全国大学生数学建模车道被占用对城市道路通行能力的影响

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：&&&所属学校（请填写完整的全名）：&&&参赛队员(打印并签名)：1.&&&2.&&&3.&&&指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：&&& （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2013年9赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：车道被占用对城市道路通行能力的影响摘要在现代这个交通拥挤非常严重的时代，突发的交通事故更是加剧了交通拥挤的程度，严重影响道路交通的运行效率。确定交通事故影响范围及其对道路交通通行能力的影响程度，对于交通管理部门制定合理、有效的拥挤疏导措施具有非常重要意义。针对这个问题，我们可以在做出合理假设的基础上，通过对附件中的视频数据进行分析归纳，综合考虑交通事故对道路通行能力的影响因素，并将各因素之间的关系进行分析总结，以期能够解决实际问题1、根据视频1（附件1），观察交通事故发生后车辆通过事故横断面的实际车流量随着时间变化的情况，进行数据的收集；结合交通信号灯的变化，利用MATLAB对视频数据进行处理，实现道路实际通行能力的图像以及函数拟合，进而描述视频中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。2、根据问题1所得结论，结合视频2（附件2）的数据，利用最小二乘法得到实际通行能力函数的参数；通过对能力函数的比较分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异，并对造成其差异的原因进行解释说明。3、构建数学模型，结合视频1（附件1），对路段上游车流量界定一个参照点，通过对该参照点的比较，讨论交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间之间的关系，并利用实际交通数据进行模型的合理性验证。4、对第四部分所叙述问题，利用第三部分所得模型，估算从事故发生开始到车辆排队长度将到达上游路口所经过的时间长度。关键词：车道占用排队长度实际通行能力车流量

一、问题重述车道被占用是指因交通事故、路边停车、占道施工等因素，导致车道或道路横断面通行能力在单位时间内降低的现象。由于城市道路具有交通流密度大、连续性强等特点，一条车道被占用，也可能降低路段所有车道的通行能力，即使时间短，也可能引起车辆排队，出现交通阻塞。如处理不当，甚至出现区域性拥堵。车道被占用的情况种类繁多、复杂，正确估算车道被占用对城市道路通行能力的影响程度，将为交通管理部门正确引导车辆行驶、审批占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等提供理论依据。视频1和视频2中的两个交通事故处于同一路段的同一横断面，且完全占用两条车道。请研究以下问题：根据视频1，描述视频中交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化过程。根据问题1所得结论，结合视频2，分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。构建数学模型，分析视频1中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。假如视频1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。请估算，从事故发生开始，经过多长时间，车辆排队长度将到达上游路口。注：只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数。二、问题分析该课题是一个交通事故所引起的车道被占对城市道路通行能力影响模型的建立问题。突发的交通事故加剧了城市交通拥挤的程度，严重影响道路交通的运行效率。如不及时处理，所造成的拥挤很可能会由点扩展到线面，引起交通网络瘫痪，交通拥挤和交通事故是互为因果的两种交通现象，一直是交通运行管理的重中之重。确定交通事故影响范围及其对道路交通通行能力的影响程度，对于交通管理部门制定合理、有效的拥挤疏导措施具有非常重要意义。针对这个问题，我们可以在做出合理假设的基础上，通过对附件中的视频数据进行分析归纳，综合考虑交通事故对道路通行能力的影响因素，并将各因素之间的关系进行分析总结，以期能够解决实际问题。本文主要按照以下步骤进行研究：第一部分：根据视频1（附件1），观察交通事故发生后车辆通过事故横断面的实际车流量随着时间变化的情况，进行数据的收集；结合交通信号灯的变化，利用MATLAB对视频数据进行处理，实现道路实际通行能力的图像以及函数拟合，进而描述视频中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。第二部分：根据问题1所得结论，结合视频2（附件2）的数据，利用最小二乘法得到实际通行能力函数的参数；通过对能力函数的比较分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异，并对造成其差异的原因进行解释说明。第三部分：构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，并利用实际交通数据进行模型的合理性验证。第四部分：假如视频1（附件1）中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。利用第三部分所得模型，估算从事故发生开始到车辆排队长度将到达上游路口所经过的时间长度。三、模型假设假设1：忽略两轮车，只考虑四轮及以上机动车、电瓶车的交通流量，且换算成标准车当量数；假设2：交通事故发生地点上下游道路路面纵坡平缓并有开阔的视野、良好的平面线形和路面状况；假设3：车祸前后上下游交通组织方案无变化；假设4：车辆排队长度设定为由事故发生处第一辆车和与其车速相同的最后一辆车的距离四、模型符号说明:道路的实际通行能力；：表示当车祸发生后完全挡住左转车道和直行车时，交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力；：表示当车祸发生后完全挡住右转车道和直行车时，交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力；:表示视频1中车队所能到达的最大长度；：表示上游十字路口的车流量是在车祸条件下该段道路通行能力下所能承受的最大车流量；：表示上游十字路口的随时间变化的车流量；：表示车祸导致的随时间变化的车辆排队长度；：表示排队车辆之间的车头距；：表示当上游车流量大于路段合理承受量，每个周期的最大排队长度增加量：表示第四个问题中车祸地点距离上游路口的距离；：表示车祸地点距离路段上游车流量为1500pcu/h,从事故发生开始，车辆排队长度将到达上游路口经过的时间周期个数；：表示车祸地点距离路段上游车流量为1500pcu/h,从事故发生开始，车辆排队长度将到达上游路口经过的时间周期；:事故发生的时刻；：该交通事故横断面车辆实际通行能力的变化周期。五、模型建立与求解5.1问题一的求解根据视频1（附件1），观察交通事故发生后车辆通过事故横断面的实际车流量随着时间变化的情况，进行数据的收集；结合交通信号灯的变化，利用MATLAB对视频数据进行处理，实现道路实际通行能力的图像以及函数拟合，进而描述视频中交通事故发生至撤离期间，事故所处横断面实际通行能力的变化过程。处理的过程中参考视频1所呈现自事故发生至撤离期间上游车流量以及交通信号灯的变化的情况，以10s为一个时间间隔，对视频中车辆通行数据进行统计整理（根据交通量调查中车型划分及车辆折算相关系数的相关规定，通行能力采用小型车当量数计算，其中大型客车按照1.5的折算系数折算为标准车当量数）得到该事故横断面的166个样本点的实际通行能力数据，之后利用MATLAB软件分别做出这166个样本点的散点图并用折线连接得到折线图。5.1.1视频1数据分析根据由该交通事故横断面实际通行能力的样本点所得到的散点图及折线图首先对道路事故发生至撤离期间的数据进行分析，得到以下（图5.1.1（横坐标：交通事故发生后时间/s；纵坐标：对应时间的流通能力pcu/h）图5.1.1车祸发生期间道路事故所处横断面实际通行能力的变化1、交通事故发生3分钟以内，由于受驾驶员的反应时滞等其它因素的影响该事故横断面的通行能力的波动比较大。2、交通事故发生地点上下游道路路面纵坡平缓并有开阔的视野、良好的平面线形和路面状况，加上驾驶员已经适应了路面的的状况因而交通事故发生400s之后该事故所处横断面的实际通行能力的变化幅度不大。3、从总体上来看，可你看出整个事故期间该横截面的实际通行能力大致呈周期性变化并且事故发生以后其实际通行能力基本上以1100pcu/h为中心轴上下波动，但由于描点取数的原因，图像所呈现出来的整个趋势并不能完美的呈现其实际通行能力的变化，因而在以后的分析中我们选取了其中一个时间段进行具体的分析。5.1.2生成拟合图像与函数为了更好的了解该事故横断面的实际通行能力的变化，选取事故发生至处理之间的300秒即5个周期，对该时间段的数据利用MATLABR软件利用傅立叶函数进行拟合得到数据的拟合图即图5.1.2（横坐标：车祸发生后时间/s；纵坐标：对应时间的流通能力pcu/h）（图5.1.2）车祸发生5分钟内道路通行能力随时间变化情况与此同时也得到了相应的拟合函数，对该拟合函数进行参数估计得到的参数估计值为：其中所以即：该拟合函数的拟合优度。该函数表示交通事故发生至彻底解除期间5分钟内事故横断面道路实际通行能力随时间变化的情况，利用周期性可以推知整个交通事故期间事故横断面通行能力的变化情况也应该符合该函数所呈现的趋势。5.1.3周期数据统计分析根据由视频1得到的数据以周期为单位对数据进行整理，统计出交通事故发生每个周期内的道路通行能力并且转化成以小时为单位的数据得到如表5.1.3所示的数据统计资料：第1分钟1200第2分钟1110第3分钟900第4分钟900第5分钟1050第6分钟1050第7分钟1140第8分钟1260第9分钟1260第10分钟1080第11分钟1080第12分钟1170第13分钟1170第14分钟1080第15分钟1020表5.1.3事故发生后随时间变化的道路通行能力从整体上来看，交通事故发生后前5分钟之内给事故横断面车量的实际通行能力比较弱，5分钟之后该事故横截面的实际通行能力趋于稳定，相邻两个周期内的实际通行能力基本上是保持一致的，实际通行能力的变化不大。结合5.1.2中所做的分析以及图5.1.2，我们注意到表5.1.3及其相关结论可以更好的印证事故发生后该事故横断面的实际通行能力数据所呈现出来的变化趋势的周期应该是比较小的，因而之前利用傅立叶函数对该事故横断面的实际通行能力数据进行拟合是比较合理的。5.1.4结论综合数据的整个分析过程，对拟合的函数以及相关的图像进行分析，基本可以得出这样的结论：视频中自交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力随着时间的推移变化趋势大体呈现这样一种状况：道路的实际通行能力以60s为周期的，进行周期性的增加或减少减少，大致符合的变化规律，实际通行能力最大为939.01pcu/h，最小为1124.99pcu/h。5.2问题二的求解根据问题1所得结论，结合视频2（附件2）的数据，利用最小二乘法得到实际通行能力函数的参数；通过对能力函数的比较分析说明同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异，并对造成其差异的原因进行解释说明。5.2.1视频2数据分析根据问题1所得结论，结合视频2（附件2），根据第一步中所得函数，利用最小二乘法对视频2的数据进行处理，得到相应的函数。由第一步可得，当车祸发生后完全挡住左转车道和直行车时，交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化呈现为函数：其中：由于故取由此，当车祸发生后完全挡住右转车道和直行车时，交通事故发生至撤离期间,事故所处横断面实际通行能力的变化周期与第一种情况相同，呈现为函数：然后利用最小二乘法进行参数估计，可构造出如下所示的目标函数：将目标函数分别对、、求偏导，可得：令解之得由驻点的唯一性可知：，即，其中=，1。5.2.2交通事故所占车道不同，对通行能力的影响分析根据两种交通事故所引起的道路通行能力的函数进行比较要比较同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异，即比较函数值的变化率：我们知道，如果两个函数的周期相同，那么在同一周期内，如果一个函数的变化幅度大于另外一个，则其变化率高于另一个函数。基于此项分析，我们可以知道：上述和两个函数的周期虽然相同，但由于92.99>83.14，所以的变化比的变化快，因此，当车祸完全挡住右转车道和直行车时对该横断面实际通行能力影响比车祸完全挡住左转车道和直行车时对该横断面实际通行能力大。图5.2.2视频1中交通位置示意图根据图5-2-2可得，该路段左转流量比例为35%，直行流量比率为44%，右转流量比例为21%，可得，左转车道车辆比例为35%，直行车道车辆比例为44%，右转车道车辆比例为21%，则左转车道车辆流量大于右转车道车辆流量，因此，当车祸完全挡住右转车道和直行车时对该横断面实际通行能力影响比车祸完全挡住左转车道和直行车时对该横断面实际通行能力大。正好符合上述模型所得结果。5.3问题三的求解在本题中，我们通过构建数学模型，分析视频1（附件1）中交通事故所影响的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系，并利用实际交通数据进行模型的合理性验证。5.3.1上游路口交通量的模型建立由视频1可知交通事故发生后路段车辆的最长排队长度为米，而且出现最大排队长度的时间间隔为60s。结合视频1的统计数据，可以发现：当排队长度达到最大时，交通事故发生地横断面的实际通行能力会变化至最低，而且这个时候正好上游路口绿灯亮起车辆再次通行。假设车辆排队时的标准车辆长度为4.5米，车间距为2米，则车头距为米。由于车辆排队长度能够达到最大长度米，因此，上游路口的车流量是在交通事故发生条件下该段道路实际通行能力下所能承受的最大车流量，即，因此，视频1中交通事故所处路段上游路口即时车流量随时间变化的规律为：，即。5.3.2车辆排队长度的模型建立（1）当上游路口车流量时，同时当时，有当时，有；即，然后根据问题一的求解结论可知交通事故发生与撤离期间，交通事故所处横断面的实际通行能力与事故发生时间之间满足关系式：，令米，米，计算可得。因此可得到车辆排队为：（2）当上游路口车流量时，由于上游车流量大于该合理承受量，所以会导致每个周期的最大排队长度增加，且，此时，车辆排队长度为：。5.4问题四的解答根据问题三得到的路段车辆排队长度与事故横断面实际通行能力、事故持续时间、路段上游车流量间的关系。由问题四条件可得，当排队长度为米时，车辆排队到达上游路口。此时，将米，pcu/h，代入上式得则从事故发生开始，当车辆排队达到上游路口时，时间由此可知，假如视频1中的交通事故所处横断面距离上游路口变为140米，路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pcu/h,事故发生时车辆初始排队长度为零，且事故持续不撤离。则据估计可知，从事故发生开始，经过车辆排队长度将达到上游。六、模型评价通过对以上所的模型进行合理性评价，可得到以下几点心得：6.1模型的优点：6.1.1对于问题（1）所收集的数据完全基于视频，真实可靠；6.1.2先利用整体数据连线图观察数据的相关特点，据此对傅里叶拟合函数的周期进行控制，得到的结论较贴近实际；6.1.3运用MATLAB进行拟合，得到了比较精确的拟合图像和拟合函数，具有较高的可信度；6.1.4针对问题（3），巧妙地运用数学知识，结合相关数据图进行分类讨论，比较全面地解决了问题。6.2模型的缺点：6.2.1有些假设条件，比如假设3：车祸前