赵振江-储油罐的变位识别与罐容表标定数学建模

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要近几年，由于国内经济的迅速发展，油量用品大幅度增加。储油罐作为加油站常用的贮存设施，对油品在不同液面高度的贮存量进行精确的计量变得尤为重要！加油站通常利用地下储油罐来储存燃油，并采用流量计和油位计来测量进出油量与罐内油位高度等数据来得到罐内油位高度和储油量的变化情况。然而，储油罐在使用了较长时间后，由于地基变形等原因使得罐体的位置发生变位，导致罐容表发生改变，影响储油罐读数的精确度，从而对人类的生产发展造成一定的影响，比如影响承包企业的正常运作、影响石油交易的正常进行，还可能造成一定的安全隐患。本文的目的即为对附件中的数据深入分析，建立实际储油罐无变位以及变位后罐内储油量和油位高度的关系的数学模型，从而判定储油罐是否发生变位，以便相关工作人员及时进行调整。问题一，我们首先列出小椭圆储油罐内油量容积和油量高度的关系式(无变位以及变位后两种情况)，进行数值积分求解后，利用SPSS画出变位前理论和实际出油量的曲线进行比较，如果两者吻合得较好，则说明“理论符合实际”，同时还用MATLAB画出变位后曲线。当然我们就可以利用理论的标定模型来研究罐体变位后对罐容表的影响了。最后，利用MATLAB软件编程分段得出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。问题二，我们在求罐内储油量与油位高度及变位参数的一般关系时可将实际问题分成两个阶段分析即先翻转后纵向倾斜。将两个关系式整合后，得到所求的函数关系并积分求解。然后用MATLAB进行拟合确定变位参数即。用MATLAB分段计算罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。对于模型的正确性与方法的可靠性的分析我们运用MATLAB编程得出理论出游值，与实际测量值进行T-检验即可。关键词：储油罐变位数据分析代数求解MATLAB拟合T-检验一、问题重述现在的石油生产和日常加工过程中需要把原油储存到储油罐中，随着网络和信息技术的迅猛发展，储油罐的液位测量以及开发和设计基于罐容表数据的信息化管理系统是是非常重要的！一般加油站地下的储油罐，都有与之配套的“油位计量管理系统”，即采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。然而许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。如下图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。本建模题目研究解决的是储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。油油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3m油位高度图1储油罐正面示意图油位探针

油位探针油位探针α地平线图2储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口水平线（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置3m（b）横向偏转倾斜后正截面图β地平线垂直线油位探针图3储油罐截面示意图图3储油罐截面示意图(b)小椭圆油罐截面示意图(b)小椭圆油罐截面示意图α油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小椭圆油罐正面示意图图4小椭圆型油罐形状及尺寸示意图二、问题分析对于加油站的储油罐，为了准确判定储油罐是否发生变位，进而方便相关工作人员及时对罐容表进行重新标定。于是建立实际储油罐无变位以及变位后罐内储油量和油位高度的关系的数学模型是我们需要解决的核心问题。要确定储油罐内油体体积与油面高度读数的关系，其核心是要解决储油罐内油体体积。由于储油罐内油体并不是一个规则的几何体，所以，将采用定积分的方法计算油体体积，其核心是计算油体的横截面面积。三、模型假设1、储油罐的刚体表面没有变形；2、油面高度的读数是正确的即读数器没有误差；3、储油罐罐壁厚度为零，因为与容积相比非常的小；四、符号及变量说明h------------油位高度读数；-----------实际油罐的纵向倾斜角度；-----------实际油罐的横向倾斜角度；五、模型的建立与求解5.1问题一模型的建立与求解：本问题中所考虑的储油罐是一个椭圆柱体。当储油罐纵向倾斜（无横向倾斜）时，为了建立储油罐内油量容积和油量高度的关系，我们先考虑储油罐没有变位时，储油罐内油量容积和油量高度的关系。5.1.1储油罐无变位情形Oxy(0,-h)(0-b)由题目中的图4提供的储油罐几何体可知，该几何体与垂直其中心线的平面的截面情形如图所示，其横截面是一个椭圆面。设该椭圆的半长轴为，半短轴为b，如下图1所示Oxy(0,-h)(0-b)图1建立直角坐标系记罐体中油量横截面积为，则根据定积分（1）油量的体积（2）为油面高度，为罐体长度。由于该体积公式在计算过程中并没有考虑到罐内其他物体（出油管、进油管等）所占体积，所以，以此计算罐内油量体积是有误差的。以附件1中的无变位进油数据表进行计算和比较得到下图2。图2实验采集油量、模型计算油量与油面高度关系从图中可知，根据无变位进油数据表中的油面高度，按上述油量体积计算公式计算得到的油量与实验采集油量存在误差的。该误差（模型计算油量-实验采集油量）的散点图如下图3：图3模型计算油量与实验采集油量的差如图所示，误差随油面高度在变化。由于无法计算罐内其他物体（进油管、出油管等）所占体积，所以，采用最小二乘法，拟合油量误差与油面高度的关系。观察误差散点图，油量误差与油面高度的关系接近一条直线关系。设通过Matlab中的函数polyfit，可以得到，这样一来就得到校正了误差油量计算模型：（3）以附件1中的无变位进油数据表再进行计算和比较得到下图4。从图中可以直观地观察到，修正后模型计算油量与实验采集油量比较吻合。图4实验采集油量、修正模型计算油量与油面高度关系5.1.2储油罐变位情形假设油罐沿椭圆柱体中心线倾斜度角，油面高度为（米），如图5所示。此时，储油罐罐体底面方程：，罐内油体在坐标面YOZ上的投影为一个直角梯形。可知梯形的上底,下底。为了计算油体体积，沿椭圆柱体中心线上任取一点（为椭圆柱体的长度），过点做垂直于椭圆柱体中心线的平行于上下底面的平面，该平面与油体的横截面面积可能是一个椭圆，可能是椭圆的部分，也可能截面面积为零。如图所示。当时，，横截面面积xxzy（4）其中，。所对应的油体体积可由计算出。，，其中，。当时，平面与罐内油体的横截面是一个椭圆，其面积为，从到所对应油体体积由计算出。当时，平面与罐内油体不相交，所以横截面面积为零，因此所对应的油体体积为零。所以，当罐体纵向倾斜度时，罐内油体体积与油面高度的关系为（5）其中为符号函数。由于该体积公式在计算过程中并没有考虑到罐内其他物体（出油管、进油管等）所占体积，所以，以此计算罐内油量体积是有误差的。以附件1中的变位进油数据表进行计算和比较得到下图6。图6储油罐变位时，实验采集油量、模型计算油量与油面高度关系从图中可知，根据变位进油数据表中的油面高度，按上述油量体积计算公式计算得到的油量与实验采集油量存在误差的。该误差（模型计算油量-实验采集油量）的散点图如下图7：图7储油罐变位时，模型计算油量与实验采集油量的差如图所示，误差随油面高度在变化。由于无法计算罐内其他物体（进油管、出油管等）所占体积，所以，采用最小二乘法，拟合油量误差与油面高度的关系。观察误差散点图，油量误差与油面高度的关系接近一条直线关系。设通过Matlab中的函数polyfit，可以得到，这样一来就得到校正了误差油量计算模型：（6）以附件1中的变位进油数据表再进行计算和比较得到下图8。从图中可以直观地观察到，修正后模型计算油量与实验采集油量比较吻合。图8储油罐变位时，实验采集油量、修正后模型计算油量与油面高度关系罐容标示：修正前油面高度油量体积修正后油面高度油量体积0.170.130.10-3.670.2281.860.20207.720.3595.240.30520.690.4965.660.40890.650.51371.880.501296.400.61798.520.601722.560.72232.490.702156.040.82661.410.802584.470.93072.420.902994.9813450.711.003372.781.13776.621.103698.231.24012.731.203933.895.2问题2模型的建立与求解在这里主要讨论题目中图1所示实际储油罐几何体，建立储油罐内油体体积与油面高度的关系，也分两种情形来讨论。先考虑无变位即无纵向倾斜也无横向倾斜的情形（，）。5.2.1实际储油罐无变位油油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3m油位高度图9储油罐正面示意图油位探针Oyxz以左边球罐顶点为坐标原点，圆柱体中心线为轴，建立如图所示的直角坐标系。为了得到罐内油量体积，只要计算油体与平面的截面面积，然后从到求定积分，就可得到罐内油体体积与油面高度的关系。设油量在左边球冠内的体积为，圆柱体内的体积为，右边球冠内的体积为，由于左右两边球冠形体相同，因此。另外，根据问题1罐体无变位时油体体积计算公式，可得到（7）其中，为油面高度读数，为油罐中圆柱体部分的圆柱体半径，为圆柱体的高。下面计算，为此，先计算球冠所在的球面的半径.由于（8）OO圆柱体底面直径1m这样，球冠所在的球面其方程为：，在平面上的投影的方程为：，油面在平面上的投影为直线。过点（0，0，z）的做平行于坐标面平面，该平面与球冠的交线是一个圆，其半径为，此时，球冠体内的油体与该平面的截面是一个圆面或部分圆面如下图所示。油面直线方程油面直线方程所以当时，截面面积（9）其中，。所以油体在球冠体内体积（10）当时，截面面积从到，球冠体内没有油，所以此时球冠体内的油体积（11）设，则球冠内油体体积（12）其中为符号函数。所以当储油罐无纵向和横向倾斜时，储油罐内油体体积与油面高度的关系为：（13）按体积模型（13）计算的罐容标示如下：纵向倾斜度、横向倾斜度的罐容标示：油面高度10cm20cm30cm40cm50cm油量（升）590.711682.073101.884783.016682.46油面高度60cm70cm80cm90cm100cm油量（升）8767.9311012.9513394.6715892.5918487.9油面高度110cm120cm130cm140cm150cm油量（升）21162.9423900.9126685.5929501.232332.22油面高度160cm170cm180cm190cm200cm油量（升）35163.2337978.8440763.5343501.4946176.53油面高度210cm220cm230cm240cm250cm油量（升）48771.8451269.7753651.4855896.557981.97油面高度260cm270cm280cm290cm300cm油量（升）59881.4361562.5562982.3764073.7264664.43无变位油罐、的罐容与油面高度的关系5.2.2储油罐变位情形设储油罐（如图9所示）纵向倾斜度、横向倾斜度。同上一样建立空间坐标系。油位探针油位探针α地平线图10储油罐纵向倾斜变位后示意图油油浮子出油管油位探测装置注油口检查口水平线xyxzxOx由于储油罐横向倾斜只影响到油面到罐底的高度，并不改变罐体内油体的几何形状。设横向倾斜度，油面到罐底的高度为，则（14）RRh为油面高度读数。油面在坐标面上的投影为直线，其方程为：（15）左边球冠所在的球面方程为：（16）右边球冠所在的球面方程为：（17）为了求得油体体积，为此，先求过点（0，0，z）平行坐标面的平面与油体的横截面面积，然后从到求定积分。记为油体在左边球冠体内的体积，为油体在圆柱体内的体积，为油体在右边球冠体内的体积。5.2.3计算在坐标面上，对任意的（），直线（15）上的点的纵坐标，圆上的点的纵坐标（取上半圆）。过点（0，0，z）平行于坐标面的平面与油体的截面只可能为下面一种情形之一。半径为半径为情形a情形a情形b情形b当时，横截面为情形a，截面面积为：。当，且点时，横截面为情形b，其截面面积为：。所以，截面面积因此5.2.4计算在坐标面上，对任意的（），直线（15）上的点的纵坐标，直线上的点的纵坐标。过点（0，0，z）平行于坐标面的平面与油体的截面只可能为下面一种情形之一。半径为半径为情形a情形a情形b情形b当时，横截面为情形a，截面面积为：。当，且时，横截面为情形b，其截面面积为：。当，且时，横截面面积为零。所以，截面面积因此5.2.5计算在坐标面上，对任意的（），直线（15）上的点的纵坐标，圆上的点的纵坐标（取上半圆）。过点（0，0，z）平行于坐标面的平面与油体的可能没有截面（如果），此时，右边球冠体内没有油即，当截面只可能为下面一种情形之一。半径为半径为情形a情形a情形b情形b当时，横截面为情形a，截面面积为：。当，且时，横截面为情形b，其截面面积为：。所以，截面面积因此至此，5.3参数，的确定因为实际罐内油量初值未知，所以罐内储油量的准确值是未知的。由附件2的检测数据可以知道不同时刻的出油量，并由模型表达式计算得到储油量的改变量，问题可归结为求解的最小值问题：。利用附件2中的部分数据（如前半部分），借助于Matlab软件，利用数值积分得到：当参数度、度时是最小。纵向倾斜2.11度、横向倾斜4.31度的罐容标示：油面高度10cm20cm30cm40cm50cm油量（升）354.7610