井冈山大学第一届“井冈杯”数学建模竞赛试题

井冈山大学第一届“井冈杯”数学建模竞赛试题（本科组在A、B中选一题做，专科组在C、D中选一题做）A题：最佳阵容问题

有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队至多允许10名运动员参赛，每一个项目可以有6名选手参加。每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为：10；9.9；9.8；…；0.1；0。每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者。此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项。每个队应有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛。

现某代表队的教练已经对其所带领的10名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试，教练发现每个运动员在每个单项上的成绩稳定在4个得分上（见下表），她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出（见表中第二个数据。例如：8.4～0.15表示取得8.4分的概率为0.15）。试解答以下问题：

1、每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高。2、若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？以该阵容出战，其夺冠前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有90％的把握战胜怎样水平的对手？附表：运动员各项目得分及概率分布表1（高低杠）2（平衡木）3（跳马）4（自由体操）18.40.158.40.109.10.108.70.109.00.508.80.209.30.108.90.209.20.259.00.609.50.609.10.609.40.10100.109.80.209.90.1029.30.108.40.158.40.108.90.109.50.109.00.508.80.209.10.109.60.609.20.259.00.609.30.609.80.209.40.10100.109.60.2038.40.108.10.108.40.159.50.108.80.209.10.509.00.509.70.109.00.609.30.309.20.259.80.60100.109.50.109.40.10100.2048.10.108.70.109.00.108.40.109.10.508.90.209.40.108.80.209.30.309.10.609.50.509.00.609.50.109.90.109.70.30100.1058.40.159.00.108.30.109.40.109.00.509.20.108.70.109.60.109.20.259.40.608.90.609.70.609.40.109.70.209.30.209.90.2069.40.108.70.108.50.108.40.159.60.108.90.208.70.109.00.509.70.609.10.608.90.509.20.259.90.209.90.109.10.309.40.1079.50.108.40.108.30.108.40.109.70.108.80.208.70.108.80.109.80.609.00.608.90.609.20.60100.20100.109.30.209.80.2088.40.108.80.058.70.108.20.108.80.209.20.058.90.209.30.509.00.609.80.509.10.609.50.30100.10100.409.90.109.80.1098.40.158.40.108.40.109.30.109.00.508.80.108.80.209.50.109.20.259.20.609.00.609.70.509.40.109.80.20100.109.90.30109.00.108.10.108.20.109.10.109.20.109.10.509.20.509.30.109.40.609.30.309.40.309.50.609.70.209.50.109.60.109.80.20B题：垃圾坑的挖掘某市平均日产生活垃圾约为1000立方米（以压缩后体积计），现欲建一垃圾填埋场，将垃圾挖坑后填埋，再在表面覆盖一米厚的土层以恢复植被。现需就建场预算中涉及购置设备及征用土地问题作出决策。考虑挖坑及填埋设备的购置和土地征用中的经济问题，市政当局希望给出花钱最少的预算。现已知下列情形：

1.挖出不用的土方可被建筑工程使用，无须处理，但须运上地面，并须留出填埋覆盖用土。

2.每套挖掘及填埋机械需购置费用150万元，使用寿命十年。

3.填埋场预计使用五十年。

4.压缩后的垃圾由汽车直接抛入垃圾填坑中，无须作功。

5.现征地费用为20万元/亩，根据统计资料知，此前三年地价涨幅为平均10%/年。

6.机械使用柴油，效率为30%。在平地作业时，将一立方土移动一米需作功100千瓦，但随挖掘深度加大，每增加一米深度，其效率在原有基础上下降10%。

7.当前银行贷款年利率为5%，存款利率为3%。

8.填埋后的场地将用于公益(如建立公园、绿地等)。

问题：（1）试按市政当局要求，建立数学模型，为该项目计算出最佳的挖掘深度，评价模型优缺点；

（2）作出征购土地，购买机械的方案及预算。C题：铅球的投掷众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。参考数据资料如下：表1李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩姓名出手速度v(m/s)出手高度h(m)出手角度(o)实测成绩(m)李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯卢皮亚内克13.772.0640.0021.41表2我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名成绩s(m)出手速度v(m/s)出手角度(o)出手高度h(m)李梅素19.4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黄志红20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95D题：火电站扩建问题某地区在制定十年电力发展规划时遇到这样一个问题：根据电力需求预测得知，该地区在十年后发电装机容量需要增加180万千瓦，那时的年发电量需要增加100亿度。根据调查和讨论，电力规划的备选技术方案有三个：扩建原有的火电站，但最多只能再安装五台10万千瓦的发电机组；新建水电站，但最多只能安装四台25万千瓦的发电机组；或再新建一个火电站，最多只能安装四台30万千瓦的发电机组。通过调研和计算，获得有关的参数如表1所示。表中负荷因子为全年满功率运行天数与全年总天数之比。根据该地实际调查原有火电站平均全年满功率运行天数为241天，水电站和新建的火电站应分别为146天和255天，而全年365天，故折算得表中数据。表中资本回收因子是由如下数据所确定的，火电站的回收年限取15年，年利息率为0．06；水电站的回收年限取30年，年利息率为0．04，即得表中所列数值。请在满足上述技术要求的前提下，选取经济效果最优的建设方案。1．原来的火电站应如何扩建？2．新建的水电站应如何确定单机容量为25万千瓦的发电机组的数量？3．新建的火力发电站应如何确定单机容量为30万千瓦的发电机组的数量？

表1:备选技术方案参数表

工程投资单机容量

（万千瓦）允许装机台数资本回收因子年运行成本（百万元/亿度）负荷因子备选方案工程特点前期工程投资（百万元）单机设备投资（百万元）1扩建旧火电站

211050．1034．110．662新建水电站504702540．05782．280．43新建火电站240653040．1033．650．7竞赛论文格式要求论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。论文第一页为封面，具体内容和格式见本规范第二页。摘要、关键词写在论文第二页上，从第三页开始是论文正文(若干页)。论文从第二页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。提请大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页）。评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。论文格式见答卷，小4号黑色宋体字引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料