324;1/312/34/3;1/23/212;1/43/41/21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum]v=-0.97730.83810.82040.97730.10860.27940.3041-0.10860.16290.4191-0.4331-0.16290.08140.2095-0.2166-0.0814s=000004.00000000-0.00000000-0.0000B=0.48000.16000.24000.1200程序16A=[11/2;21];[v,s]=eig(A)sum=v(1,1)+v(2,1)B=[v(1,1)/sum;v(2,1)/sum]v=0.4472-0.44720.89440.8944s=2000sum=1.3416B=0.33330.6667程序17A=[12/97/94/91/38/96/91/95/9;9/217/223/2431/25/2;9/72/714/73/78/76/71/75/7;9/41/27/413/423/21/45/4;32/37/34/318/321/35/3;9/81/47/81/23/813/41/85/8;3/21/37/62/31/24/311/65/6;927438615;9/52/57/54/53/58/56/51/51];[v,s]=eig(A)sum=v(1,2)+v(2,2)+v(3,2)+v(4,2)+v(5,2)+v(6,2)+v(7,2)+v(8,2)+v(9,2);B=[v(1,2)/sum;v(2,2)/sum;v(3,2)/sum;v(4,2)/sum;v(5,2)/sum;v(6,2)/sum;v(7,2)/sum;v(8,2)/sum;v(9,2)/sum]v=-0.58390.0895-0.37340.00290.53770.60290.5839-0.5839-0.58390.32840.40290.8953-0.9611-0.2805-0.4474-0.32840.32840.32840.09380.11510.03440.0823-0.179