高中数学讲义

函数知识归纳

一、抽象函数问题

〈一〉、抽象函数奇偶性、单调性的判断

1.对于抽象函数奇偶性的判断，通常用定义法(方法)。要充分利用所给条件想

方设法寻找f(x)与f(-X)之间的关系。此类题目常用到f(0),可通过对式子中的

变量进行特殊赋值(技巧)，构造出0,把f(0)求出来。利用特殊法求解,取特殊值时:

要注意取值的合理性,有时取一组值不能得到合适的答案,还需尝试再取另一组。做

题时，注意体会领悟。

2.对于抽象函数单调性的判断,也是利用定义法,就是要注意f(xl)-f(x2)

=f[(xl-x2)+x2]-f(x2)或f(x2)-f(xl)=f[(x2-xl)+xl]-f

(xl)的变形应用。

例1.已知函数y=f<x)不恒为0,对任意x,yGR都有f(x+y)=f(x)+f

(y),且当x<0时，f(x)<0.求证：(l)y=f(x)是奇函数；(2)y=f(x)是R上的

增函数.

导析：(1)灵活运用的x,y的任意性及关系式f(x+y)=f(x)+f(y)寻找

f(-x)与f(x)的关系

(2)根据单调性的定义,利用f(x+y)=f(x)+f(y)寻找f(xl)与f

(x2)的关系

解答：⑴函数f(x)的定义域为R,•.•对任意x,yGR都有f(x+y)=f

(x)+f(y),令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0),，f(0)=0,令y=-x得f(x-

X)=f(X)+f(-X),/.f(X)+f

1

(-x)=f(0)=0,Af(-x)=-f(x),函数f(x)是奇函数

(2)设xl,x2GR,且xl〈x2,则

f(xl)-f(x2)=f[(xl-x2)+x2]-f(x2)=f(xl-x2)+f(x2)-f(x2)

=f(xl-x2)Vx<0时，f(x)<0,且xl-x2<0,.*.f(xl-x2)<0.即

f(xl)<f(x2),Af(x)在R上是增函数.

变式1.已知函数y=f(x)不恒为0,且对任意x1,x2WR都有f(xl+x2)

+f(xl-x2)=2f(xl)•f(x2).求证:f(x)是偶函数.证明：令xl=0,x2=x，则

得

f(x)+f(-X)=2f(0)•f(x)①

又令xl=x,x2=0,得

f(x)+f(x)=2f(x)•f(0)②

由①、②得f(-x)=f(x),/.f(x)是偶函数.

例2.函数y=f(x)对任意a,bGR都有f(a+b)=f(a)+f(b)T,且当

x<0时,f(x)>1

(D求证:f(x)是区上的增函数.

⑵若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

(3)若关于x的不等式f(nx-2)+f(x-x2)<2恒成

立,求实数n的取值范围.

思路点拔:要证f(X)是R上的增函数，要紧扣单调性的定义进行，解不等式f

(3m2-m-2)<3的关键是先给3“穿上f"，转化为两函数值大小关系,再根据函数

单调性“脱掉f”，将其转化为

一般不等式求解.

规范解答：

(1)设xl〈x2,则x2-xl〉0,

f(x2-xl)>1,

Af(x2)=f(x2-xl+xl)=f(xl)+f(x2-xl)-1>f(xl)

，f(x)在R上是增函数.

(2)f(4)=f(2+2)=2f(2)-1=5,Af(2)=3,>.f(3m2-m-2)<3=f

(2),.,.3m2-m-2<2,即3m2-m-4<0,.\-1<01<4/3

(3)令a=b=O,(0)=2f(0)-1,：.f(0)=1

f(nx-2)+f(x-x2)<2

f(nx-2)+f(x-x2)-KI

/.f(nx-2+x-x2)<f(0)

由(1)知nx-2+x-x2<0恒成立

：.x2~(n+1)x+2〉0恒成立

；.△=(n+1)2-4X2<0-2•2?-l<n<2•2?-l,即-2•2?<n<2•2?

拓展提升：(1)单调性的定义实质上给出自变量与函数值大小关系的转化.如果

f(x)在D上为增函数，则xl,x2sD,xl<x2<=>f(xl)<f(x2).如果f(x)

在D上为减函数,贝!Jxl,x2GD,xl<x2<=>f(xl)>f(x2).以上也是脱去符号

“f”的重要手段.

(2)解含有抽象符号“f”的不等式时，关键是符号“f”的“穿”和“脱”.

变式2:函数f(x)对于x>0有意义且满足:①f(2)=l;②f(x・y)=f

(x)+f(y);(3)x>y<=>f(x)2f(y);

(1)求证:f(1)=0;

(2)f(x/y)=f(x)-f(y);

(3)求f(4)的值；

(4)如果f(x)+f(x-3)W2,求x的取值范围.

解析：(1)由②,令x=y=l,得f(1)=f(1)+f(1),...f(1)=0

(2)x=(x/y)•y,由②得f(x)=f(x/y)+f(y)；.f(x/y)=f(x)

-f(y)

(3)由②，令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2.

(4)由③和f(4)=2及x>0得

f(x)+f(x-3)Wf(4)

得f(x•(x-3))Wf(4)

<=>x>0,,x-3>0,x,(x-3)<4

解得3<xW4,故xe(3,4].

例3.已知函数y=f(x)的定义域是(0,+8),当X>1时,f(x)>0,且f

(x•y)=f(x)+f(y).⑴求:f(1);(2)求证:f(1/x)=-f(x);⑶证明f

(x)在定义域上为增函数；(4)如果f(1/3)=-1,求满足不等式f(x)-f(1/

(x-2))22的

x的取值范围.

解析：(1)令x=y=l,可得

⑵令y=l/x

(3)

例4.设函数y=f(x)定义在R上,对任意m,nWR都有f(m+n)=f

(m),f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.(1)求证:f(0)=1,且当x<0时，f(x)

>1;(2)证明f(x)在R上单调递减；

⑶设集合A={(x,y)If(x2),f(y2)>f(1)},集合B={(x,y)

|f(ax-y+2)=l,aCR},若AnB=<D，求a的取值范围.

例5.定义在R上的函数f(x)满足:对任意实数m,n总有f(m+n)=f

(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.⑴试求f(0)的值；⑵判断f(x)的单

调性并证明你的结论；(3)设人={(x,y)if(x2)・f(y2)>f(1)},B=

{(x,y)If(ax-y+2?)=l,aGR)，若AAB=①，试确定a的取值范围；(4)试举

出一个满足条件的函数f(x).

答案：(1)f(1)=0;

(2)函数f(x)在R上单调递减;

(3)-IWaWl;

(4)如f(x)=(1/2)x.

例6.若f(x)是定义在(0,+8)上的增函数,且对一切x,y>0,满足f

(x/y)=f(x)-f(y).⑴求f(1)的值；⑵若f(6)=1,解不等式f(x+3)-

f(1/3)<2.

解答：⑴在f(x/y)=f(x)-f(y)中，令x=y=l,则有f(1)=f(1)-f

(1),Af(1)=0.

(2)Vf(6)=1,：.f(x+3)-f(1/3)<2=f(6)+f(6),：.f(3x+9)-f

(6)(6),即f((x+3)/2)<f(6),

(x)是(0,+8)上的增函数，...①x+3>0②(x+3)/2<6,解得-3<x<9.

即原不等式的解集为(-3,9).

函数奇偶性与单调性的综合运用

<一>、利用奇偶性求函数解析式

1、此类问题的一般做法是：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式,x就

设在哪个区间内.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用奇偶性写出-f

(x)或f(-x),从而解出f(x).

2、已知(奇)偶函数在某个区间上的解析式,通常利用对称性可求出这个区间

的对称区间上的解析式.要注意“求谁设谁”.

3、这类问题的一般情形是：

已知x£(a,b)时,f(x)=巾(x),求xe(-b,-a)时f(x)的解析式.

例.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时,f(x)=-x•(1+x)，求f

(x).

导析:只需求x20的解析式,可把x>0的解析式转到x<0上求解

〈二〉、奇偶性与单调性的综合运用

1、对于含“f”的不等式,求解时首先根据奇偶性把不等式转化为f(xl)>f

(x2)或f(xl)<f(x2),然后根据单调性及定义域列出不等式或不等式组

求解，一定要注意不能漏掉函数定义域对参数的限制(定义域优先原则).

2、解含“f”的不等式，应具备两个方面:一是能转化为f(xl)>f(x2)或f

(xl)<f(x2)的形式,二是f(x)的单调性已知.特别是f(x)为偶函数时,应把

不等式f(xl)<f(x2)(或f(xl)>f(x2))转化为f(|xl)(|x21)(或f

<|xl)>f(x2|)的形式,利用xe[0,+8)的单调性求解.

例.已知f(x)=(ax+b)/(l+x2)是定义在(-1,1)上的奇函数,且f

(1/2)=2/5,

(1)确定函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明在上是增函数；

⑶解不等式f(t-1)+f(t)<0.

导析:①求a,b②确定f(x)的解析式③证明单调性④解不等式

解答：⑴(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.(-x